異面直線所成的角求法_總結(jié)加分析報告

1、.word格式.異面直線所成的角一、平移法：常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點）：補形平移法： 補形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體 來處理，利用補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1. 在空間四邊形 ABCD中，AD = BC= 2, E, F分別為AB、CD的中點，EF= .3 ,求AD、 BC所成角的大小.解：設(shè)BD的中點G，連接FG, EG。在厶EFG中 EF= 3 FG= EG= 1左GF= 120 °/AD 與 BC 成 60 的角。2. 正 ABC的邊長為a，S為厶ABC所在平面外的

2、一點，SA= SB= SC= a，E，F(xiàn)分別是SC 和AB的中點.求異面直線SA和EF所成角.答案：45°3. S是正三角形 ABC所在平面外的一點，如圖SA= SB= SC,且ASB= BSC CSA=3T2 , M、N分別是AB和SC的中點.求異面直線SM與BN所成的角的余弦值. zQNB是SM與BN所成的角或其補角證明：連結(jié)CM，設(shè)Q為CM的中點，連結(jié)QN則QN /SM2BN NQ連結(jié)BQ,設(shè)SC= a,在厶BQN中 BN =于 a NQ = |SM =子 a BQ=晉玄 COS/QNB = bn2 NQ2-BQ2q專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考.word格式.4. 如圖，在直三棱柱ABC

3、 A1B1C1中，/BCA= 90°,M、N分別是AiBi和AiCi的中點，若BC= CA= CCi,求BM與AN所成的角.解：連接MN ,作NG /BM交BC于G,連接AG, 易證ZGNA就是BM與AN所成的角.設(shè)：BC= CA= CCi 2,則 AG = AN =、一 5 , GN = BM =、_ 6 ,cos ZGNA 6 5-52. 6、5ioCD的中點.求AE與DiF所成5. 如圖，在正方體ABCD -AiBiCiDi中，E、F分別是BBi、的角。證明：取AB中點G,連結(jié)AiG, FG,因為F是CD的中點，所以GF/AD ,又 AiDi/AD ,所以 GF/AiDi,故四

4、邊形GFDiAi是平行四邊形，AiG/DiF。設(shè)AiG與AE相交于H ,則ZAiHA是AE與DiF所成的角 因為 E 是 BBi 的中點,所以 Rt AiAGA ABE, ZGAiA= ZGAH，從而 ZAiHA=90（圖 i 28）即直線AE與DiF所成的角為直角6. 如圖i 28的正方體中,E是A' D中點(1) 圖中哪些棱所在的直線與直線 BA成異面直線？(2) 求直線BA和CC所成的角的大?。磺笾本€AE和CC所成的角的正切值;求直線AE和BA所成的角的余弦值解: A 平面BC '又點B和直線CC都在平面BC內(nèi)，且B- CC ',直線BA 與 CC是異面直線 同理

5、，正方體i2條棱中的C ' D'、 DDC、AD、B'氏' 在的直線都和直線BA成異面直線. 專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考.word格式.TCC'/ BB'B,和BB所成的銳角就是BA和CC所成的角/ A ' BB ' =4BA和CC所成的角是45 °t AA ' / BB ' /故CAE和AA所成的銳角/ A' 是EAE和CC '所成的角在RtAAA' E中，tan /A= 1 ,所以AE和CC所成角的正切值是-AA22/ /取B'的中點F,連EF、BF,則有EF= AB = AB

6、,/ ABFE是平行四邊形,從而BF= AE,即BF/AE且BF=AE. BF與BA所成的銳角/ A'就是AE和BA所成的角(圖 1-29)設(shè)正方體各棱長為2，連A F,利用勾股定理求出 A B的各邊長分別為A ' BZ 2 , A '5 ,由余弦定理得：BF丄2)2 (5)2 一(、.5)27. 長方體ABCD A1B1C1D1中，若AB=BC=3 , AA1=4 ,求異面直線B1D與BC1所成角的大 小。解法一：如圖，過B1點作B1E/BC1交CB的延長線于E點。則ZDB1E或其補角就是異面直線DB1與BC1所成角,連結(jié)DE交AB于M , DE=2DM=3 、5 ,

7、cos ZDB1E=7134 X)B1E=arccos74。170170解法二：如圖，在平面DiDBBi中過B點作BE/DB1交DiBi的延長線于E,則/CiBE就是異面直線DBi與BCi所成的角，連結(jié)CiE,在厶BiCiE中，ZCiBiE=135 ° ,iE=3 .5 , cos ZCiBE=74 ,：zCiBE=arccos74。i70i70練習(xí)：8. 如圖，PA 矩形ABCD,已知PA=AB=8 , BC=i0 ,求AD與PC所成角的余切值為專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考9. 在長方體 ABCD- AiBiCiDi 中，若棱 B Bi=BC=i ,AB= .3 ,求D B和AC所成角的余弦

8、值.中位線平移法：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為 平面問題，解三角形求之。170解法一：如圖連結(jié)BiC交BCi于0,過0點作OE/DB1,則ZBOE為所求的異面直線 DBi 與BC1所成的角。連結(jié)EB,由已知有Bg、34 , BCE , BE哼，.8皿=寫zBOE= arc cos 4170D.ECLA31Aj'r*;J 1f/cApBF圖解法二：如圖，連DB、AC交于O點，過O點作OE/DBi ,過E點作EF/GB,則/OEF或其補角就是兩異面直線所成的角，過O點作OM /DC,連結(jié)MF、OF。則OF=- ,2I_i_cos /OEF= - 713

9、4，二異面直線 B1D 與 BG 所成的角為 arc cos7-34。170170解法三：如圖，連結(jié)D1B交DB1于O,連結(jié)D1A,則四邊形ABC1D1為平行四邊形。在平行四邊形ABC1D1中過點O作EF/BG交AB、D1C1于E、F,則/DOF或其補角就是異面 直線 DB1與 BC1所成的角。在 ADF中 DF= 3衛(wèi),cos ZDOF=匸空 ,2170Z)OF= arc cos 。170課堂練習(xí).word格式.10. 在正四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點，求異面直線AE和BD所成角的余弦值. 專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考補形平移法：在已知圖形外補作一個相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：如

10、圖，以四邊形ABCD為上底補接一個高為4的長方體ABCD-A2B2C2D2，連結(jié)D2B,則DBi /D2B,.QBD2或其補角就是異面直線 DBi與BCi所成的角，連C1D2，則 C1D2C2為RtA，cos ZCiBD2= 4， 異面直線DBi與BCi所成的角是1707/34arc cos170課堂練習(xí)：Ci11. 求異面直線AiCi與BDi所成的角的余弦值.word格式.在長方體ABCD-AiBiCiDi的面BCi上補上一個同樣大小的長方體,將AiCi平移到BE,則/DiBE或其補角就是異面直線 AiCi與BDi所成的角，在 BDiE中，BDi=3 ,二、利用模型求異面直線所成的角模型I引

11、理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為5,平面a內(nèi)的一條直線b與斜線a所成的角為B,與它的射影a'所成的角為02。求證：cos 0 = cos 在平面的斜線a上取一點P,過點P分別作直線c、 連接OB,貝U 0B丄b.AO在直角 AOP 中，cost 二 A0 .APAB在直角 ABC中，cos二匹.A0AB在直角 ABP 中,cost - AB .AP所以 coscosA0 空二些二沁AP AO AP專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考所以 COS 片 COST2 =cos 證明：設(shè)PA是a的斜線，0A是PA在a上的射影，OB/b ,如圖所示。則/ PAO=i,/ PAB= 0,/過點O在平面a

12、內(nèi)作OB丄AB,垂足為B,連結(jié)PB。OAAB可知 PBXABo 所以 cos 0i=,cos 0= , cosPAPA所以 cos 0 = cos 0 cos。0利用這個模型來求兩條異面直線 a和b所成的角，即引理中的角0o需：過a的一個平面a,以及該平面的一條斜線b以及b在a內(nèi)的射影。i2.如圖，MA丄平面ABCD,四邊形ABCD是正方形，且MA=AB=a ,試求異面直線 MB與 AC所成的角。解：由圖可知，直線MB在平面ABCD內(nèi)的射影為AB,直線MB與平面ABCD所成的角為45°,直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45°,所以直線AC與直MB所成的角為9,滿足1c

13、os 9 =cos45 ° COS45所以直線AC與MB所成的角為60MC213.已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（D ）C1(A隹(B)逅(C)血心 3A1B,(D) -/V 14444 /L/AB解：設(shè)BC的中點為D ,連結(jié)AiD , AD,易知v - AAB即為異面直線AB與CCi所成的角,AD AD 3由三角余弦定理,易知c卻® AAD cos DA喬云盲故選D14.如圖，在立體圖形P-ABCD中，底面ABCD是一個直角梯形，/AB=BC=a , AD=2a ,且PA丄底面

14、ABCD , PD與底面成 30。角,AE丄PD于D。求異面直線AE與CD所成的角的大小。解：過E作AD的平行線EF交AD于F ,由PA丄底面ABCD可知,直 線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AF ,直線AE與平面ABCD所成的 角為ZDAE ,其大小為60° ,所成的角9滿足cos 9 =cos60°cos45 ° ,4所以其大小為arccosBAD=90 °AD/BC ,射影AF與直線CD所成的角為ZCDA ,其大小為45° ,所以直線與直線模型2 定理：四面體ADBCD兩相對棱AC、BD間的夾角為,則有cos=AD3 + BC2-AB2-D

15、Ca2AG ED證明：匸 Bd = BD BD COS日而 BD = BA AD二 Bd aC =(bA+Ad aC = Ba.aC +Ad *aCAB2 +AC2 -BC2 AD2 +AC2 -CD2-1-ADBC-AB-CD2222C0£ =所以有：AD3 + BC3-ABa-DC22AC BD15.長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=AAi=2cm , AD=1cm ,求異面直線 AiCi 與 BDi所成的角。解：連結(jié)BC1、A1B在四面體為，易求得CtJS& =A1D1 + BC/ -AjB3由定理得:2ALCr BDi所以2xV5x3二、向量法求異面直線所

16、成的角16.如圖，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面 BCC1B1及CDD1C1的中 心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個 點上。.word格式.PiSGS6 a (作直線GP交BC于點P,連4作法：連結(jié)BiE,取BiE中點G及AiBi中點H , 連結(jié)GH,有GH/A iE0過F作CD的平行線RS, 分別交CCi、DDi于點R、S,連結(jié)SH,連結(jié)GS。由 Bi H/C 1D1/FS , BiH=FS,可得 BiF/SH。在厶GHS中，設(shè)正方體邊長為aoGH= -a (作直線GQ/BC交B

17、Bi于點Q,4連QH ,可知 GQH為直角三角形)，6HSa (連AiS,可知 HAiS為直角三角形)，21PD,可知四邊形GPDS為直角梯形)。：Cos/GHS= 61所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為-6解法二：(向量法)分析：因為給出的立體圖形是一個正方體，所以可以在空間建立直角坐標系，從而可以利用 點的坐標表示出空間中每一個向量，從而可以用 向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BR為z軸，設(shè)BC長度為2 則點Ai的坐標為(0, 2, 2),點E的坐標為(i, 0, i),點Bi的坐標為(0, 0, 2)，點F的坐標為(2, i , i);所以

18、向量EAi的坐標為(-i , 2, i),向量BF的坐標為(2, i, -i ), 所以這兩個向量的夾角B滿足AEA BiF(i)x2 + 2xi+ix(i)icos 0=：_ = =- o|EAi| | BiF |譏i)2+ (2)2+(i)2 U(2)2+(i)2+(i)26所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為16i7.已知空間四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M、N分別為BC和AD的中點，設(shè)AM和CN所成的角為a,求COS a的值。(平移法也可) 解：由已知得，空間向量AB , AC , AD不共面， 且兩兩之間的夾角均為60°。由向量的加

19、法可以得到. 專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考.word格式.L1UL1AM =丄（AB + AC ） , NC = AD + AC2 2所以向量AM與向量NC的夾角0即角a或者a的補角）滿足AM=1=21=a2=AMNC其| AM |其| NC |-(AB+ AC )-2cos 0NC =| AM |2=|NC |2=1 AB AD + AB22/111 八4241 - 一(AB+ AC )21 - - AD + AC )21 - AD + AC )21 AC + ( AD ) -AC + AC AC )21 2= 2a;丄(AB + AC ) = 1 (1+1+1 ) a2=3 244(丄 AD + A

20、C ) = 1 +1 -1 a2= 32424a2;2a2。所以 cos a =| cos 一0 1=3專業(yè)資料.學(xué)習(xí)參考18. 已知空間四邊形 ABCD中，AB=CD=3 , E、F分別是BC、AD上的點，且BE: EC=AF:FD=1 : 2, EF=、7 ,求AB和CD所成的角的大小。 解：取AC上點G,使AG: GC=1 : 2。連結(jié)EG、FG, 可知 EG/AB , FG/CD , 3EG=2AB , 3FG=CD。一 2 一 1由向量的知識可知EF = EG + GF = BA+ CD ,33設(shè)向量BA和CD的夾角為0。2 12 1 -則由 | EF |2= ( BA+CD ) (

21、 BA+CD ) =4+1+4cos0 =7 ,3333得cos0=1 ,所以AB和CD所成的角為60 °。219. （思考題）如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1長為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120° 求：（1）AG的長； 直線BD1與AC所成的角的余弦值.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.解：(1) | AG |2 =AG AC(AA1 AC)(AA1 AC)ihEiI，(AA AB AD)(AA, AB AD)爭亠亠 1*T AA)I2 | AB|2 | AD |2 2AA, AB 2AA

22、, AD 2AB AD 由已知得:| AAi | =b ,| AB| =| AD | =aAA1,Ab*il+AAAD p=120，: AB, AD *=90AA AB =b acos12-iab, AA1 AD =b acos120 =丄 ab, AB AD = 0, 2 2.| AC1 |2 =2a2 b2 -2ab,. |AG |= .2a2 b2 -2ab.(2)依題意得,| AC |=.、2a, AC =AB ADBDj = AD BA = AA) AD 一 AB .AC BD1 =(AB AD)(AA1 AD -AB) =AB AA, AD AA1 AB AD AD2 AB2 AB

23、 AD - -ab|BD1 |2 = BD1 BD1 =(AA AD -AB)(AA1 AD AB)W AA1 |2 | AD |2 | AB |2 2AA1 AD -2AB AD -2AA1 AB 二 2a2 b222| BD1戶沁 bco： BD1, AC 二BD1 ACIBD1 |AC|-b、4a2 2b2BD1與AC所成角的余弦值為b、4a2 2b2判斷是非：(1)(3)(8)(10)正確，其余錯;選擇：1(C); 2(D) ； 3(D) ； 4(D).5 . 相交，(5)平行，其余異面；(6): (D),取 AB中點M , CG中點N ,連B1E和B1F;( 7)答案：(A),延長B

24、1A1至M ,使A1M = A1D1,連 MA ,取 AB 中點 N . 8(D); 9(E); 10(D); 11 (C);三.4 ,取 AD 中點 E,則 ZMEN = 90 ° ;3四 丄,取 AC 中點 F,連 EF、BF,求得 BE= AD = 5, BF=丄 AC = 3 2 ;5 2 2五. ,分別取 AC、B1C1的中點P、Q,貝U PMQN是矩形，設(shè)CG= MQ = a,貝U MP =512a;1六.丄,取 AC 中點 F,連 EF、BF,則 EF= 4, BE= BF= 3.6.word格式.異面直線所成的角-作業(yè)班級：姓名：學(xué)號：、判斷是非(下列命題中，正確的打

25、“V”錯誤的打“X”)(I) 梯形的四個頂點在同一平面內(nèi)；對邊相等的四邊形是平行四邊形；(3)平行于同一直線的兩直線平行；(4)垂直于同一直線的兩直線平行；(5)兩條直線確定一個平面；(6)經(jīng)過三點可以確定一個平面；(7)無公共點的兩直線異面；(8)兩異面直線無公共點；(9)兩異面直線可以同時平行于一直線；(10)兩異面直線可以同時垂直于一直線；(II) 不同在一個已知平面內(nèi)的兩直線異面；(12)互相垂直的兩條直線必可確定一平面、選擇題1. 沒有公共點的兩條直線的位置關(guān)系是()(A)平行(B)異面(C)平行或異面(D)不能確定2. 分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是()(A)異面(B)平行(C)平行或異面(D)平行或異面或相交3. 兩條異面直線指的是()(A)在空間不相交的兩條直線(B)某一平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線(C)分別位于兩個不同平面的兩條直線(D)不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4. a、b是異面直線，b、c也是異面直線，那么a、c的位置是()(D)相交、平行或異面(A)異面(B)異面或平行(C)異面或相交5. 說出正方體中各對線段的位置關(guān)系：(1) AB 和 CC1；(2)A1C 和 BD1 ；(3)AA 和 CB1 ；AiCi 和 CBi; (5)Ai