過拋物線焦點弦端點的切線的探究

1、課題過拋物線焦點弦端點的切線的探究授課時間2008年3月24日授課教師牛文化授課班級高三（4 ）班教學目標1、掌握拋物線的圖像和性質(zhì)，鞏固圓錐曲線中常見的垂直的證明方法，增強學生解決綜合性問題 的信心.2、 通過學生的研究討論，發(fā)揮學生自主學習的能動性，提高學生分析問題、解決問題的能力.培 養(yǎng)學生的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力3、通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學的理性和嚴謹，養(yǎng)成實事 求是的科學態(tài)度和契而不舍的鉆研精神，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度重點 與拋物線焦點弦有關的垂直關系和證明及應用難點與拋物線焦點弦有關的垂直關系的證明和應用教師活動學生活動設計意圖一、

2、課前回顧與反思前面我們研究了過拋物線焦點的直線與拋物線相交于兩點，過這兩點的切線的交點的軌跡問題 首先請一名同學回憶一下研究的過程和結果研究過程為:已知：如圖1，設拋物線為x2 2py（p 0），焦點為F，過點F的直線與拋物線相交于 A、B兩點，過 A、B的切線相交于 點P，求點P的軌跡學生回憶教學 過 程解：設直線AB的方程為 y kx P，2p y kx 聯(lián)立直線AB方程和拋物線方程有2x2 2py整理有x22 pkx p20由拋物線方程x2 2py（p 0），2 2 可設點A、B的坐標分別為（心匯）、（x2,_x）2p2p由韋達定理可知Xi x2 2 pk， X1X2p2學生回答回憶研究

3、 的過程，從 中體會研究 的方法，為 下面進一步 探究做鋪 墊教師活動學生活動設計意圖2由 X2 2py，得 y 二,y'X2pp過點A、B的切線的斜率分別為,X1y|x X!, y' lx X2X2pp回憶研究的過于是過點A的切線AP方程為：2XiXi /、學生回答程，從中體會研 究的方法，為下y (x Xi)，2p P面進一步探究2做鋪墊.整理得yXl xXiP2p同理可得：過點 B的切線BP的方程為2X2X2心y x .P2p聯(lián)立、，解得XXlX2，yX-|X2教22p學x1x2動畫演示結論，x ,即2加深學生對結過p論的認識和理y2-解.程所以兩條切線交點的軌跡方程為y

4、92，這恰是拋物線x2 2py的準線.通過這名同學的回答，我們體會證明過程中的幾個閃光教師點評，指出點.首先，在設 A、B兩點的坐標時靈活運用了拋物線方程，證明過程中的減少了未知數(shù)的個數(shù)，為簡化運算作了鋪墊；其次，在尋求關鍵點和突破口 .X1X2與p的關系時，巧妙地借助 “韋達定理”，很快找到了問題的突破口 .二、合作學習，探究新知結合解題過程，仔細觀察圖形，你能得到那些垂直關系？并試著加以證明.（可適當添加輔助線）學生主動探究，教師巡視，遇到合作交流學生的問題加通過學生探究，可能得到如下幾個結論：以指導.結論 1 AP BP.教師活動學生活動設計意圖教學 過 程【證明】由上面可知過點A、B分

5、別為y 'X XI，yX X2圣pp即kPAXkPB程Pp易知kPAkPBX1X222 p21pp故 AP BP.結論2連結PFPF可證AB.P-E 2【證明】如圖uuv2,易知PFX|x22,P），uuvAB (X2UUIV UUVPFgAB2 2X2XiXi,)2p(XiX2)(XiX2)2X2故PF AB.由結論2我們還可以推導出更多結論 比如：PF是直角 PAB斜邊上的高,從而PF 2FA FB .學生分組合作, 共同探究新的 結論整個教學過程 中，教師只是啟 發(fā)、引導，證明 推理過程由學 生來完成，充分 體現(xiàn)學生的主 體地位和教師 的主導作用 I API2 I AF |g A

6、B| | BP |2 |BF |gBA| | AP|2| BP |2 | AB |2結論3設PA與x軸交于點C , PB與x軸交于點D ,可證 CF AP、 DF BP和 FC FD.【證明】如圖3由題意可知學生分組合作, 共同探究新的 結論教學 過 程Xi2x Ix2X2pa： y x;lPB ： yxp2pP2pPA與x軸交于點C，PB與x軸交于點D ,占八、占八、D坐標為（一,0）,uuvPAx-ix222 2N P)2p丿uuiv uuv 可知CFgPA通過學生分組 學習，發(fā)揮學生 自主學習的能 動性，提高分析 問題和解決問 題的能力，逐步 培養(yǎng)學生的鉆 研精神故CF AP，證明DF

7、BP思路相同（略）由上面可知在四邊形 FCPD中，三個角 FCP、 CPD、 PDF都是90°,可知 DFC也為90°,即FC FD .（到此，主要的垂直結論均已找出并證明，下面根據(jù)課上實 際的情況選擇是繼續(xù)挖掘其他結論還是做練習題.）思考：以AB為直徑的圓（即VABP的外接圓）與拋物線的準 線有什么位置關系？并證明你的結論 結論4以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切于點P.（過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線）教學 過 程學生完成證明【證明】如圖4,取AB中點為Q , 則點Q為以AB為直徑的圓的圓心， 連接PQ，要證PQ和準線垂直，只需證 PQ / y軸.由點Q坐

8、標為(_,生_ )可知PQ / y軸，2 2所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切于點P.結論5由CF AP和DF BP可知，以fa為直徑的圓 (即VACF的外接圓)與x軸相切于點C ；以FB為直徑的圓 (即VBDF的外接圓)與x軸相切于點D.(證明思路同上)三、應用結論，解決問題剛才同學們的回答很踴躍，總結出來的結論也很有水平， 這說明我們的同學不僅具備了很強的運算求解能力，還具備了 很強的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力，下面我們做一個 練習.08東城第一學期期末理19題)已知拋物線X22 py( p 0)，過焦點F的動直線l交拋物線于A, B兩點，拋物線在A, B兩點處的切線相交于點 Q

9、.(I)求OA OB的值；(H) 求點Q的縱坐標；(川)證明:QF2 AF BF.(I) 解：設直線I的方程為y kx .2y kx -P由 y2'可得 x2 2pkx p20.x22 py,貝V x1 x2 2pk, x1x2p2.2yi y2 附 p)(kx? p)p .224uuv uuv3 2二 OA OB x1x2 y1 y2p .應用前面結論 的證明思路，完 成練習題.學生在合作 交流的探究氛 圍中思考、質(zhì) 疑、傾聽、表述， 體驗到成功的 喜悅，學會學 習、學會合作.深化前面結論 的證明思路，增 強解決圓錐曲 線綜合題的信 心，為高考打好 基礎.4教學 過 程(n)由 X2

10、 2py，可得 y在點A處的切線方程為即在點B處的切線方程為y解方程組XiXpX2Xp即點Q的縱坐標為（川）證明：如圖5,X1X2kPA Kpb連接2p2p2 X2pXixp,y'應用前面結論 的證明思路，完 成練習題.X2y xp2Xi2p可得2X22p，2Xi_2p2X22pX(X22p2.2 .PF .由(n)可知易知1，即 AP BP.在整個新知形 成過程中，教師 的身份始終是 啟發(fā)者、鼓勵者 和指導者，以提 高學生抽象概 括、分析歸納及 語言表述等基 本的數(shù)學思維 能力.可證PF AB，所以 QF 本節(jié)課重點研究了拋物線中常見的垂直關系，并在此基礎上 研究了一些平行關系和重要

11、的圓； 要注意提高計算和推理論證能力，樹立轉(zhuǎn)化意識、方程思想, 學會用代數(shù)的方法研究幾何圖形及其性質(zhì)，樹立事物間普遍聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的觀點 體會認真觀察，大膽猜想，嚴謹證明，推廣應用的數(shù)學發(fā)現(xiàn) 和研究過程在觀察中思考，在猜想中提升，在證明中嚴謹，在 應用中創(chuàng)新 AF BF四、課堂小結，提煉升華由于時間關系今天我們就探究到這里，課下請同學們想一 想這個題的一些結論能否推廣，或者改變一個條件是否還能得 到類似的結論嗎？教學設計說明圓錐曲線是解析幾何的重點內(nèi)容，這部分知識的特點是：綜合性強，問題涉及函數(shù)、方程、不等式、 三角、平面幾何等很多方面的知識，蘊含著數(shù)形結合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論

12、等數(shù)學思想方法，對學生的數(shù) 學學習能力及思維能力的考察要求較高。綜合圓錐曲線這部分知識的特點和我校學生的實際情況，我們決 定以拋物線為突破口，把難題分解，化整為零，通過基本題型的聯(lián)系，力爭讓學生掌握基本數(shù)學思想和方 法，增強學生解決圓錐曲線綜合問題的信心。圓錐曲線中有很多關于焦點弦的問題，而且高考中也經(jīng)常出現(xiàn)有關焦點弦的問題。導數(shù)是研究函數(shù)的 一個重要工具，特別是在研究解析幾何的切線問題時，利用它可以解決很多綜合性問題。綜合上面兩點， 我們選擇了“過拋物線焦點弦端點的切線的探究”這一課題，旨在充分發(fā)揮學生自主學習、提高分析問題 和解決問題的能力，逐步培養(yǎng)學生的鉆研精神。課前，我們就“過拋物線焦

13、點弦端點的切線的交點的軌跡”做了探究，目的是讓學生掌握常見的解決 圓錐曲線問題的思路和方法，本節(jié)課以上節(jié)課為基礎繼續(xù)探究過拋物線焦點弦端點的切線的一些問題。本節(jié)課首先通過復習回顧“過拋物線焦點弦端點的切線的交點的軌跡”讓學生體會研究的方法和常見 的數(shù)學思想，為下面探究做鋪墊。接著引導學生結合解題過程，仔細觀察圖形，能得到那些垂直關系？并 試著加以證明。（可適當添加輔助線）由于有前面的鋪墊學生能夠很容易看出結論1 AP BP，證明也比較簡單。下面的結論 2 PF AB通過學案的提示，也比較容易證明。在結論 2的基礎上，學生 還能推導出更多的結論，這將提高學生學習的積極性，發(fā)揮學生學習的能動性。有了前面兩個結論的成就 感，“結論3設PA與x軸交于點C，PB與x軸交于點D，可證CF AP、DF BP和FC