離散傅里葉變換

1、第3章 離散傅里葉變換(DFT) 第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT) 3.1 離散傅里葉變換的定義及物理意義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) 3.3 頻率域采樣 3.4 DFT的應(yīng)用舉例 習(xí)題與上機(jī)題第3章 離散傅里葉變換(DFT) 傅里葉變換和Z變換是數(shù)字信號(hào)處理中常用的重要數(shù)學(xué)變換。對(duì)于有限長(zhǎng)序列，還有一種更為重要的數(shù)學(xué)變換，即本章要討論的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更為重要，是因?yàn)槠鋵?shí)質(zhì)是有限長(zhǎng)序列傅里葉變換的有限點(diǎn)離散采樣，從而實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域采用數(shù)值運(yùn)算的方法進(jìn)行，這樣就大大增

2、加了數(shù)字信號(hào)處理的靈活性。更重要的是，DFT有多種快速算法，統(tǒng)稱為快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)，從而使信號(hào)的實(shí)時(shí)處理和設(shè)備的簡(jiǎn)化得以實(shí)現(xiàn)。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 因此，時(shí)域離散系統(tǒng)的研究與應(yīng)用在許多方面取代了傳統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。所以說，DFT不僅在理論上有重要意義，而且在各種信號(hào)的處理中亦起著核心作用。 本章主要討論本章主要討論DFT的定義、物理意義、基本性的定義、物理意義、基本性質(zhì)以及頻域采樣和質(zhì)以及頻域采樣和DFT的應(yīng)用舉例等內(nèi)容。的應(yīng)用舉例等內(nèi)容。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.1 離散傅里葉變換的定義及物理意義離散傅里葉變換的定

3、義及物理意義3.1.1 DFT的定義的定義 設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為(3.1.1)1, 1 , 0)()()(10NkWnxnxDFTkXNnknN第3章 離散傅里葉變換(DFT) X(k)的離散傅里葉逆變換(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)為式中，N稱為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，NM。通常稱(3.1.1)式和(3.1.2)式為離散傅里葉變換對(duì)。為了敘述簡(jiǎn)潔，常常用DFTx(n)N和IDFTX(k)N分別表示N點(diǎn)離散傅里葉變換和N點(diǎn)離散傅里葉逆變換。下面證明IDFTX(k)的唯一性。2jeNNW1,

4、1 , 0)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNnknN(3.1.2)第3章 離散傅里葉變換(DFT) 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有由于 為整數(shù)為整數(shù)iiNnmiiNnmWNWNmxWWmxNkXIDFTNknmkNNmNknmkNnkNNkNmmkNN, 0, 111)()(1)(10)(1010)(1010第3章 離散傅里葉變換(DFT) 所以，在變換區(qū)間上滿足下式：IDFTX(k)N=x(n) 0nN-1由此可見，(3.1.2)式定義的離散傅里葉逆變換是唯一的。【例例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)DFT。解解設(shè)變換區(qū)間N=4，則233

5、j4400j22j4( )( )e401 e01,2,31 eknknnnkkX kx n Wkk第3章 離散傅里葉變換(DFT) 設(shè)變換區(qū)間N=8，則 由此例可見，x(n)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間長(zhǎng)度N的取值有關(guān)。對(duì)DFT與Z變換和傅里葉變換的關(guān)系及DFT的物理意義進(jìn)行討論后，上述問題就會(huì)得到解釋。 7 ,1 , 0,8sin2sin)()(837030828kkkeeWnxkXkjnnknjkn第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.1.2 DFT與傅里葉變換和與傅里葉變換和Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為M，其Z變換和N(NM)點(diǎn)DFT分別為比較上面二式可得關(guān)系式 10

6、10( )ZT ( )( )( )DFT ( )( )0,1,1MnnMknNNnX zx nx n zX kx nx n WkN1, 1 , 0,)()(1, 1 , 0,)()(22NkeXkXNkzXkXkNjezkNj(3.1.3)或 (3.1.4)第3章 離散傅里葉變換(DFT) (3.1.3)式表明序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣。(3.1.4)式則說明X(k)為x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0, 2上的N點(diǎn)等間隔采樣。這就是DFT的物理意義。由此可見，DFT的變換區(qū)間長(zhǎng)度N不同，表示對(duì)X(ej)在區(qū)間0, 2上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，所

7、以DFT的變換結(jié)果不同。上例中， x(n)=R4(n)，DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度N分別取8、16時(shí)，X(ej)和X(k)的幅頻特性曲線圖如圖3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4點(diǎn)DFT為X(k)=DFTx(n)4=4(k)，這一特殊的結(jié)果在下面將得到進(jìn)一步解釋。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性關(guān)系 第3章 離散傅里葉變換(DFT) knNW3.1.3 DFT的隱含周期性的隱含周期性 前面定義的DFT變換對(duì)中，x(n)與X(k)均為有限長(zhǎng)序列，但由于的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的X(k)隱含周期性，且周期均為N。對(duì)任意

8、整數(shù)m，總有所以(3.1.1)式中，X(k)滿足： 實(shí)際上，任何周期為N的周期序列都可以看做長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)則是 的一個(gè)周期，即(),kk mNNNNWWk m為整數(shù), 為自然數(shù)，11()00()( )( )( )NNk mN nknNNnnX kmNx n Wx n WX k)(nx)(nx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 上述關(guān)系如圖3.1.2（a）和（b）所示。一般稱周期序列中從n=0到N1的第一個(gè)周期為的主值區(qū)間，而主值區(qū)間上的序列稱為的主值序列。因此x(n)與的上述關(guān)系可敘述為：是x(n)的周期延拓序列，x(n)是的主值序列。(3.1.5)(3.

9、1.6)( )()mx nx nmN( )( )( )Nx nx nRn)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 為了以后敘述簡(jiǎn)潔，當(dāng)N大于等于序列x(n)的長(zhǎng)度時(shí)，將(3.1.5)式用如下形式表示： (3.1.7)式中x(n) N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，(n)N表示模N對(duì)n求余，即如果n=MN+n1 0n1N1, M為整數(shù)則(n)N=n1 例如，, 則有所得結(jié)果符合圖3.1.2(a)和(b)所示的周期延拓規(guī)律。( )( )Nx nx n88, ( )( )Nx nx n88(8)(8)(0)(9)(9)(1)xxxxxx第3章 離散傅里葉

10、變換(DFT) 圖3.1.2 x(n)及其周期延拓序列第3章 離散傅里葉變換(DFT) )(nx)(nx應(yīng)當(dāng)說明，若x(n)實(shí)際長(zhǎng)度為M，延拓周期為N，則當(dāng)NM時(shí)，(3.1.5)式仍表示以N為周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式僅對(duì)NM時(shí)成立。圖3.1.2(a)中x(n)實(shí)際長(zhǎng)度M=6，當(dāng)延拓周期N=4時(shí)，如圖3.1.2(c)所示。 如果x(n)的長(zhǎng)度為M，且，NM，則可寫出的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式Nnxnx)()(3.1.8)(3.1.9)111000( )( )( )( )NNNknknknNNNNnnnX kx n Wx nWx n W110011( )( )( )NNkn

11、knNNkkx nX k WX k WNN第3章 離散傅里葉變換(DFT) 式中即X(k)為的主值序列。將(3.1.8)和(3.1.9)式與DFT的定義(3.1.1)和(3.1.2)式相比較可知，有限長(zhǎng)序列x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x(n)N的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的主值序列，即。后面要討論的頻域采樣理論將會(huì)加深對(duì)這一關(guān)系的理解。我們知道，周期延拓序列頻譜完全由其離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)確定，因此，X(k)實(shí)質(zhì)上是x(n)的周期延拓序列x(n) N的頻譜特性，這就是N點(diǎn)DFT的第二種物理解釋（物理意義）。( )( )( )NX kX k Rk(3.1.10)( )X

12、 k( )X k)()()(kRkXkXN( )X k第3章 離散傅里葉變換(DFT) 現(xiàn)在解釋DFTR4(n)4=4(k)。根據(jù)DFT第二種物理解釋可知，DFTR4(n)4表示R4(n)以4為周期的周期延拓序列R4(n)4的頻譜特性，因?yàn)镽4(n)4是一個(gè)直流序列，只有直流成分（即零頻率成分）。 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.1.4 用用MATLAB計(jì)算序列的計(jì)算序列的DFTMATLAB提供了用快速傅里葉變換算法FFT(算法見第4章介紹)計(jì)算DFT的函數(shù)fft，其調(diào)用格式如下: Xk = fft (xn, N)；調(diào)用參數(shù)xn為被變換的時(shí)域序列向量，N是DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，當(dāng)N大于xn

13、的長(zhǎng)度時(shí)，fft函數(shù)自動(dòng)在xn后面補(bǔ)零。函數(shù)返回xn的N點(diǎn)DFT變換結(jié)果向量Xk。當(dāng)N小于xn的長(zhǎng)度時(shí)，fft函數(shù)計(jì)算xn的前面N個(gè)元素構(gòu)成的N長(zhǎng)序列的N點(diǎn)DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函數(shù)計(jì)算IDFT，其調(diào)用格式與fft函數(shù)相同，可參考help文件。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 【例例3.1.2】 設(shè)x(n)=R4(n)，X(ej)=FTx(n)。分別計(jì)算X(ej)在頻率區(qū)間0，2上的16點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔采樣，并繪制X(ej)采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。解解 由DFT與傅里葉變換的關(guān)系知道，X(ej)在頻率區(qū)間0，2上的16點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔采樣，分別是x(n)的16點(diǎn)和32點(diǎn)D

14、FT。調(diào)用fft函數(shù)求解本例的程序ep312.m如下:第3章 離散傅里葉變換(DFT) % 例3.1.2程序ep312.m% DFT的MATLB計(jì)算xn=1 1 1 1; %輸入時(shí)域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn, 16); %計(jì)算xn的16點(diǎn)DFTXk32=fft(xn, 32); %計(jì)算xn的32點(diǎn)DFT%以下為繪圖部分（省略，程序集中有）程序運(yùn)行結(jié)果如圖3.1.3所示。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.1.3 程序ep312.m 運(yùn)行結(jié)果 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.2.1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)如果x1(

15、n)和x2(n)是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別為N1和N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中，a、b為常數(shù)，取N=maxN1, N2, 則y(n)的N點(diǎn)DFT為Y(k)=DFTy(n)N=aX1(k)+bX2(k) 0kN1 (3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)1序列的循環(huán)移位序列的循環(huán)移位 設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為M，MN，則x(n)的循環(huán)移位定義為y(n)=x(n+m) NRN(n) (3.2.2)(3.2.2)式表明，將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到，再將

16、左移m得到，最后取的主值序列則得到有限長(zhǎng)序列x(n)的循環(huán)移位序列y(n)。 M=6, N=8, m=2時(shí)，x(n)及其循環(huán)移位過程如圖3.2.1所示。Nnxnx)()()(nx)(mnx)(mnx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 顯然，y(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列。觀察圖3.2.1可見，循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將x(n)左移m位，而移出主值區(qū)(0nN-1)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)?！把h(huán)移位”就是由此得名的。由循環(huán)移位的定義可知，對(duì)同一序列x(n)和相同的位移m，當(dāng)延拓周期N不同時(shí)，y(n)=x(n+m)NRn(n)則不同。請(qǐng)讀者畫出N = M=6，m=2時(shí)，x(n)的循環(huán)移位序列y(n)波

17、形圖。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.2.1 x(n)及其循環(huán)移位過程第3章 離散傅里葉變換(DFT) 2 時(shí)域循環(huán)移位定理時(shí)域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為M(MN)的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即則(3.2.3)其中)()()(kXWnyDFTkYkmNN10,)()(NknxDFTkXN)()()(nRmnxnyNN第3章 離散傅里葉變換(DFT) nkNNWnx)(證明證明令n+m=n，則有由于上式中求和項(xiàng)以N為周期，因此對(duì)其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)，則得1100( )DFT ( )()( )()NNknknNNNNNNnnY ky

18、 nx nmRn Wx nmW11()( )( )( )NmNmk nmkmknNNNNNnmnmY kx nWWx nW 1100( )( )( )( )NNkmknkmknkmNNNNNNnnY kWx nWWx n WWX k第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3 頻域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理如果X(k)=DFTx(n)N 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則(3.2.4)(3.2.4)式的證明方法與時(shí)域循環(huán)移位定理類似，直接對(duì)Y(k)=X(k+l)NRN(k)進(jìn)行IDFT即得證。( )IDFT ( )( )nlNNy nY kW x n第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3

19、.2.3 循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理 時(shí)域循環(huán)卷積定理是DFT中最重要的定理，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，計(jì)算系統(tǒng)的輸出，以及FIR濾波器用FFT實(shí)現(xiàn)等，都是基于該定理的。下面首先介紹循環(huán)卷積的概念和計(jì)算循環(huán)卷積的方法，然后介紹循環(huán)卷積定理。1 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為（3.2.5）1c0( )( ) ()( )LLLmy nh m x nmRn第3章 離散傅里葉變換(DFT) 式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，LmaxN，M。上式顯然與第1章介紹的線性卷積不同，為了區(qū)別

20、線性卷積，用 表示循環(huán)卷積，用表示L點(diǎn)循環(huán)卷積，即yc(n)=h(n) x(n)。觀察(3.2.5)式，x(nm)L是以L為周期的周期信號(hào)，n和m的變化區(qū)間均是0, L-1，因此直接計(jì)算該式比較麻煩。計(jì)算機(jī)中采用矩陣相乘或快速傅里葉變換(FFT)的方法計(jì)算循環(huán)卷積。下面介紹用矩陣計(jì)算循環(huán)卷積的公式。 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 當(dāng)n = 0, 1, 2, , L1時(shí)，由x(n)形成的序列為: x(0), x(1), , x(L1)。令n=0, m=0, 1, , L1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成x(n)的循環(huán)倒相序列為與序列x(n)進(jìn)行對(duì)比，相當(dāng)于將第一個(gè)序列值x(0)不動(dòng)，

21、將后面的序列反轉(zhuǎn)180再放在 x(0) 的后面。這樣形成的序列稱為x(n)的循環(huán)倒相序列。(0) , ( 1) , ( 2) , , (1) (0), (1), (2), , (1)LLLLxxxxLxx Lx Lx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成的序列為觀察上式等號(hào)右端序列，它相當(dāng)于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移一位，即向右移1位，移出區(qū)間0, L1的序列值再從左邊移進(jìn)。再令n = 2, m = 0, 1, , L-1，此時(shí)得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時(shí)，

22、得到一個(gè)關(guān)于x(nm)L的矩陣如下： (1) , (0) , ( 1) , , (2) (1), (0), (1), , (2)LLLLxxxxLxxx Lx 第3章 離散傅里葉變換(DFT) （3.2.6） (0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)xx Lx Lxxxx Lxxxxxx Lx Lx Lx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 上面矩陣稱為x(n)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣”，其特點(diǎn)是:（1） 第1行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循環(huán)倒相序列。注意，如果注意，如果x(n)的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度ML，則需要在，則需要在x(n)末尾

23、末尾補(bǔ)補(bǔ)LM個(gè)零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。個(gè)零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3） 矩陣的各主對(duì)角線上的序列值均相等。有了上面介紹的循環(huán)卷積矩陣，就可以寫出式(3.2.5)的矩陣形式如下:第3章 離散傅里葉變換(DFT) （3.2.7） cccc(0)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(0)(1)yxx Lx Lxhyxxx Lxhyxxxxhy Lx Lx Lx Lxh L第3章 離散傅里葉變換(DFT) 按照上式，可以在計(jì)算機(jī)上用矩陣相

24、乘的方法計(jì)算兩個(gè)序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中如果如果h(n)的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度NL，則需要在，則需要在h(n)末尾補(bǔ)末尾補(bǔ)L-N個(gè)零。個(gè)零?！纠?.2.1】 計(jì)算下面給出的兩個(gè)長(zhǎng)度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。 ( )(0), (1), (2), (3)1,2,3,4( )(0), (1), (2), (3)1,1,1,1h nhhhhx nxxxx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 解解 按照式（3.2.21）寫出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為cccc(0)1432110(1)2143110(2)32

25、14110(3)4321110yyyy 第3章 離散傅里葉變換(DFT) h(n)和x(n)及其4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。請(qǐng)讀者計(jì)算驗(yàn)證本例的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果等于h(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果。后面將證明，當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L大于等于y(n) = h(n)*x(n)的長(zhǎng)度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.2.2 序列及其循環(huán)卷積波形第3章 離散傅里葉變換(DFT) 2. 環(huán)卷積定理環(huán)卷積定理 有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，N= maxN1, N2， x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)

26、循環(huán)卷積為則x(n)的N點(diǎn)DFT為其中2( )( )x nx nN 11210( )( )()( )NNNmx nx m xnmRn12( )DFT ( )( )( )NX kx nX kXk（3.2.9）1122( )DFT ( ) ,( )DFT( )NNX kx nXkx n（3.2.8）第3章 離散傅里葉變換(DFT) 證明證明 直接對(duì)(3.2.8)式兩邊進(jìn)行DFT，則有111200111200( )DFT ( )( )()( )( )()NNNknNNNnmNNknNNmnX kx nx m xnmRn Wx mxnmW 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 令n-m=n，則有因?yàn)樯鲜街?/p>

27、是以N為周期的，所以對(duì)其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變。因此10121101)(21)()()()()(NmmNmnknNNkmNNmmNmnmnkNNWnxWmxWnxmxkX2)(knNNWnx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 由于，因此即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 10)()() ()()(21101021NkkXkXWnxWmxkXNmNnknNkmN，1221( )DFT ( )( )( )( )( )X kx nX k XkXk X k1( )IDFT( )( )x nX kx n22( )( )x nx n1( )x n第3章 離散傅里葉變換(DFT) 作為習(xí)題請(qǐng)讀者證明以下頻域循環(huán)卷

28、積定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，則(3.2.10a) 11( )DFT ( )( )NX kx nX kN2( )XkN 11201( )()( )NNNlX l XklRkN第3章 離散傅里葉變換(DFT) 112101( )( )()( )NNNlX kXl XklRkN或(3.2.10b)式中相對(duì)頻域循環(huán)卷積定理，稱(3.2.9)式為時(shí)域循環(huán)卷積定理。 21( )( )X kXkNN 1122 ( )DFT ( )01( )DFT( )NNX kx nkNXkx n第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.2.4 復(fù)共軛序列的復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列

29、，長(zhǎng)度為N，X(k)=DFTx(n)N，則且X(N)=X(0)。 證明證明 根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(3.2.11)式右邊等于左邊即可。*DFT( )()01Nx nXNkkN(3.2.11)第3章 離散傅里葉變換(DFT) 又由X(k)的隱含周期性，有X(N)=X(0)用同樣的方法可以證明 (3.2.12)11*()*()001*0()( )( )( )DFT( )NNN k nN k nNNnnNknNNnXNkx n Wx n Wx n Wx n*DFT ()( )Nx NnX k第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.2.5 DFT的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性1 有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛

30、反對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列為了區(qū)別于傅里葉變換中所定義的共軛對(duì)稱（或共軛反對(duì)稱）序列，下面用xep(n)和xop(n)分別表示有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列，則二者滿足如下關(guān)系式：(3.2.13a)(3.2.13b)*epep( )() 01xnxNnnN*opop( )() 01xnxNnnN 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，將上式中的n換成N/2n，可得到：上式更清楚地說明了有限長(zhǎng)序列共軛對(duì)稱序列是關(guān)于n=N/2點(diǎn)對(duì)稱。容易證明，如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對(duì)稱分量和奇對(duì)稱分量一樣，任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，

31、即 *epep()() 01222NNNxnxnn*epep()() 01222NNNxnxnn 第3章 離散傅里葉變換(DFT) (3.2.14) 將上式中的n換成N-n，并取復(fù)共軛，再將(3.2.13a)式和(3.2.13b)式代入，得到：(3.2.15)(3.2.14)式分別加減(3.2.15)式，可得(3.2.16a)(3.2.16b)epop( )( )( )01x nxnxnnN*ep1( ) ( )()2xnx nxNn*op1( ) ( )()2xnx nxNn)()()()()(nxnxnNxnNxnNxopepopep第3章 離散傅里葉變換(DFT) 2 DFT的共軛對(duì)稱性

32、的共軛對(duì)稱性 (1) 如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n) (3.2.17)其中那么，由(3.2.11)式和(3.2.16a)式可得*r*i1( )Re ( ) ( )( )21j ( )jIm ( ) ( )( )2x nx nx nx nx nx nx nx n第3章 離散傅里葉變換(DFT) (3.2.18) 由(3.2.11)式和(3.2.16b)式可得 (3.2.19)*rep11DFT( )DFT ( )( )( )()( )22x nx nx nX kXNkXk*iop11DFTj ( )DFT ( )( )( )()( )22x nx nx nX kXNkXk

33、第3章 離散傅里葉變換(DFT) 由DFT的線性性質(zhì)即可得 (3.2.20)其中，Xop(k)=DFTxr(n)是X(k)的共軛對(duì)稱分量，Xop(k)=DFTjxi(n)是X(k)的共軛反對(duì)稱分量。 (2) 如果將x(n)表示為(3.2.21) epop( )DFT ( )( )( )X kx nXkXkepop( )( )( )01x nxnxnnN第3章 離散傅里葉變換(DFT) 其中，是x(n)的共軛對(duì)稱分量， 是x(n)的共軛反對(duì)稱分量, 那么，由(3.2.12)式可得*ep1( ) ( )()2xnx nxNn*op1( ) ( )()2xnx nxNn*ep11DFT( )DFT

34、( )()( )( )Re( )22xnx nx NnX kXkX k*op11DFT( )DFT ( )()( )( )Im( )22xnx nxNnX kXkjX k第3章 離散傅里葉變換(DFT) 因此 (3.2.22)其中RI( )DFT ( )( )j( )X kx nXkX kRep( )Re( )DFT()XkX kxIopj( )jIm( )( )X kX kDFT xn第3章 離散傅里葉變換(DFT) 綜上所述，可總結(jié)出綜上所述，可總結(jié)出DFT的共軛對(duì)稱性質(zhì)：如果序的共軛對(duì)稱性質(zhì)：如果序列列x(n)的的DFT為為X(k)，則，則x(n)的實(shí)部和虛部（包括的實(shí)部和虛部（包括j）

35、的）的DFT分別為分別為X(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量；而的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量；而x(n)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的DFT分別為分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以的實(shí)部和虛部乘以j。另外，請(qǐng)讀者根據(jù)上述共軛對(duì)稱性證明有限長(zhǎng)實(shí)序列DFT的共軛對(duì)稱性（見本章習(xí)題題7）。 設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的實(shí)序列，且X(k)=DFTx(n)N，則X(k)滿足如下對(duì)稱性： 第3章 離散傅里葉變換(DFT) (1) X(k)共軛對(duì)稱，即X(k)=X*(N-k) k=0, 1, , N-1 (3.2.23) (2) 如果x(n)是偶對(duì)稱序列，即x(n)=x(N-n)

36、，則X(k)實(shí)偶對(duì)稱，即X(k)=X(N-k) (3.2.24) (3) 如果是奇對(duì)稱序列，即x(n)=-x(N-n)，則X(k)純虛奇對(duì)稱，即X(k)=-X(N-k) (3.2.25)第3章 離散傅里葉變換(DFT) 實(shí)際中經(jīng)常需要對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述對(duì)稱性質(zhì)，可減少DFT的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。例如，計(jì)算實(shí)序列的N點(diǎn)DFT時(shí)，當(dāng)N=偶數(shù)時(shí)，只需計(jì)算X(k)的前面N/2+1點(diǎn)，而N = 奇數(shù)時(shí)，只需計(jì)算X(k)的前面(N+1)/2點(diǎn)，其他點(diǎn)按照(3.2.23)式即可求得。例如， X(N-1)=X*(1), X(N-2)=X*(2), 這樣可以減少近一半運(yùn)算量。【例例3.2.2】 利用

37、DFT的共軛對(duì)稱性，設(shè)計(jì)一種高效算法，通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，就可以計(jì)算出兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。解解構(gòu)造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，對(duì)x(n)進(jìn)行DFT，得到：第3章 離散傅里葉變換(DFT) 由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT：epop( )DFT ( )( )( )X kx nXkXk*ep11( )DFT( )( )()2Xkx nX kXNk*op21( )DFTj( )( )()2Xkx nX kXNk)()(21)()(*11kNXkXnxDFTkX

38、*221( )DFT( )j ( )()2Xkx nX kXNk 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.3 頻頻 率率 域域 采采 樣樣 時(shí)域采樣定理告訴我們，在一定條件下，可以由時(shí)域離散采樣信號(hào)恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)。那么能不能也由頻域離散采樣恢復(fù)原來的信號(hào)（或原連續(xù)頻率函數(shù)）？其條件是什么？?jī)?nèi)插公式又是什么形式？本節(jié)就上述問題進(jìn)行討論。 設(shè)任意序列x(n)的Z變換為且X(z)的收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。在單位圓上對(duì)X(z)等間隔采樣N點(diǎn), 得到：nnznxzX)()(第3章 離散傅里葉變換(DFT) 顯然，(3.3.1)式表示在區(qū)間0, 2上對(duì)x(n)的傅里葉變換X(ej)

39、的N點(diǎn)等間隔采樣。將X(k)看做長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列xN(n)的DFT，即下面推導(dǎo)序列xN(n)與原序列x(n)之間的關(guān)系，并導(dǎo)出頻域采樣定理。( )IDFT ( )01Nx nX knN ，10)()()()(22NkWnxenxzXkXknNnknNjnezkNj (3.3.1) 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 由DFT與DFS的關(guān)系可知，X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的主值序列，即( )x n)(kX1010( )( )DFS ( )( )( )( )( )( )IDFS( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kXkx nX kX k R

40、kx nxnX kX k WNX k WN第3章 離散傅里葉變換(DFT) 將 (3.3.1) 式代入上式得式中1()0110Nk m nNkmniNiWNm， 為整數(shù)，其他 mNknmkNNkmknNkmNWNmxWWmxNnx10)(101)()(1)(第3章 離散傅里葉變換(DFT) 因此所以( )()ix nx niN( )( )( )()( )NNNixnx n Rnx n iN Rn(3.3.3)(3.3.2)第3章 離散傅里葉變換(DFT) 式(3.3.3)說明，X(z)在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣X(k)的N點(diǎn)IDFT是原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。綜上所述，

41、可以總結(jié)出頻域采樣定理： 如果序列x(n)的長(zhǎng)度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NM時(shí)，才有xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 滿足頻域采樣定理時(shí)，頻域采樣序列X(k)的N點(diǎn)IDFT是原序列x(n)，所以必然可以由X(k)恢復(fù)X(z)和X(ej)。下面推導(dǎo)用頻域采樣X(k)表示X(z)和X(ej)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為M，在頻域0, 2上等間隔采樣N點(diǎn)，NM，則有1, 2, 1, 0)()()()(2je10NkzXkXznxzXkNzNnn第3章 離散傅里葉變換(DFT) 因?yàn)闈M

42、足頻域采樣定理，所以式中將上式代入X(z)的表示式中，得到:(3.3.4a) 1111000011011( )( )( )11 ( )1NNNNknnknnNNnkknkNNNNknnX zX k WzX kWzNNWzX kNWz10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFTnx第3章 離散傅里葉變換(DFT) 1kNNW式中，因此 (3.3.4b)令 (3.3.5)則(3.3.6) 10111)(1)(NkkNNzWzkXNzX1111)(zWzNzkNNk10)()()(NkkzkXzX第3章 離散傅里葉變換(DFT) 式(3.3.6)稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式，k(z)稱為

43、內(nèi)插函數(shù)。將z=ej代入(3.3.4a)式，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得 (3.3.7)(3.3.8) 在數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)中，我們將會(huì)看到，頻域采樣理論及有關(guān)公式可提供一種有用的濾波器結(jié)構(gòu)和濾波器設(shè)計(jì)途徑，(3.3.7)式有助于分析FIR濾波器頻率采樣設(shè)計(jì)法的逼近性能。10j)2()()e (NkkNkXX)21(je)2/sin()2/sin(1)(NNN第3章 離散傅里葉變換(DFT) 【例例3.3.1】 長(zhǎng)度為26的三角形序列x(n)如圖3.3.1(a)所示。編寫MATLAB程序驗(yàn)證頻域采樣理論。解解 解題思想： 先計(jì)算x(n)的32點(diǎn)DFT，得到其頻譜函數(shù)X(ej)在頻率區(qū)間0,2 上等間隔

44、32點(diǎn)采樣X32(k)，再對(duì)X32(k)隔點(diǎn)抽取，得到X(ej)在頻率區(qū)間0,2上等間隔16點(diǎn)采樣X16(k)。最后分別對(duì)X16(k)和X32(k)求IDFT, 得到：繪制x16(n)和x32(n)波形圖驗(yàn)證頻域采樣理論。161616( )IDFT( )xnXk323232( )IDFT( )xnXk第3章 離散傅里葉變換(DFT) MATLAB求解程序ep331.m如下：%數(shù)字信號(hào)處理(第三版）第3章例3.3.1程序ep331.% 頻域采樣理論驗(yàn)證M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa, xb; %產(chǎn)生M長(zhǎng)三角波序列x

45、(n)Xk=fft(xn, 512); %512點(diǎn)FFTx(n)X32k=fft(xn, 32); %32點(diǎn)FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點(diǎn)IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點(diǎn)抽取X32k得到X16(k)x16n=ifft(X16k, N/2); %16點(diǎn)IFFTX16(k)得到x16(n)以下繪圖部分省略。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 程序運(yùn)行結(jié)果如圖3.3.1所示。圖3.3.1(a)和(b)分別為X(ej)和x(n)的波形；圖3.3.1(c)和(d)分別為X(ej)的16點(diǎn)采樣|X16(k)|和x16(n)=IDFTX1

46、6(k)16波形圖；圖3.3.1(e)和(f)分別為X(ej)的32點(diǎn)采樣|X32(k)|和x32(n)=IDFTX32(k)32波形圖；由于實(shí)序列的DFT滿足共軛對(duì)稱性，因此頻域圖僅畫出0，上的幅頻特性波形。本例中x(n)的長(zhǎng)度M=26。從圖中可以看出，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N=16M時(shí)，無時(shí)域混疊失真，x32(n)=IDFTX32(k)=x(n)。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.3.1 頻域采樣定理驗(yàn)證第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例3.4.1 用用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積用DFT計(jì)算循環(huán)卷積很簡(jiǎn)單。設(shè)h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M, 其L點(diǎn)循環(huán)

47、卷積為c( )( )y nh n且L 10( )( ) ()( )LLLmx nh m x nmR n10)()()()(LknxDFTkXnhDFTkHLL第3章 離散傅里葉變換(DFT) 則由DFT的時(shí)域循環(huán)卷積定理有由此可見，循環(huán)卷積既可以在時(shí)域直接計(jì)算，也可以按照?qǐng)D3.4.1所示的計(jì)算框圖在頻域計(jì)算。由于DFT有快速算法，當(dāng)L很大時(shí)，在頻域計(jì)算循環(huán)卷積的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。cc( )DFT( )( )( )01LY ky nH k X kkL第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.4.1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積的原理框圖第3章 離散傅里葉變換(DFT) 在實(shí)

48、際應(yīng)用中，為了分析時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)或者對(duì)序列進(jìn)行濾波處理等，需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積。與計(jì)算循環(huán)卷積一樣，為了提高運(yùn)算速度，也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。而DFT只能直接用來計(jì)算循環(huán)卷積，因此，下面先導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件，最后得出用圖3.4.1線性卷積的條件。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別是N和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：其中所以10l)()()()()(Nmmnxmhnxnhnyc( )( )y nh n10( )( ) ()( )LLLmx nh m x nmRn(3

49、.4.1)(3.4.2)L Lmax, ( )()iLN Mx nx niL第3章 離散傅里葉變換(DFT) 對(duì)照(3.4.1)式可以看出，上式中即 (3.4.3)1c010( )( )()( ) ()( )NLmiNLimy nh mx nmiL Rh m x niLm R n)()()(l10iLnymiLnxmhNmiLnRiLnyny)()()(lc第3章 離散傅里葉變換(DFT) (3.4.3)式說明，yc(n)等于yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。我們知道，yl(n)長(zhǎng)度為NM1，因此只有當(dāng)循環(huán)卷積長(zhǎng)度LNM1時(shí)，yl(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓時(shí)才無時(shí)域混疊現(xiàn)象。此時(shí)

50、取其主值序列顯然滿足yc(n)=yl(n)。由此證明了循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是LNM1。圖3.4.2中畫出了h(n)、x(n)、h(n)*x(n)以及L分別取6、8、10時(shí)h(n) L x(n)的波形。由于h(n)長(zhǎng)度N=4，x(n)長(zhǎng)度M=5，NM1=8，因此只有L8時(shí)，h(n) L x(n)波形才與h(n)*x(n)相同。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積波形圖第3章 離散傅里葉變換(DFT) 綜上所述，取LNM1，則可按照如圖3.4.1所示的計(jì)算框圖用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)來實(shí)現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。

51、實(shí)際上，經(jīng)常遇到兩個(gè)序列的長(zhǎng)度相差很大的情況，例如MN。若仍選取LNM1，以L為循環(huán)卷積區(qū)間，并用上述快速卷積法計(jì)算線性卷積，則要求對(duì)短序列補(bǔ)很多零點(diǎn)，而且長(zhǎng)序列必須全部輸入后才能進(jìn)行快速計(jì)算。因此要求存儲(chǔ)容量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，并使處理延時(shí)很大，不能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 況且在某些應(yīng)用場(chǎng)合，序列長(zhǎng)度不定或者認(rèn)為是無限長(zhǎng)，如電話系統(tǒng)中的語音信號(hào)和地震檢測(cè)信號(hào)等。顯然，在要求實(shí)時(shí)處理時(shí)，直接套用上述方法是不行的。解決這個(gè)問題的方法是將長(zhǎng)序列分段計(jì)算，這種分段處理方法有重疊相加法和重疊保留法兩種。下面只介紹重疊相加法，重疊保留法作為本章習(xí)題題21，留給讀者討論。設(shè)序列h(n)

52、長(zhǎng)度為N，x(n)為無限長(zhǎng)序列。將x(n)等長(zhǎng)分段，每段長(zhǎng)度取M，則第3章 離散傅里葉變換(DFT) （3.4.4a）0)()(kknxnx( )( )()kMx nx n RnkM于是，h(n)與x(n)的線性卷積可表示為（3.4.4b）式中)()()(nxnhnykk000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n第3章 離散傅里葉變換(DFT) (3.4.4b)式說明，計(jì)算h(n)與x(n)的線性卷積時(shí)，可先計(jì)算分段線性卷積yk(n)=h(n)*xk(n)，然后把分段卷積結(jié)果疊加起來即可，如圖3.4.3所示。每一分段卷積y

53、k(n)的長(zhǎng)度為NM1，因此相鄰分段卷積yk(n)與yk1(n)有N1個(gè)點(diǎn)重疊，必須把重疊部分的yk(n)與yk1(n)相加，才能得到正確的卷積序列y(n)。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 顯然, 可用圖3.4.1所示的快速卷積法計(jì)算分段卷積yk(n)， 其中L=NM1。由圖3.4.3可以看出，當(dāng)?shù)诙€(gè)分段卷積y1(n)計(jì)算完后，疊加重疊點(diǎn)便可得輸出序列y(n)的前2M個(gè)值；同樣道理，分段卷積yi(n)計(jì)算完后，就可得到y(tǒng)(n)第i段的M個(gè)序列值。因此，這種方法不要求大的存儲(chǔ)容量，且運(yùn)算量和延時(shí)也大大減少，最大延時(shí)TDmax=2MTs+To，Ts是系統(tǒng)采樣間隔，To是計(jì)算1個(gè)分段卷積所需時(shí)間

54、，一般要求ToMTs。這樣，就實(shí)現(xiàn)了邊輸入邊計(jì)算邊輸出，如果計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度快，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.4.3 用重疊相加法計(jì)算 線性卷積時(shí)域關(guān)系示意圖 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 用DFT計(jì)算分段卷積yk(n)的方法如下：(1) i=0；L=NM1；計(jì)算并保存H(k)=DFTh(n)L; (2) 讀入xk(n)=x(n)RM(nkM)，構(gòu)造變換區(qū)間0，L1上的序列，實(shí)際中就是將xi(n)的M個(gè)值存放在長(zhǎng)度為M的數(shù)組中, 并計(jì)算(3) ；(4) ，n = 0,1,2,L1； ( )()( )kkMx nx nkM Rn ( )DFT ( ) ;iiLX

55、kx n( )( )( )iiY kH k X k ( )()( )IDFT ( )ikLiLy ny nkM R nY k第3章 離散傅里葉變換(DFT) (5) 計(jì)算： (6) i =i1，返回(2)。應(yīng)當(dāng)說明，一般x(n)是因果序列，假設(shè)初始條件y1(n)=0。1()( ),02 ()() ( ),11 ()iiiyMny nnNy iMny nNnM 重疊區(qū)相加非重疊區(qū)不加第3章 離散傅里葉變換(DFT) MATLAB信號(hào)處理工具箱中提供了一個(gè)函數(shù)fftfilt，該函數(shù)用重疊相加法實(shí)現(xiàn)線性卷積的計(jì)算。調(diào)用格式為：y=fftfilt(h, x，M)。式中, h是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)向量；x是

56、輸入序列向量；y是系統(tǒng)的輸出序列向量（h與x的卷積結(jié)果）；M是由用戶選擇的輸入序列x的分段長(zhǎng)度，缺省M時(shí)，默認(rèn)輸入序列x的分段長(zhǎng)度M=512?！纠?.4.1】 假設(shè)h(n)=R5(n)，x(n)=cos(n/10)+cos(2n/5)u(n)，用重疊相加法計(jì)算y(n)=h(n)*x(n)，并畫出h(n)、x(n)和y(n)的波形。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 解解 h(n)的長(zhǎng)度為N=5, 對(duì)x(n)進(jìn)行分段，每段長(zhǎng)度為M=10。計(jì)算h(n)和x(n)的線性卷積的MATLAB程序如下：%例3.4.1 重疊相加法的MATLAB實(shí)現(xiàn)程序：ep341.m Lx=41; N=5; M=10; %

57、Lx為信號(hào)序列x(n)長(zhǎng)度 hn=ones(1, N); hn1=hn zeros(1, Lx-N); %產(chǎn)生h(n)，其后補(bǔ)零是為了繪圖好看 n=0:L-1; xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5); %產(chǎn)生x(n)的Lx個(gè)樣值 yn=fftfilt(hn, xn, M); %調(diào)用fftfilt用重疊相加法計(jì)算卷積 %= %以下為繪圖部分, 省略第3章 離散傅里葉變換(DFT) 運(yùn)行程序畫出h(n)、x(n)和y(n)的波形如圖3.4.4所示。請(qǐng)讀者從理論上證明y(n)的穩(wěn)態(tài)波形是單一頻率的正弦波。運(yùn)行繪圖程序fig345.m可以得到用重疊相加法求解本例題的xk(n),

58、yk(n)和y(n)=y0(n)+y1(n)+y2(n)+y3(n), 如圖3.4.5所示。 第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.4.4 例3.4.1的求解程序運(yùn)行結(jié)果第3章 離散傅里葉變換(DFT) 圖3.4.5 重疊相加法時(shí)域波形第3章 離散傅里葉變換(DFT) 3.4.2 用用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析 1 用用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析 工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到連續(xù)信號(hào)xa(t)，其頻譜函數(shù)Xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。為了利用DFT對(duì)xa(t)進(jìn)行頻譜分析，先對(duì)xa(t)進(jìn)行時(shí)域采樣，得到x(n)=xa(nT)，再對(duì)x(n)進(jìn)行DFT，得到的X(k)則是x(

59、n)的傅里葉變換X(ej)在頻率區(qū)間0，2上的N點(diǎn)等間隔采樣。這里x(n)和X(k)均為有限長(zhǎng)序列。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 然而，由傅里葉變換理論知道，若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有由傅里葉變換理論知道，若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，則其頻譜無限寬；若信號(hào)的頻譜有限寬，則其持限長(zhǎng)，則其頻譜無限寬；若信號(hào)的頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間必然為無限長(zhǎng)續(xù)時(shí)間必然為無限長(zhǎng)。所以嚴(yán)格地講，持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào)是不存在的。因此，按采樣定理采樣時(shí)，上述兩種情況下的采樣序列x(n)=xa(nT)均應(yīng)為無限長(zhǎng)，不滿足DFT的變換條件。實(shí)際上對(duì)頻譜很寬的信號(hào)，為防止時(shí)域采樣后產(chǎn)生頻譜混疊失真，可用預(yù)濾波器濾除幅度較小的高頻成分，

60、使連續(xù)信號(hào)的帶寬小于折疊頻率。第3章 離散傅里葉變換(DFT) 對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)太多, 以致無法存儲(chǔ)和計(jì)算，只好截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT。由上述可見，用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度有關(guān)。實(shí)際上從工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時(shí)間信號(hào)是允許的。因此，在下面分析中，假設(shè)在下面分析中，假設(shè)xa(t)是是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長(zhǎng)帶限信號(hào)。經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長(zhǎng)帶限信號(hào)。第3章 離散傅里葉變換(DFT) dtetxtxFTifXftjaaa2)()()( 設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)持續(xù)時(shí)間為Tp，最高頻率為fc