第一型曲線積分

1、1 第一型曲線積分 本節(jié)將研究定義在平面或空間曲線段上的第一型曲線積分.此類(lèi)積分的典型物理背景是求非均勻分布的曲線狀物體的質(zhì)量.二、第一型曲線積分的計(jì)算 一、第一型曲線積分的定義 第二十章 曲線積分 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例1:求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.Ms 均勻之質(zhì)量均勻之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis ( ,).iiiiMs 求和求和1( ,).niiiiMs 取極限取極限01lim(,).niiiiMs 近似值近似值精確值精確值近似近似取取oxyABL),(ii 1 nMiM1 iM1M2Mis ( , )x y 設(shè)線密度為：設(shè)線密度為：(連續(xù)

2、連續(xù))(1, 2, ),iiL inL個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段 的弧的弧長(zhǎng)長(zhǎng)n,它把它把 LLTL定義在定義在 上的函數(shù)上的函數(shù). 對(duì)曲線對(duì)曲線 做分割做分割 分成分成,isT1| max,ii nTs iL記為記為 分割分割 的細(xì)度為的細(xì)度為 在在 上任上任取取 一點(diǎn)一點(diǎn)(,)(1, 2, ).iiin 若有極限若有極限 | |01lim(,),niiiTifsJ 為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段, L( ,)f x y定義定義1 設(shè)設(shè) 為為J(,)iiT 與點(diǎn)與點(diǎn)且且 的值與分割的值與分割 的取法無(wú)關(guān)的取法無(wú)關(guān), 則稱(chēng)此則稱(chēng)此 極極限為限為( ,)f x y

3、L在在上的上的第一型曲線積分第一型曲線積分, 記作記作( ,)d .Lf x ys(1)為空間可求長(zhǎng)曲線段為空間可求長(zhǎng)曲線段 , L( , )f x y zL若若 為定義在為定義在 上上 ( , )f x y zL的函數(shù)的函數(shù), 則可類(lèi)似地定義則可類(lèi)似地定義 在空間曲線在空間曲線 上上 的第一型曲線積分的第一型曲線積分, 并且記作并且記作 ( , )d .Lf x y zs(2)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 ( , )d .LMx ys 注注:曲線積分曲線積分也是一個(gè)也是一個(gè)確定的常數(shù)，確定的常數(shù)， 它只與被積函它只與被積函數(shù)數(shù)f(x,y)及積分弧段及積分弧段L有關(guān)有關(guān).( ,)d (1,

4、2, )iLfx ys ik(1, 2, )ic ik1. 若若存在，存在， 為為 常數(shù)常數(shù), , 則則1( ,)dkiiLic f x ys也存在也存在, 且且11( ,)d( ,)d .kkiiiiLLiic f x yscf x ysL12,kL LL2. 若曲線段若曲線段 由曲線由曲線 首尾相接而首尾相接而成成, ( ,)d (1,2, )iLf x ys ik( ,)dLf x ys都存在都存在, 則則 也存在也存在, 且且2.第一型曲線積分第一型曲線積分性質(zhì)性質(zhì)1( ,)d( ,)d .ikLLif x ysf x ys3( ,)d( ,)dLLf x ysg x ys若若與與 都

5、存在都存在, 且在且在 L上上則則( ,)( ,),f x yg x y( ,)d( ,)d .LLf x ysg x ys4( ,)d( , ) dLLf x ysf x ys若若存存在在, ,則則|也存在也存在, |( ,)d |( ,)|d .LLf x ysf x ys且且 ( ,)dLf x ys若若L, s5存在存在, 的弧長(zhǎng)為的弧長(zhǎng)為則存在常數(shù)則存在常數(shù) ( ,)d,Lf x yscs, c使得使得inf( ,)sup( ,).LLf x ycf x y這這里里dLs思考：二 第一型曲線積分的計(jì)算定理定理20.1 設(shè)有光滑曲線設(shè)有光滑曲線 ( ),: ,( ),xtLtyt (

6、,)f x yL 為定義在為定義在 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 則則 22( , )d( ( ),( )( )( )d . (3)Lf x ysfttttt 基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分說(shuō)明說(shuō)明:(1)0,ks因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22xdydsdxyox , a b 上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為式成為 2( , )d( ,( ) 1( )d ;bLaf x ysf xxxx( ), , yxxa b L 當(dāng)曲線當(dāng)曲線 由方程由方程 表示表示, 且且 在在 ( )x ,c d上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí)上有連續(xù)導(dǎo)

7、函數(shù)時(shí), (3)式成為式成為 2( , )d( ( ), ) 1( )d .dLcf x ysfyyyy( ), , xyyc d 當(dāng)曲線當(dāng)曲線 L由方程由方程表示表示, 且且 在在 ( )y 如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222d)()(22rr)(),(, )(tttfu對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算步驟：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算步驟：(1)積積分分畫(huà)畫(huà)出出弧弧段段的的圖圖形形；(2)將將積積分分弧弧段段用用參參數(shù)數(shù)方方程程

8、表表示示；(3)用用“”的的方方線線積積分分法法把把化化為為三三代代一一定定定定積積分分. .:( ),( ) ()L xtytt 如如： ( , )dLf x y s ( )xt “一一代代”；( )yt “二二代代”；22d( )( )dsttt “三三代代”；,. “一一定定限限”: :小小的的 是是下下限限 大大的的 是是上上限限化為：化為： 22 ( ),( )( )( )d .fttttt 例例1. 計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x

9、)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B22222()d ,0,0LIxysL xya xy 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為所所圍圍區(qū)區(qū)域域.的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界222xya 0 x 0 yLOAOBAB (1) :0,0OA yxa ，21dOAIx s 230110d3axxa ，(2) :0,0OB xya ，22dOBIy s 2 01 0dayy 31.3a22(3) :,0AB yaxxa 23dABIa s 212.4aa 333312311121()33232IIIIaaaa 注：第一類(lèi)曲線積分的對(duì)稱(chēng)性注：第一類(lèi)曲線積分的對(duì)稱(chēng)性1.Ly若若 關(guān)關(guān)于于

10、軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則 ( , )dLf x ys (, )( , )fx yf x y ，0，(, )( , )fx yf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oyx2.Lx若若 關(guān)關(guān)于于 軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則LL1Oxy ( , )dLf x ys ( ,)( , )f xyf x y ，0，( ,)( , )f xyf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oxy3.L若若 關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則 ( , )dLf x ys (,)( , )fxyf x y ，0，(,)( , )fxyf x y ，1 2( , )dLf x y s ，4.Lyx 若若

11、關(guān)關(guān)于于軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則 ( , )dLf x ys ( , )d .Lf y xs 例例3. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱(chēng)性 , 得sxILd4142204cos( )( )darr402dcos4a222a,2cos:22arLyox例例4. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)c

12、os()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線例例5. 計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱(chēng)性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2d d s例例6. 計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a

13、 , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱(chēng)性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:作業(yè)：作業(yè)：P201 1(2)(3)(4)(7);2內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(

14、為常數(shù)szyxgLd),(3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf復(fù)習(xí)思考題 ( , )f x yL1.若若 在光滑曲線在光滑曲線上連續(xù)上連續(xù), , 是否一定存在是否一定存在 00(,),xyL 使得使得00( , )d(,) ,Lf x ysf xys其中其中 s 是曲線是曲線 L 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).( , )(, ).x yLx yL ( , )f x y2. 設(shè)設(shè)在光滑曲線在光滑曲線 L 上連續(xù)上連續(xù), , L滿足條件滿足條件:( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若若滿足條件滿足條件: 是否有是否有 ( , )d0?Lf x ys ( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若若滿足條件滿足條件: 是否