絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂

1、 9.5 9.5 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂 級(jí)數(shù)的性質(zhì)級(jí)數(shù)的性質(zhì) 定理1 對(duì)于級(jí)數(shù) ,將它的所有正項(xiàng)保留而將負(fù)項(xiàng)換為0,組成一個(gè)級(jí)數(shù)記為 .將它的所以負(fù)項(xiàng)變號(hào)(乘上因子-1)而將正項(xiàng)換為0,也組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)記為 亦即那么 (i)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù) 和級(jí)數(shù) 都收斂; (ii)若級(jí)數(shù) 條件收斂,則級(jí)數(shù) 和級(jí)數(shù) 都發(fā)散 1nnu1nnv0, 00,2 nnnnnnuuuuuv0, 00,2 nnnnnnuuuuuw1nnu1nnv1nnw1nnu1nnv1nnw 證明證明 (i)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,由于按比較判別法,級(jí)數(shù) 和級(jí)數(shù) 都收斂. (ii)若 為條件收斂,用反證法證

2、明定理的第二結(jié)論.假設(shè)級(jí)數(shù) 和級(jí)數(shù) 中至少有一個(gè)是收斂的,不妨假設(shè) 為收斂級(jí)數(shù),那么,由于于是得知 亦必為收斂.又由于 ,所以得知級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,此與已知條件矛盾,因此證明了兩個(gè)級(jí)數(shù) 和 都發(fā)散.1nnu,0 ,0nnnnuwuv1nnv1nnw1nnu1nnv1nnw1nnvnnnuvw 1nnwnnnwvu111nnnnnnwvu1nnu1nnv1nnw 定理定理2 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù) 的更序級(jí)數(shù) 仍為絕對(duì)收斂,且其和相同, 1nnu1nnu11nnnnuu證明證明 (i)我們先證明當(dāng) 為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的情形. 考慮更序級(jí)數(shù) 的部分和 .因?yàn)樗?取 大于所有下標(biāo) 后,顯然有又由于正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,于

3、是對(duì)一切 成立按照正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理,更序級(jí)數(shù) 亦收斂,設(shè)其和為 ,故有 ,另一方面級(jí)數(shù) 也可視為級(jí)數(shù) 的更序級(jí)數(shù)故又有 ,得知1nnu1nnuks,2121knknnuuuuuunknnn,21.32121nnkksuuuuuuussunn1,sskk1nnu,ss s,ss 1nnu 1nnu,ss (ii)再來(lái)證明證明 為任意絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的情形. 仍舊記級(jí)數(shù) 和 分別為 的所有正項(xiàng)和所有組成的級(jí)數(shù).由定理1知道,這兩個(gè)級(jí)數(shù)都收斂,設(shè)它們的和分別是 和 ,則有由(i)中的結(jié)論知道, 的更序級(jí)數(shù) 成立著這就表明了更序級(jí)數(shù) 是絕對(duì)收斂的. 再設(shè) 和 分別為級(jí)數(shù) 和 的更序級(jí)數(shù).由(i)的結(jié)論知道1nnu1nnv1nnw1nnuvw.,11wvuwvunnnn1nnu1nnu,1wvunn1nnu1nnv1nnw1nnv1nnw,1111wwwvvvnnnnnnnn而 ,所以這樣就證明了定理. nnnwvu.111nnnnnnnuwvwvu注意：注意：這個(gè)定理對(duì)條件收斂級(jí)數(shù)而言，卻不一定成立，例如萊布尼茲型級(jí)數(shù) 514131211定理定理3(柯西定理柯西定理) 若級(jí)數(shù) 和 都絕對(duì)收斂,其和分別為 和 ,則它們各項(xiàng)之積 按照任何方法排列所構(gòu)成的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,且其和為 . (證明略）1nnu1nnvuv, 3 , 2 , 1,kivuiiuv例如：級(jí)數(shù)例如：級(jí)數(shù)qqqqqn