連續(xù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)課件

1、定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點連續(xù)的函數(shù)經(jīng)和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點

2、 x.)(00ux,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x又如又如, 且即例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin例例1 . 設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù), 證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù)

3、 .)(, )(min)(xgxfx 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續(xù)點而例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當(dāng), ea 時,

4、 有0 x)1ln(x1xexx例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx21,41,)(xxxxx例例5. 設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2

5、xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時xfx在點 x = 1 不連續(xù) , 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)? 反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù) x 為無理數(shù))(xf處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續(xù) .反之是否成立? 作業(yè)作業(yè)P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(

6、6) ; 5提示提示:“反之” 不成立 .注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點 ,例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax

7、)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 證明略 )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論:Abx

8、oya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .例例1. 證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內(nèi)至少有則則0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例2. 設(shè))(x

9、f在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當(dāng))()(21xfxf時, 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:*三三. 一致連續(xù)性一致連續(xù)性已知函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù), 即

10、:,0Ix ,0,0,0時當(dāng) xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關(guān)與x,0無關(guān)時與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義定義:, I, )(xxf對,0若,0存在, I,21xx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 I)(xf上連續(xù)在區(qū)間 I)(xf,21時當(dāng) xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致連續(xù) .因為, ) 10(0取點, )N(,11211nxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續(xù).(證明略)思考思考: P73 題 6提示提示:設(shè))(, )(bfaf存在, 作輔助函數(shù))(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖), 證明必可將它思考與練習(xí)思考與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.xoy則面積函