第八章向量代數(shù)與空間解析幾何1

1、1恩格斯恩格斯2第八章第八章 向量代數(shù)與向量代數(shù)與空間解析幾何空間解析幾何3第一節(jié)第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 定點(diǎn)定點(diǎn)ox橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住 z 軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指度轉(zhuǎn)向度轉(zhuǎn)向 y 軸正向時(shí)，軸正向時(shí)，大拇指的指向就是大拇指的指向就是 z 軸的正向軸的正向. .從從 x 軸正向以軸正向以 角角2 4xoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限xyoz5)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0

2、(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxcxyzo),(zyxm 空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(o坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),p,q,r坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),a,b,c一個(gè)分量為零一個(gè)分量為零: :點(diǎn)在坐標(biāo)面上點(diǎn)在坐標(biāo)面上. . 兩個(gè)分量為零兩個(gè)分量為零: :點(diǎn)在坐標(biāo)軸上點(diǎn)在坐標(biāo)軸上. . 6, ),(1111zyxm設(shè)設(shè)),(2222zyxm為空間兩點(diǎn)為空間兩點(diǎn),由勾股定理，得由勾股定理，得兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式： 22122122121)()()(|zzyyxxmm oxyzz1z2x2x1y1y2m

3、2m1特特別別，點(diǎn)點(diǎn)),(zyxm與與原原點(diǎn)點(diǎn))0 , 0 , 0(o的的距距離離為為 222|zyxom 7 在在 z 軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn) a( 4, 1, 7) 和和b(3, 5, 2)等等距離的點(diǎn)距離的點(diǎn).設(shè)該點(diǎn)為設(shè)該點(diǎn)為m(0, 0, z) , ,由題設(shè)由題設(shè) |ma| = |mb| ,即即222222)2()05()03()7()01()04( zz 解得解得，914 z即所求點(diǎn)為即所求點(diǎn)為.)914, 0, 0(m例例1 1解解8練習(xí)：練習(xí)：p3 習(xí)題習(xí)題8.11. 9第二節(jié)第二節(jié) 向量的線性運(yùn)算和向量的坐標(biāo)表示向量的線性運(yùn)算和向量的坐標(biāo)表示一、向量的概念一、向量的概念1、向

4、量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 稱為稱為向量向量 (或或矢量矢量).用一條有方向的線段來表示向量用一條有方向的線段來表示向量.2、向量的幾何表示法向量的幾何表示法以線段的以線段的長度長度表示向量的表示向量的大小大小, aba特別特別: : 模為模為1 1的向量稱為的向量稱為單位向量單位向量. . 模為模為0 0的向量稱為的向量稱為零向量零向量. .記為記為 , ,它的方向可以看它的方向可以看作是任意的作是任意的. .0有向線段的有向線段的方向方向表示向量的方向表示向量的方向. .以以a為起點(diǎn)為起點(diǎn), b為終點(diǎn)的向量為終點(diǎn)的向量, 記為記為 或或 .aba向量向量 的大

5、小叫做向量的的大小叫做向量的模模. 記為記為 或或 . abab|a| |103、自由向量自由向量a自由向量自由向量：只有大小、方向：只有大小、方向, 而無特定起點(diǎn)的向量而無特定起點(diǎn)的向量. 具有在空間中可以任意平移的性質(zhì)具有在空間中可以任意平移的性質(zhì).ba與與若若向向量量大小相等且方向相同大小相等且方向相同,記記作作相相等等與與稱稱 .ba.ba aab4、向量相等向量相等即通過平移即通過平移可以使它們可以使它們重合重合, ,115、向量平行向量平行(或共線或共線)abab6、向量共面向量共面 當(dāng)把若干個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起時(shí)當(dāng)把若干個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起時(shí), ,若它們的若它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在

6、一個(gè)平面上終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上, ,則稱這些向量則稱這些向量共面共面. . 如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 與與 的方向相同或相反的方向相同或相反, ,稱為稱為平行平行, ,記為記為abab12, 0 a, 0 bab 稱稱為為向向量量 a與與向向量量 b的的夾夾角角, 記記為為 特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值.)0( aobaob 則則),(ba),(ab或或.7、兩向量的夾角兩向量的夾角將它們平移，使得始點(diǎn)重合，將它們平移，使得始點(diǎn)重合， ab方方向向相相同同與與ba:0 方方向向

7、相相反反與與ba: 平行，平行，垂垂直直與與ba:2 .ba 131、向量的加法向量的加法(1) 平行四邊形法則平行四邊形法則abbba (2) 三角形法則三角形法則abba b向量的加法向量的加法二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算14向量加法的運(yùn)算規(guī)律：向量加法的運(yùn)算規(guī)律：(1) 交換律交換律: abba (2) 結(jié)合律結(jié)合律:)()(cbacba ba ababcb cba abcba 15多個(gè)向量相加多個(gè)向量相加: : s1a2a3a4anaaa 21從從1a的的起起點(diǎn)點(diǎn)開開始始, ,首首尾尾相相接接, ,指指向向na的的終終點(diǎn)點(diǎn). . 例如例如,4321aaaas 162、向量的減法

8、：向量的減法：abb b cbabac )(2) 向量減法向量減法.規(guī)定規(guī)定:)( baba (1) 負(fù)向量負(fù)向量: 與與 模相同而方向相反的向量模相同而方向相反的向量, 稱為稱為 的的負(fù)向量負(fù)向量, 記作記作 .aaa aa 將將 之一平移之一平移, 使起使起點(diǎn)重合點(diǎn)重合, 由由 的終點(diǎn)向的終點(diǎn)向 的的終點(diǎn)作一向量終點(diǎn)作一向量, 即為即為 abba,.ba abba ba 173、向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法定義定義模：模： |aa 當(dāng)當(dāng) 0時(shí)時(shí), ;同同向向與與aa 當(dāng)當(dāng) 0時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) = 0時(shí)時(shí), ., 0它它的的方方向向可可以以是是任任意意的的 a 設(shè)設(shè) 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù). 規(guī)定規(guī)定:

9、向量向量 與數(shù)與數(shù) 的的 為一個(gè)向量為一個(gè)向量.a 乘乘積積aaa 0 ;反反向向與與aa a 0 方向：方向：18向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律:(1) 結(jié)合律結(jié)合律:aaa)()()( (2) 分配律分配律:aaa )(baba )(定理定理設(shè)設(shè)0 a, ,則則ab/存存在在唯唯一一實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)k, ,使使akb . . 向量的單位化：向量的單位化：，設(shè)設(shè)0 a則則 表表示示與與 a方方向向相相同同的的單單位位向向量量. . aa|119例例2 2 試用向量證明三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于試用向量證明三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊第三邊, ,且其長度等于第三邊的一半且其長度等

10、于第三邊的一半. . 如如圖圖所所示示, ,設(shè)設(shè)ed,分分別別為為acab,的的中中點(diǎn)點(diǎn), ,則則 證證abcde,21abad adaede ,21acae 所以所以)(21abac ,21bc 所以所以,/ bcde且且.21bced 20設(shè)設(shè)cba,兩兩兩兩不不平平行行, ,若若0 cba, ,則則 cba,構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)三三角角形形. . 設(shè)設(shè)立立方方體體三三邊邊為為cba, ,fedcba,為為各各邊邊中中點(diǎn)點(diǎn), , 例例3 3證證證證明明：efcdab,構(gòu)構(gòu)成成三三角角形形. . abcdefoabc, )(21baab , )(21cacd , )(21bcef 0 efcda

11、b, ,即即構(gòu)構(gòu)成成三三角角形形. . 21設(shè)設(shè)fed,分分別別是是 abc 三三邊邊的的中中點(diǎn)點(diǎn), ,證證明明 類類似似, ,設(shè)設(shè)dcba,兩兩兩兩不不平平行行, ,若若0 dcba, ,則則dcba,構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)四四邊邊形形( (但但不不一一定定共共面面) ). . 練習(xí)：練習(xí)：證證明明向向量量cdbfae,構(gòu)構(gòu)成成某某個(gè)個(gè)三三角角形形的的三三邊邊. . 22三、向量的坐標(biāo)表示三、向量的坐標(biāo)表示1. 起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量(向徑向徑)om設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) m (x,y, z)zijkmoxycabzyxn以以 分別表示沿分別表示沿x, y, z軸正向的單位向量軸正向的單位向量, 稱為

12、稱為基本單基本單位向量位向量. .kji,om = oa + an +nm r= oa + ob + oc,kzj yix 稱稱 oa、ob、oc分別是分別是om 在在 x 軸軸, y 軸軸, z 軸軸上的上的分向量分向量, 而而x, y, z,分別是分別是om 在三坐標(biāo)軸上的投在三坐標(biāo)軸上的投影影, 稱為稱為om 的的坐標(biāo)坐標(biāo).簡記為簡記為 , 此稱為向量此稱為向量 的的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式.omr ,zyxr 23xyzo 1mpnqr 2m以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiapmqmpmazyx 111 向量在向量在 軸上的投影軸上

13、的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxmm)()()(12121221 2. 起點(diǎn)不在原點(diǎn)起點(diǎn)不在原點(diǎn)o的任一向量的任一向量21mma 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) m1 (x1, y1 , z1), m2 (x2, y2 , z2)24kzzjyyixxmm)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標(biāo)坐標(biāo)：,zyxaaa向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa ,1212122

14、1zzyyxxmm 特殊地：特殊地：,zyxom 25,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( .)()()(kajaiazyx 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算26兩向量平行的充要條件：兩向量平行的充要條件：即即 ax = bx，ay = by，az = bz，于是于是./zzyyxxbabababa 即對應(yīng)的坐標(biāo)成比例即對應(yīng)的坐標(biāo)成比例.注注: 在上在上 式中規(guī)定式中規(guī)定, 若某個(gè)分母為零若某個(gè)分母為零, 則相應(yīng)

15、的分子則相應(yīng)的分子也為零也為零.已知已知baba /設(shè)設(shè),zyxaaaa ,zyxbbbb 且且 為常數(shù)為常數(shù),27設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)),(111zyxa, ,),(222zyxb, ,在在線線段段ab上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)m, ,使使 mbam )1( . . （定定比比分分點(diǎn)點(diǎn)） ,111zzyyxxam ,222zzyyxxmb 設(shè)設(shè)),(zyxm為直線上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，abmxyzo例例4 4解解由題意知：由題意知：mbam ,111zzyyxx ,222zzyyxx 28,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,12

16、1 yyy,121 zzz m的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為)1,1,1(212121 zzyyxx 特特別別, ,1 , ,得得線線段段ab的的中中點(diǎn)點(diǎn) )2,2,2(212121zzyyxx 29設(shè)設(shè)向向量量,zyxr ， 向量的模的坐標(biāo)表示向量的模的坐標(biāo)表示作作kzj yi xrom ， xyzo)0 , 0 ,(xp)0 ,0(yq),0 , 0(zr)0 ,(yxn),(zyxm 由勾股定理知，由勾股定理知，,|222zyxomr 此即向量此即向量模的坐標(biāo)表示模的坐標(biāo)表示. . 30方向角與方向余弦方向角與方向余弦 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為稱為方向角方向

17、角. . ，,zyxomr 設(shè)設(shè)xyzo m,0 ,0 .0 31方向角與方向余弦方向角與方向余弦 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為稱為方向角方向角. . ，,zyxomr 設(shè)設(shè)xyzo m 由圖分析可知由圖分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示方向余弦通常用來表示向量的方向向量的方向. .32方向角與方向余弦方向角與方向余弦 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為稱為方向角方向角. . ，,zyxomr 設(shè)設(shè)xyzo m 222|zyxr ,cos222zyxx 向

18、量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0|222 zyxr,cos222zyxy .cos222zyxz 331coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 34 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)m1(2, 2, )和和m2(1, 3, 0). 計(jì)算向量計(jì)算向量m1 m2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2例例5 5解解m1 m2 = 1, 1, 221mm;22cos ,21cos ,21cos .43

19、,3 ,32 ;2)2(1)1(222 模模:方向余弦：方向余弦：方向角：方向角：35 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)a(4, 0, 5)和和b(7, 1, 3). 求方向和求方向和ab 一致的單位向量一致的單位向量.例例6 6解解，14)2(13|222 ab.142 ,141 ,143| ababa,2, 1, 3 ab36練習(xí)：練習(xí)：p8 習(xí)題習(xí)題8.21. 37sf解解: : 由物理知由物理知, 與位移平行的與位移平行的分力作功分力作功, 與位移垂直的與位移垂直的分力不作功分力不作功. 于是于是第三節(jié)第三節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積|cos|sfw 例

20、如例如: 設(shè)力設(shè)力 f 作用于某物體上作用于某物體上, 物體有一段位移物體有一段位移 s , 求功的表示式求功的表示式.cos| sf 38ab 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)內(nèi)積積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積. .定義定義,prjcos|bba ,prjcos|aab abbabprj| .prj|baa cos| |baba 向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba ， ( (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角) ) 投影投影39數(shù)量積符合下列運(yùn)

21、算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： . )()()(bababa 40關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：證證證證.| aaa 即即0)2( ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos . ba 即即，2|)1(aaa ,ba ,0cos . 0cos| | baba, 0 .|cos| |2aaaaa ,2 ,2 41例例1 1 利用向量證明三角形的余弦定理利用向量證明三角形的余弦定理證證ab c.cos2222 abbac , bac 由于由于)()(| 2ba

22、baccc babbaa 2， cos| |2|22baba .cos2 222 abbac 42證證明明三三角角不不等等式式 |baba . 例例2 2證證 cos| baba，|ba )()(| 2bababa 22| |2|bbaa 222bbaa ，2) | (ba 所以所以. |baba 43數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)()(kbjbibkajaiazyxzyx ,kji ,0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ijk44 cos| |baba ,| |cosbaba 222

23、222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為45例例3 3解解已知已知3 , 1, 2 a，4 , 1 , 3 b，求，求 ba ； baab22 。 (1)ba ;17431)1(32 ,143)1(22222 a,264132222 bbaab22 4 , 1 , 3143 , 1, 226 .22,40,10 (2)46例例4 4解解;1100111 amb cos.),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1

24、, 1( ambbam 求求和和已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)、,21221 .3 amb.,的的夾夾角角與與就就是是向向量量作作向向量量mbmaambmbma ,0 , 1 , 1 ma,1 , 0 , 1 mbmbma ,2,2 mbmambmambma abm47二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積先研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的先研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的力矩力矩lfpqo 設(shè)設(shè) o 為為一一根根杠杠桿桿 l 的的支支點(diǎn)點(diǎn)， 有有一一力力 f 作作用用于于這這杠杠桿桿上上 p 點(diǎn)點(diǎn)處處力力 f 與與 op 的的夾夾角角為為 ，力力 f 對對支支點(diǎn)點(diǎn) o 的的力力矩矩是是一一向向量量 m，它它的的模模 |foqm s

25、in| |fop m 的的方向方向: 垂直于垂直于op與與f 所在的平所在的平面面, 指向使指向使op、f與與m 滿足滿足右手規(guī)則右手規(guī)則.48定義定義向向量量a與與b的的向向量量積積 bac 規(guī)規(guī)定定為為 sin| |)1bacc 的模的模大?。捍笮。?其其中中 為為a與與b的的夾夾角角) 2 2) )方方向向：c的的方方向向同同時(shí)時(shí)垂垂直直于于a和和b， 即即垂垂直直于于a, ,b所所決決定定的的平平面面, ,a, ,b和和ba 成成右右手手系系. . 向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.”.bac ab49注注: （1）向量積的模的）向量積的模的幾何意義幾何意義.|ba

26、是是以以ba,為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積； （2 2）0 ba 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) ba/. . （3 3）0 aa sin| |baba bac ab50向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）反交換律：反交換律：.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )()(baba bbbaabaa .2ba 例例5 551向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik

27、 , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ijk52向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示.zyxzyxbbbaaakjiba ba kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 53求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量. bac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc . )5152(kj 例例6 6解解54在在頂頂點(diǎn)點(diǎn)為為)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的的三三角角形形中中，

28、求求ac邊邊上上的的高高bd. abcd3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面積為的面積為|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |521225bd .5| bd例例7 7解解|21bdacs |abac 054340 kji,161215kji 55設(shè)已知三個(gè)向量設(shè)已知三個(gè)向量cba,，數(shù)量數(shù)量 cba )(稱為稱為這三個(gè)向量的這三個(gè)向量的混合積混合積，記為，記為cba. . 三、向量的混合積三、向量的混合積定義定義cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),

29、kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式56（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向向量量的的混混合合積積cba是是這這樣樣的的一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù), 它它的的絕絕對對值值表表示示以以向向量量cba,為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積. acbba 關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量 a、b、c 共共面面 . 0 cba57abcd已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)),(111zyxa、),(222zyxb、),(333zyxc、),(444zyxd, 求四面體的體積

30、求四面體的體積. 由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量ab、ac、ad為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.| |61adacabv 例例8 8解解58,131313zzyyxxac ,141414zzyyxxad 141414131313121212 abs 61 zzyyxxzzyyxxzzyyxxv abcd,121212zzyyxxab 59例例9 9解解判別判別)2 , 0 , 3(),4 , 3 , 1(),2 , 1 , 1(),1, 1, 2(dcba 四點(diǎn)是否共面？四點(diǎn)是否共面？ 只要判別三個(gè)向量只要判別三個(gè)向量a

31、b、ac、ad是否共面即可是否共面即可 630420321 ,3 , 2 , 1 ab,5 , 4 , 3 ac,3 , 1 , 1 ad311543321)( adacab,0 因此因此 a、b、c、d 四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面 60解解例例1010已已知知2 cba，計(jì)計(jì)算算)()()(accbba . )()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba .4 61向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）

32、（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）小結(jié)小結(jié)62練習(xí)：練習(xí)：p15 習(xí)題習(xí)題8.31. 63xyzo 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知平面的法線向量為已知平面的法線向量為,cban 設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為，),(zyxm第四節(jié)第四節(jié) 平面方程和空間直線方程平面方程和空間直線方程n一、平面及其方程一、平面及其方程),(0000zyxm且過點(diǎn)且

33、過點(diǎn)求平面方程求平面方程.0mm1、平面的點(diǎn)法式方程、平面的點(diǎn)法式方程64,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程,cban ),(0000zyxm),(zyxm00 nmmxyzon0mm65求求過過點(diǎn)點(diǎn))0 , 3, 2( a且且以以3 , 2, 1 n為為法法向向的的平平面面方方程程. . 解解例例1 1，03)3(2)2( zyx化簡得所求平面方程為化簡得所求平面方程為.0832 zyx由平面的點(diǎn)法式由平面的點(diǎn)法式66求求過過三三點(diǎn)點(diǎn))1, 0 , 1( a、)2 , 1 , 2(b和和)1 , 1 , 1( c的的平平面面

34、方方程程. ,3, 1, 1 ab取取acabn ,3, 8, 1 所求平面方程為所求平面方程為, 0)1(3)0(8)1( zyx化簡得化簡得.0438 zyx解解例例2 2bcan212311 kji,2, 1, 2 ac67一一般般, ,若若三三點(diǎn)點(diǎn))3 , 2 , 1( ),( izyxaiiii不不在在一一直直線線上上, ,則則這這三三點(diǎn)點(diǎn)確確定定一一張張平平面面, ,其其方方程程為為( (混混合合積積) ) 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 或或 01111333222111 zyxzyxzyxzyx. . 稱為平面的稱為平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)

35、式方程 68求求過過點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(,且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n所以所求平面的法向量為所以所求平面的法向量為21nnn 5,15,10 化簡得化簡得. 0632 zyx, 0)1()1(3)1(2 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例3 3兩平面的法向分別為兩平面的法向分別為1223111 kji,1, 3, 2/692、平面的一般方程、平面的一般方程 前面看到前面看到, ,平面可用平面可用三元一次方程三元一次方程表示；反之表示；反之, ,任一三元一次方程任一三元一次方程 0 d

36、czbyax（* *） 當(dāng)當(dāng) a, ,b, ,c 不全為零時(shí)不全為零時(shí), ,表示一張平面表示一張平面, , 它的法向?yàn)樗姆ㄏ驗(yàn)?,cban （* *）稱為平面的）稱為平面的一般方程一般方程. . 70平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( d平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( a , 0, 0dd平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 dczbyax71解解例例

37、4 4 求通過求通過 x 軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)(4, 3, 1)的平面方程的平面方程.由于平面過由于平面過 x 軸軸, 所以所以 a = d = 0.設(shè)所求平面的方程為設(shè)所求平面的方程為 by + cz = 0 ,又點(diǎn)又點(diǎn)(4, 3, 1)在平面上在平面上, 所以所以 3b c = 0 , c = 3b , ,所求平面方程為所求平面方程為 by 3bz = 0 ,0 b顯然顯然所以所求平面方程為所以所求平面方程為.03 zy72設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr(其其中中0 a,0 b,0 c), 求求此此平平面面方方程程

38、. 設(shè)平面方程為設(shè)平面方程為, 0 dczbyax將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解例例5 573代入即得所求方程為代入即得所求方程為1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距oypxzqr,ada ,bdb .cdc ,0 d顯然顯然,0 dczbyax74把平面方程化為截距式把平面方程化為截距式, 14/556/5 zyxxyzo求求平平面面0546 zyx與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍四四面面體體的的體體積積. . .1441254556561 v解解例例6

39、 675兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角. .定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n , 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 3、兩平面的夾角、兩平面的夾角76按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 77求求兩兩平平面面062 zyx和和05

40、2 zyx的的夾夾角角. . 解解例例7 7，2 , 1, 11 n兩平面的法向分別為兩平面的法向分別為，1 , 1 , 22 n，321 nn，6|21 nn21|cos2121 nnnn .3 78解解例例8 8 判斷下列各組平面的位置關(guān)系：判斷下列各組平面的位置關(guān)系：；：0432 )1(1 zyx .01865 2 zyx： ，1 , 3, 21 n，8 , 6 , 52 n，021 nn. 21 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合01224, 012)

41、2( zyxzyx解解79,212142 21)0 , 1, 1()0 , 1, 1( mm兩平面平行兩平面平行所以兩平面重合所以兩平面重合.02224, 012)3( zyxzyx,1, 1, 21 n2 , 2, 42 n解解80.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1( 21，求求它它的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一一平平面面通通過過兩兩點(diǎn)點(diǎn) zyxmm1 1m2m1n.02 zyx111201 kji,1, 1, 2 解解例例9 9所求平面的法向?yàn)樗笃矫娴姆ㄏ驗(yàn)?，過過點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(1m，0)1()1()1(2 zyx化簡得化簡得n121 nmmn 81過過點(diǎn)

42、點(diǎn))1 , 3, 2( 且且與與平平面面0432 zyx平平行行的的平平面面方方程程. . 將將)1 , 3, 2( 代入得代入得 7 d, , 所求方程為所求方程為 0732 zyx. . 解解例例1010，032 dzyx設(shè)所求方程為設(shè)所求方程為82設(shè)設(shè)),(0000zyxp是平面是平面byax 0 dcz 外一點(diǎn)，求外一點(diǎn)，求0p到平面的距離到平面的距離. 1pnn0p 解解則有則有 0111 dczbyax, , 在平面上取一點(diǎn)在平面上取一點(diǎn)),(1111zyxp, , 4、點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離顯然有顯然有 |01ndnpp , , 而而,10101001cbazzyyxxn

43、pp )()()(101010zzcyybxxa )(111000czbyaxczbyax ，dczbyax 00083222000|cbadczbyaxd 點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式如如, ,點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(到平面到平面0432 zyx的距離為的距離為 ，dczbyaxnpp 00001，而而222| cban 1944132 .144 , |01ndnpp 84平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程 （注意兩平

44、面的（注意兩平面的位置關(guān)系位置關(guān)系）小結(jié)小結(jié)85xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩個(gè)不平行平面的交空間直線可看成兩個(gè)不平行平面的交線線0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa 空間直線的一般方程空間直線的一般方程l二、空間直線及其方程二、空間直線及其方程1、空間直線的一般方程、空間直線的一般方程86xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于一如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的條直線的方向向量方向向量sl),(0000zyxm0m m ,lm ),(zy

45、xmsmm0/,pnms ,0000zzyyxxmm 2、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 87pzznyymxx000 直線的點(diǎn)向式方程直線的點(diǎn)向式方程(或?qū)ΨQ式方程或?qū)ΨQ式方程)注注：若：若0 m, ,理解為理解為 lzznyyxx000, , 若若0 nm, ,理解為理解為 00yyxx, , 此時(shí)直線與此時(shí)直線與 x 軸垂直；軸垂直； 此時(shí)直線與此時(shí)直線與 xoy 面垂直面垂直. 88tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向向量的余弦稱為直線的方向余

46、弦方向余弦. 直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程89求求過過兩兩點(diǎn)點(diǎn)),(111zyxa、),(222zyxb的的直直線線方方程程. . 解解例例1111 直線的直線的兩點(diǎn)式方程兩點(diǎn)式方程 方向向量為方向向量為，,121212zzyyxxab 121121121zzzzyyyyxxxx 所以所求直線方程為所以所求直線方程為90一一直直線線過過點(diǎn)點(diǎn))4 , 3, 2( , 且且和和 y 軸軸垂垂直直相相交交，求求其其方方程程. 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( b取取bas ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx解解例例1212因?yàn)橹本€和因?yàn)橹本€和 y 軸垂直相交軸垂

47、直相交, 91即即直直線線過過點(diǎn)點(diǎn))2 , 0 , 1( , , 解解例例13 13 將直線一般式化為對稱方程及參數(shù)方程：將直線一般式化為對稱方程及參數(shù)方程： 043201zyxzyx先在直線上找一點(diǎn)：先在直線上找一點(diǎn)：,1 x令令， 06302zyzy解得解得， 20zy92兩兩平平面面的的法法向向：1111， n, ,3 , 1, 22 n, , 直直線線的的方方向向向向量量為為 3, 1, 421 nns， 直直線線的的對對稱稱方方程程為為 32141 zyx. . 再求方向向量：再求方向向量： 043201zyxzyx1 2 1n2n參數(shù)方程為參數(shù)方程為.3241 tztytx即即直直

48、線線過過點(diǎn)點(diǎn))2 , 0 , 1( , , 93 定義定義直線直線:1l,111111pzznyymxx 直線直線:2l,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角兩直線的夾角.（通常取銳角）（通常取銳角） 兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式3、兩直線的夾角、兩直線的夾角s1s294兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直線直線:1l直線直線:2l,0, 4, 11 s,

49、1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21ll 即即95求兩直線求兩直線 1l：21213 zyx和和 2l：230212/3 zyx的夾角的夾角. . 解解例例1414,851517|220213|cos .851arccos 96定義定義 直線和它在平面上的投影直線的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為稱為直線與平面的夾角直線與平面的夾角,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax,pnms ,cban 2),(ns 2),(ns4、直線與平面的夾角、直線與平面的夾角.20 97222222|sinpnmcbacpbnam 直線與平面的夾角公式

50、直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnam)2cos(sin | )2cos(| 98例例15 15 判定下列各組直線與平面的關(guān)系：判定下列各組直線與平面的關(guān)系：. 3224: 37423: )1( zyxzyxl和和又點(diǎn)又點(diǎn)m0( 3, 4, 0)在直線在直線 l 上上, 但不在平面上但不在平面上,所以所以 l 與與 平行平行, 但不重合但不重合.解解l的方向向量的方向向量3 , 7, 2 s 的法向量的法向量2, 2, 4 n,0 ns所以所以 l 與與 平行平行.99解解l的方向向量的方向向量7 , 2, 3

51、s 的法向量的法向量14, 4, 6 n,/ns所以所以 l 與與 垂直垂直.81446: 723: )2( zyxzyxl和和例例15 15 判定下列各組直線與平面的關(guān)系：判定下列各組直線與平面的關(guān)系：100解解l的方向向量的方向向量4, 1 , 3 s的法向量的法向量111， n. 3: 431232: )3( zyxzyxl和和,0 ns所以所以 l 與與 平行平行.又又 l 上的點(diǎn)上的點(diǎn) m0(2, 2, 3) 滿足平面方程滿足平面方程,所以所以 l 與與 重重合合.例例15 15 判定下列各組直線與平面的關(guān)系：判定下列各組直線與平面的關(guān)系：101設(shè)設(shè)直直線線 :l21121 zyx，

52、平平面面: 32 zyx，求求直直線線與與平平面面的的夾夾角角. ,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s|sinsnsn 967 .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角解解例例1616102求求過過點(diǎn)點(diǎn))4 , 2, 1( 且且與與平平面面0432 zyx垂垂直直的的直直線線方方程程. . 求求過過點(diǎn)點(diǎn))5 , 2 , 3( 且且與與平平面面34 zx和和152 zyx平平行行的的直直線線方方程程. . 所求直線方程為所求直線方程為 153243 zyx. . 解解例例1717.143221 zyx例例1818解解方向向量方向向量,1, 3, 45, 1, 24, 0 , 1 s

53、103l求過點(diǎn)求過點(diǎn))3 , 1 , 2(a且與直線且與直線: :12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. . 即即 0523 zyx, , 例例1919解解，0)3() 1( 2)2( 3 zyx a ， tztytx1213，0614 t，73 tb過點(diǎn)過點(diǎn) a 且與直線且與直線 l 垂直的平面垂直的平面 ：再求直線再求直線 l 與平面與平面 的交點(diǎn)的交點(diǎn)(垂足垂足)： 代入代入的方程的方程, , 104垂垂足足為為 )73,713,72( b, , 所求直線為過點(diǎn)所求直線為過點(diǎn) a,b 的直線：的直線： ，3733171312722 zyx.431122 zyx即即l a

54、 b求過點(diǎn)求過點(diǎn))3 , 1 , 2(a且與直線且與直線: :12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. . 例例1919解解105注注：缺缺少少平平面面2 ( (為為什什么么? ?) ). . 5、平面束方程、平面束方程0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa設(shè)兩張平面設(shè)兩張平面相交于直線相交于直線 l , 則過則過 l 的平面束可表示為的平面束可表示為 .0)(22221111 dzcybxadzcybxa 106設(shè)設(shè)平平面面方方程程為為 0)132(22 zyxzyx , 求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線 13222zyxzyx和點(diǎn)和點(diǎn))2 , 2, 1( p的平的

55、平面方程面方程 例例2020解解由由于于點(diǎn)點(diǎn))2 , 2, 1( p在在該該平平面面上上， 代代入入得得 2 , 由此得到所求平面方程為由此得到所求平面方程為 ,0)132(222 zyxzyx.04554 zyx即即107求過點(diǎn)求過點(diǎn))2, 1 , 3( 且通過直線且通過直線12354zyx 的平面方程的平面方程. . 比較：比較：解解因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)因?yàn)槠矫孢^點(diǎn))2, 1 , 3( a, ,且過直線上一點(diǎn)且過直線上一點(diǎn))0 , 3, 4( b, , 故平面平行于故平面平行于ab, ,且平行于直線的方向向量且平行于直線的方向向量1 , 2 , 5 s, , 所以其法向?yàn)樗云浞ㄏ驗(yàn)?22, 9

56、, 8125241 kjisabn由點(diǎn)法式得所求平面的方程為由點(diǎn)法式得所求平面的方程為 0)2(22)1(9)3(8 zyx0592298 zyx即即108設(shè)設(shè)平平面面方方程程為為 0) 132(22 zyxzyx , 求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線 0262 zyxzyxl：且垂直于平面且垂直于平面02 zyx的平面方程的平面方程. 例例2121解解由于所求平面與平面由于所求平面與平面02 zyx垂直，所以垂直，所以 由此得到所求平面方程為由此得到所求平面方程為 ,06)1()1(2)1( zyx 即即,01, 2, 11,22,1 .0623 zyx,01)22(21 即即解得解得 2 , 109

57、l求直線求直線l: : 0101zyxzyx 在平面在平面 : :0 zyx上的投影直線的方程上的投影直線的方程. . 只只要要求求出出過過l且且與與 垂垂直直的的平平面面即即可可. . 且且 l 過過點(diǎn)點(diǎn))0 , 1 , 0(, , 的的法法向向1 , 1 , 1 n, , 過過l且與且與 垂直的平面垂直的平面1 的法向?yàn)榈姆ㄏ驗(yàn)?例例2222解解先求先求 l的方向向量：的方向向量： ，2, 2, 01 , 1, 11, 1 , 1 s，2, 2 , 01 snn方法方法1 1110方法方法1 1，2, 2 , 01 snn即即 01 zy. . 所所求求投投影影直直線線即即為為平平面面 與

58、與 1 的的交交線線 1 的的方方程程為為 02)1(2 zy, , 010zyzyx l且且 l 過過點(diǎn)點(diǎn))0 , 1 , 0(, , 求直線求直線l: : 0101zyxzyx 在平面在平面 : :0 zyx上的投影直線的方程上的投影直線的方程. . 例例2222解解111方法方法2 2設(shè)過直線設(shè)過直線 l的平面束方程為的平面束方程為 ，0)1()1( zyxzyx l求直線求直線l: : 0101zyxzyx 在平面在平面 : :0 zyx上的投影直線的方程上的投影直線的方程. . 例例2222112即即 0)1()1()1()1( zyx, , 欲欲使使它它與與平平面面0 zyx垂垂直直, ,只只要要 ，01111,1 ,1 ，1 過過l且與且與 垂直的平面垂直的平面1 的的方程方程為為 0222 zy, ,或或 01 zy, , 以下同方法以下同方法1.方法方法2 2