解決和導(dǎo)數(shù)有關(guān)問題三個策略

1、解決和導(dǎo)數(shù)有關(guān)問題三個策略例1設(shè)點p在曲線y二ex上，點q在曲線y=ln 2x上，則|pq|的最小值為a. 1-ln 2 b. (1-ln 2)c. 1+ln 2 d. (1+ln 2)分析由題意知，兩條曲線關(guān)于直線y二x對稱，求出其中一條曲線到直線y=x的距離的最小值的2倍即可要求曲 線y= ex上的點p到直線y=x的距離的最小值，可以先設(shè)出點p的坐標(biāo)，運用點到直線的距離公式求解這種方法雖然 可行，但是運算量較大我們可以利用曲線的切線幫助求解.解由題意知，曲線y二ex與y二in 2x關(guān)于直線y二x對稱，且y二ex在r上單調(diào)遞增，所以曲線y二ex上的點與 曲線y二in 2x上的點的最短距離為曲

2、線y二ex上的點到直線y=x的最短距離的2倍.當(dāng)過點p的切線與直線y二x平行 時，點p到直線y=x的距離最短設(shè)點p的坐標(biāo)為(xo, yo),得e二1,即x0=ln2,則點p的坐標(biāo)為(in 2,1)所以 |pq|min=2 二(1-ln 2) 選 b.小結(jié)這道設(shè)計新穎的試題，主要考查同學(xué)們靈活運用數(shù)學(xué)知識的能力靈活轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.例2已知函數(shù)f (x)滿足：f (x)二f '(1) ex-l f (0) x+ (1) 求f (x)的解析式及單調(diào)區(qū)間.(2) 如果f (x)三x2+ax+b,求(a+1) b的最大值.分析要求出f (1), f (0),求導(dǎo)、賦值是必然的.令 h (x

3、)二 f (x) - ( x2+ax+b),由 h f (x)二ex- (a+1) 的符號確定函數(shù)h (x)的單調(diào)區(qū)間.a+1的符號影響了 h (x) 的單調(diào)性，故對a+1的范圍進(jìn)行篩選，選出適合條件的范圍, 找到極值點，得出h (x)的最小值.由h (x)的最小值大于 等于0,得到a, b的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于a+1的函數(shù) 的最大值.解(1)由 f (x)二 f '(1) ex-1- f (0) x+ ,得f ' (x) = f z ( 1) exl- f (0) +x.令 x二 1，將其代入 f f(x) = f 7 (1) ex-1- f (0) +x,可得 f (0

4、) =1,則 f(0)二 f f (1) et二 1,得 f ' (1)二e.所以，f (x)的解析式為f (x)二ex-x+ .令 g (x) = f r (x)二ext+x,則 g 9(x) =ex+l>0,可知g (x)二ex-l+x在r上單調(diào)遞增.于是由 f '(x) $ f '(0),得 x20；由 f '(x)0,則h (x) =ex- (a+1) x-b在r上單調(diào)遞增.當(dāng)x時, h (x) co，與 h (x) 20 矛盾.當(dāng) a+l>0 時，由 h (x) >0,可得 x>ln (a+1),由 h(x) 0),則 f (u

5、) =u (l-21n u).由f (u) >0,可得0當(dāng) u二時，fmax (u)二.所以，當(dāng)a= -1, b=時，(a+1) b取得最大值為.小結(jié)篩選法是對某個參數(shù)的所有取值范圍作一個甄別,篩選出適合題設(shè)的范圍,進(jìn)而解決問題，其關(guān)鍵是如何篩選.例 3 已知函數(shù) f (x) =ln (1+x) -x, g (x) =xln x.(1) 求函數(shù)f (x)的最大值.(2) 設(shè)0 分析 本題主要考查函數(shù)最值的求法和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)求 導(dǎo)的知識，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.(1)解：由已知得，函數(shù)f (x)的定義域為(-1, +-),f '(x) = -1.令f (x)二0,解得x=0,則當(dāng)to；當(dāng)x>0時，f(x) 0,則f (x)在(a, +8)上為增函數(shù).于是可知，當(dāng) x二a時，f (x)有極小值f (a).由于 f (a) =0, b>a,所以 f (b) >0,即 g (a) +g (b) -2