高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離課件 新人教A版必修2

1、2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)目標(biāo)定位1.證明并掌握直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理自 主 預(yù) 習(xí)文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用線面垂直線線平行作平行線ab2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，則_垂直于_的直線與另一個(gè)平面_符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用面面垂直_垂直作面的垂線aal一個(gè)平面內(nèi)交線垂直線面即 時(shí) 自 測(cè)1.判斷題(1)兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一

2、條也垂直于這個(gè)平面.( )(2)垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.( )(3)如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直 線在第一個(gè)平面內(nèi).即，a，ab，bb.( )(4)如果平面平面，那么平面內(nèi)的所有直線都垂直于平面.( )提示(2)垂直于同一平面的兩個(gè)平面可以相交也可以平行.(4)直線與平面位置關(guān)系不確定.2.abc所在的平面為，直線lab，lac，直線mbc，mac，則直線l，m的位置關(guān)系是()a.相交 b.異面 c.平行 d.不確定解析因?yàn)閘ab，lac，ab，ac且abaca，所以l，同理可證m，所以lm.答案c3.在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1的棱ab上任取一點(diǎn)

3、e，作efa1b1于f，則ef與平面a1b1c1d1的關(guān)系是()a.平行 b.ef平面a1b1c1d1c.相交但不垂直 d.相交且垂直解析在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，平面a1abb1平面a1b1c1d1且平面a1abb1平面a1b1c1d1a1b1，又ef面a1abb1，efa1b1，ef平面a1b1c1d1，答案d正確.答案d4.已知a、b為直線，、為平面.在下列四個(gè)命題中，正確的命題是_(填序號(hào)).若a，b，則ab；若a，b，則ab；若a，a，則；若b，b，則.解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行

4、”知真；易知假.答案類型一直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】 如圖，正方體abcda1b1c1d1中，ef與異面直線ac、a1d都垂直相交.求證：efbd1. 證明如圖所示，連接ab1、b1d1、b1c、bd，dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac.又acbd，dd1bdd，ac平面bdd1b1，又bd1平面bdd1b1，acbd1.同理可證bd1b1c，又acb1cc，bd1平面ab1c.efa1d，a1db1c，efb1c.又efac，acb1cc，ef平面ab1c，efbd1.規(guī)律方法證明線線平行常有如下方法：(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)；(2)利用三線平行公理：證

5、兩線同時(shí)平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.【訓(xùn)練1】 如圖，已知平面平面l，ea，垂足為a，eb，垂足為b，直線a，aab.求證：al.證明因?yàn)閑a，l，即l，所以lea.同理leb，又eaebe，所以l平面eab.因?yàn)閑b，a，所以eba，又aab，ebabb，所以a平面eab.因此，al.類型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】 已知：、是三個(gè)不同平面，l為直線，l.求證：l.證明法一設(shè)a，b，在內(nèi)任取一點(diǎn)p，過(guò)p在內(nèi)作直線ma

6、，nb，如圖.，m，n，又l，ml，nl，又mnp，l.法二如圖，a，b，在內(nèi)作ma，在內(nèi)作nb.，m，n，mn.又n，m ，m，又l，m，ml，l.規(guī)律方法1.證明或判定線面垂直的常用方法有：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理；(3)若ab，a則b；(a，b為直線，為平面).(4)若a，則a；(a為直線，為平面).2.兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線.【訓(xùn)練2】 設(shè)平面平面，點(diǎn)p在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)p作平面的垂線a，試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.解如圖，設(shè)c，過(guò)點(diǎn)p在平面內(nèi)作直線bc.根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理有

7、b.因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直，所以直線a與直線b重合，因此a.類型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用(互動(dòng)探究)【例3】 如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長(zhǎng)為a的菱形，且dab60，側(cè)面pad為正三角形，其所在的平面垂直于底面abcd.(1)若g為ad邊的中點(diǎn)，求證：bg平面pad；(2)求證：adpb.思路探究探究點(diǎn)一運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理的一般策略是什么？提示運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般要作輔助線：過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線.這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直或線線垂直了.探究點(diǎn)二線線、線面、面面垂直關(guān)系之間有怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？提示證明(1)在菱形abcd中，d

8、ab60，abd為正三角形，又g為ad的中點(diǎn)，bgad.又平面pad平面abcd，bg平面abcd，平面pad平面abcdad，bg平面pad.(2)連接pg，如圖，pad為正三角形，g為ad的中點(diǎn)，pgad.由(1)知bgad，pgbgg，ad平面pgb，pb平面pgb，adpb.規(guī)律方法證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理.證明線面垂直的問(wèn)題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直；(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.【訓(xùn)練3】 如圖，已知四棱錐pa

9、bcd的底面是直角梯形，abcbcd90，abbcpbpc2cd，側(cè)面pbc底面abcd.pa與bd是否相互垂直？請(qǐng)證明你的結(jié)論.解pa與bd相互垂直.證明如下：如圖，取bc的中點(diǎn)o，連接po、ao.pbpc，pobc，又側(cè)面pbc底面abcd，平面pbc平面abcdbc，po底面abcd，又bd平面abcd.pobd，在直角梯形abcd中，易證abo bcd，baocbd，cbdabd90，baoabd90，aobd，又poaoo，bd平面pao，bdpa，即pa與bd相互垂直.課堂小結(jié)1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的

10、依據(jù).2.面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：1.下列說(shuō)法正確的是()a.垂直于同一條直線的兩直線平行b.垂直于同一條直線的兩直線垂直c.垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行d.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行解析由線面垂直的性質(zhì)定理知c正確.答案c2.設(shè)l是直二面角，直線a，直線b，a，b與l都不垂直，那么()a.a與b可能垂直，但不可能平行b.a與b可能垂直，也可能平行c.a與b不可能垂直，但可能平行d.a與b不可能垂直，也不可能平行因?yàn)?，所以a，又b，ab，b，而l，bl，與b和l不垂直矛盾，所以b錯(cuò).解析當(dāng)a，b都與l平行時(shí)，則ab，所以a、d錯(cuò)，如圖，若ab過(guò)a上一點(diǎn)p在內(nèi)作al，答案c3.如圖，在三棱錐pabc內(nèi)，側(cè)面pac底面abc，且pac90，pa1，ab2，則pb_.