過拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的切線的探究

1、課題過拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的切線的探究授課時間2008年3月24日授課教師牛文化授課班級高三（4 ）班教學(xué)目標(biāo)1、掌握拋物線的圖像和性質(zhì)，鞏固圓錐曲線中常見的垂直的證明方法，增強(qiáng)學(xué)生解決綜合性問題 的信心.2、 通過學(xué)生的研究討論，發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能動性，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.培 養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力3、通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗(yàn)，體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)，養(yǎng)成實(shí)事 求是的科學(xué)態(tài)度和契而不舍的鉆研精神，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度重點(diǎn) 與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的垂直關(guān)系和證明及應(yīng)用難點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的垂直關(guān)系的證明和應(yīng)用教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖一、

2、課前回顧與反思前面我們研究了過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡問題 首先請一名同學(xué)回憶一下研究的過程和結(jié)果研究過程為:已知：如圖1，設(shè)拋物線為x2 2py（p 0），焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線相交于 A、B兩點(diǎn)，過 A、B的切線相交于 點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡學(xué)生回憶教學(xué) 過 程解：設(shè)直線AB的方程為 y kx P，2p y kx 聯(lián)立直線AB方程和拋物線方程有2x2 2py整理有x22 pkx p20由拋物線方程x2 2py（p 0），2 2 可設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（心匯）、（x2,_x）2p2p由韋達(dá)定理可知Xi x2 2 pk， X1X2p2學(xué)生回答回憶研究

3、 的過程，從 中體會研究 的方法，為 下面進(jìn)一步 探究做鋪 墊教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖2由 X2 2py，得 y 二,y'X2pp過點(diǎn)A、B的切線的斜率分別為,X1y|x X!, y' lx X2X2pp回憶研究的過于是過點(diǎn)A的切線AP方程為：2XiXi /、學(xué)生回答程，從中體會研 究的方法，為下y (x Xi)，2p P面進(jìn)一步探究2做鋪墊.整理得yXl xXiP2p同理可得：過點(diǎn) B的切線BP的方程為2X2X2心y x .P2p聯(lián)立、，解得XXlX2，yX-|X2教22p學(xué)x1x2動畫演示結(jié)論，x ,即2加深學(xué)生對結(jié)過p論的認(rèn)識和理y2-解.程所以兩條切線交點(diǎn)的軌跡方程為y

4、92，這恰是拋物線x2 2py的準(zhǔn)線.通過這名同學(xué)的回答，我們體會證明過程中的幾個閃光教師點(diǎn)評，指出點(diǎn).首先，在設(shè) A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)時靈活運(yùn)用了拋物線方程，證明過程中的減少了未知數(shù)的個數(shù)，為簡化運(yùn)算作了鋪墊；其次，在尋求關(guān)鍵點(diǎn)和突破口 .X1X2與p的關(guān)系時，巧妙地借助 “韋達(dá)定理”，很快找到了問題的突破口 .二、合作學(xué)習(xí)，探究新知結(jié)合解題過程，仔細(xì)觀察圖形，你能得到那些垂直關(guān)系？并試著加以證明.（可適當(dāng)添加輔助線）學(xué)生主動探究，教師巡視，遇到合作交流學(xué)生的問題加通過學(xué)生探究，可能得到如下幾個結(jié)論：以指導(dǎo).結(jié)論 1 AP BP.教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖教學(xué) 過 程【證明】由上面可知過點(diǎn)A、B分

5、別為y 'X XI，yX X2圣pp即kPAXkPB程Pp易知kPAkPBX1X222 p21pp故 AP BP.結(jié)論2連結(jié)PFPF可證AB.P-E 2【證明】如圖uuv2,易知PFX|x22,P），uuvAB (X2UUIV UUVPFgAB2 2X2XiXi,)2p(XiX2)(XiX2)2X2故PF AB.由結(jié)論2我們還可以推導(dǎo)出更多結(jié)論 比如：PF是直角 PAB斜邊上的高,從而PF 2FA FB .學(xué)生分組合作, 共同探究新的 結(jié)論整個教學(xué)過程 中，教師只是啟 發(fā)、引導(dǎo)，證明 推理過程由學(xué) 生來完成，充分 體現(xiàn)學(xué)生的主 體地位和教師 的主導(dǎo)作用 I API2 I AF |g A

6、B| | BP |2 |BF |gBA| | AP|2| BP |2 | AB |2結(jié)論3設(shè)PA與x軸交于點(diǎn)C , PB與x軸交于點(diǎn)D ,可證 CF AP、 DF BP和 FC FD.【證明】如圖3由題意可知學(xué)生分組合作, 共同探究新的 結(jié)論教學(xué) 過 程Xi2x Ix2X2pa： y x;lPB ： yxp2pP2pPA與x軸交于點(diǎn)C，PB與x軸交于點(diǎn)D ,占八、占八、D坐標(biāo)為（一,0）,uuvPAx-ix222 2N P)2p丿uuiv uuv 可知CFgPA通過學(xué)生分組 學(xué)習(xí)，發(fā)揮學(xué)生 自主學(xué)習(xí)的能 動性，提高分析 問題和解決問 題的能力，逐步 培養(yǎng)學(xué)生的鉆 研精神故CF AP，證明DF

7、BP思路相同（略）由上面可知在四邊形 FCPD中，三個角 FCP、 CPD、 PDF都是90°,可知 DFC也為90°,即FC FD .（到此，主要的垂直結(jié)論均已找出并證明，下面根據(jù)課上實(shí) 際的情況選擇是繼續(xù)挖掘其他結(jié)論還是做練習(xí)題.）思考：以AB為直徑的圓（即VABP的外接圓）與拋物線的準(zhǔn) 線有什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論 結(jié)論4以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)P.（過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線）教學(xué) 過 程學(xué)生完成證明【證明】如圖4,取AB中點(diǎn)為Q , 則點(diǎn)Q為以AB為直徑的圓的圓心， 連接PQ，要證PQ和準(zhǔn)線垂直，只需證 PQ / y軸.由點(diǎn)Q坐

8、標(biāo)為(_,生_ )可知PQ / y軸，2 2所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)P.結(jié)論5由CF AP和DF BP可知，以fa為直徑的圓 (即VACF的外接圓)與x軸相切于點(diǎn)C ；以FB為直徑的圓 (即VBDF的外接圓)與x軸相切于點(diǎn)D.(證明思路同上)三、應(yīng)用結(jié)論，解決問題剛才同學(xué)們的回答很踴躍，總結(jié)出來的結(jié)論也很有水平， 這說明我們的同學(xué)不僅具備了很強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，還具備了 很強(qiáng)的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力，下面我們做一個 練習(xí).08東城第一學(xué)期期末理19題)已知拋物線X22 py( p 0)，過焦點(diǎn)F的動直線l交拋物線于A, B兩點(diǎn)，拋物線在A, B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn) Q

9、.(I)求OA OB的值；(H) 求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；(川)證明:QF2 AF BF.(I) 解：設(shè)直線I的方程為y kx .2y kx -P由 y2'可得 x2 2pkx p20.x22 py,貝V x1 x2 2pk, x1x2p2.2yi y2 附 p)(kx? p)p .224uuv uuv3 2二 OA OB x1x2 y1 y2p .應(yīng)用前面結(jié)論 的證明思路，完 成練習(xí)題.學(xué)生在合作 交流的探究氛 圍中思考、質(zhì) 疑、傾聽、表述， 體驗(yàn)到成功的 喜悅，學(xué)會學(xué) 習(xí)、學(xué)會合作.深化前面結(jié)論 的證明思路，增 強(qiáng)解決圓錐曲 線綜合題的信 心，為高考打好 基礎(chǔ).4教學(xué) 過 程(n)由 X2

10、 2py，可得 y在點(diǎn)A處的切線方程為即在點(diǎn)B處的切線方程為y解方程組XiXpX2Xp即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（川）證明：如圖5,X1X2kPA Kpb連接2p2p2 X2pXixp,y'應(yīng)用前面結(jié)論 的證明思路，完 成練習(xí)題.X2y xp2Xi2p可得2X22p，2Xi_2p2X22pX(X22p2.2 .PF .由(n)可知易知1，即 AP BP.在整個新知形 成過程中，教師 的身份始終是 啟發(fā)者、鼓勵者 和指導(dǎo)者，以提 高學(xué)生抽象概 括、分析歸納及 語言表述等基 本的數(shù)學(xué)思維 能力.可證PF AB，所以 QF 本節(jié)課重點(diǎn)研究了拋物線中常見的垂直關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上 研究了一些平行關(guān)系和重要

11、的圓； 要注意提高計算和推理論證能力，樹立轉(zhuǎn)化意識、方程思想, 學(xué)會用代數(shù)的方法研究幾何圖形及其性質(zhì)，樹立事物間普遍聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn) 體會認(rèn)真觀察，大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)證明，推廣應(yīng)用的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 和研究過程在觀察中思考，在猜想中提升，在證明中嚴(yán)謹(jǐn)，在 應(yīng)用中創(chuàng)新 AF BF四、課堂小結(jié)，提煉升華由于時間關(guān)系今天我們就探究到這里，課下請同學(xué)們想一 想這個題的一些結(jié)論能否推廣，或者改變一個條件是否還能得 到類似的結(jié)論嗎？教學(xué)設(shè)計說明圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，這部分知識的特點(diǎn)是：綜合性強(qiáng)，問題涉及函數(shù)、方程、不等式、 三角、平面幾何等很多方面的知識，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論

12、等數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生的數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)能力及思維能力的考察要求較高。綜合圓錐曲線這部分知識的特點(diǎn)和我校學(xué)生的實(shí)際情況，我們決 定以拋物線為突破口，把難題分解，化整為零，通過基本題型的聯(lián)系，力爭讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想和方 法，增強(qiáng)學(xué)生解決圓錐曲線綜合問題的信心。圓錐曲線中有很多關(guān)于焦點(diǎn)弦的問題，而且高考中也經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)焦點(diǎn)弦的問題。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的 一個重要工具，特別是在研究解析幾何的切線問題時，利用它可以解決很多綜合性問題。綜合上面兩點(diǎn)， 我們選擇了“過拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的切線的探究”這一課題，旨在充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)、提高分析問題 和解決問題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神。課前，我們就“過拋物線焦

13、點(diǎn)弦端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡”做了探究，目的是讓學(xué)生掌握常見的解決 圓錐曲線問題的思路和方法，本節(jié)課以上節(jié)課為基礎(chǔ)繼續(xù)探究過拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的切線的一些問題。本節(jié)課首先通過復(fù)習(xí)回顧“過拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡”讓學(xué)生體會研究的方法和常見 的數(shù)學(xué)思想，為下面探究做鋪墊。接著引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合解題過程，仔細(xì)觀察圖形，能得到那些垂直關(guān)系？并 試著加以證明。（可適當(dāng)添加輔助線）由于有前面的鋪墊學(xué)生能夠很容易看出結(jié)論1 AP BP，證明也比較簡單。下面的結(jié)論 2 PF AB通過學(xué)案的提示，也比較容易證明。在結(jié)論 2的基礎(chǔ)上，學(xué)生 還能推導(dǎo)出更多的結(jié)論，這將提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性。有了前面兩個結(jié)論的成就 感，“結(jié)論3設(shè)PA與x軸交于點(diǎn)C，PB與x軸交于點(diǎn)D，可證CF AP、DF BP和FC