第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

1、第第3 3章章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布?xì)W啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.22 第第3章章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布3.1 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布3.2 邊緣分布邊緣分布3.3 條件分布條件分布3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.5 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布?xì)W啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.23 第第3 3章章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布引例引例: 1. 研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，可取兒童研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，可取兒童的身高的身高X

2、和體重和體重Y來描述；來描述； 2. 飛機(jī)在空中的位置（重心）可以由三個(gè)隨機(jī)變飛機(jī)在空中的位置（重心）可以由三個(gè)隨機(jī)變量（三個(gè)坐標(biāo)）量（三個(gè)坐標(biāo)）X、Y和和 Z來確定來確定. 特點(diǎn)特點(diǎn): 隨機(jī)現(xiàn)象需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量隨機(jī)現(xiàn)象需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量才能描述才能描述 .歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.243.1 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布定義定義1 設(shè)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，=，X=X()和和Y=Y()是定義在是定義在上的上的2個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量組個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量組 (X,Y)為為二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量或或二維隨機(jī)變

3、量二維隨機(jī)變量.3.1.1 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 注注 一般地將一般地將n個(gè)隨機(jī)變量的整體（個(gè)隨機(jī)變量的整體（X1, X2 , ，Xn）稱為稱為n維隨機(jī)變量或維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量.歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.25定義定義2 設(shè)設(shè) (X, Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x, y ,稱二元函數(shù)稱二元函數(shù) F(x, y) =P(Xx) (Yy) =PXx, Yy為為二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量，或稱為隨機(jī)變量X和和Y的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。 1.

4、 幾何意義幾何意義 F(x, y)表示隨機(jī)點(diǎn)表示隨機(jī)點(diǎn)(X, Y)落在以落在以(x, y)為為頂點(diǎn)，且位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率頂點(diǎn)，且位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率.歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.262. 概率計(jì)算概率計(jì)算 對于任意的對于任意的x1x2，y1y2，有有 Px1X x2，y1Y y2 F(x2, y2)-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1) 歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.27 3 . 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)F(x, y)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)(1) 0F(x,y)1；(2) F

5、(x, y)關(guān)于變量關(guān)于變量x和和y均單調(diào)非減，且右連續(xù)；均單調(diào)非減，且右連續(xù)；(3) 對于任意固定的對于任意固定的y，F(xiàn)(-, y)=0 ; 對于任意固定的對于任意固定的x，F(xiàn)(x, -)=0 ; F(-, -)=0，F(xiàn)(+, +)=1(4) 對于任意的對于任意的x1x2, y1y2 恒有恒有: P x1X x2, y1Y y2 = F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1 , y2)+ F(x1, y1)0歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.283.1.2 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)及其分布及其分布 定義定義3 如果二維隨機(jī)變量如果二

6、維隨機(jī)變量(X, Y)可能的取值為有限或可可能的取值為有限或可列個(gè)實(shí)數(shù)對時(shí)，則稱列個(gè)實(shí)數(shù)對時(shí)，則稱(X, Y)為為二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 1. (X, Y)的概率分布列的概率分布列 若若二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)所有可能取值為所有可能取值為(xi, yj), i,j =1,2,，則稱概率函數(shù)則稱概率函數(shù) pij=P X = xi ,Y = yj , (i, j =1,2,)，為為(X, Y)的概率分布的概率分布或或X與與Y的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布，也稱為，也稱為(X, Y)的分布的分布(列列)或或X與與Y的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布(列列)歐啟通主編. 概率論與

7、數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.292. (X, Y)的概率分布律的概率分布律 pij 的性質(zhì)：的性質(zhì)：（1）pij0；i, j=1,2,; （2）111ijijp 3. (X, Y)的分布表或的分布表或X與與Y的聯(lián)合分布表的聯(lián)合分布表 y1 y2 yj x1 p11 p12 p 1j x2 p21 p22 p 2j ： ： ： ： xi pi1 pi2 pij ： ： ： ：XY歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.210 4. (X, Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxyyijijpyxF),(其中和式是對一切滿足其中和式是對一切滿足xix, yjy的的i, j來

8、求和的。來求和的。歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.21111例例1 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X. .隨機(jī)地在隨機(jī)地在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中取四個(gè)整數(shù)中取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)地在等可能取一個(gè)整數(shù)一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)地在等可能取一個(gè)整數(shù)值，試求的概率分布律值，試求的概率分布律. .解解(X,Y)的概率分布表為：的概率分布表為： 123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16XY,|1 111,2,3,4,44ijP Xi YjP XiP Yj Xiiii 當(dāng)當(dāng)歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大

9、學(xué)出版社, 2014.212 3.1.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)及其分布及其分布 定義定義4 設(shè)設(shè)(X, Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x, y)，如果存在非負(fù)可如果存在非負(fù)可積的二元函數(shù)積的二元函數(shù) f(x, y)，使得對于任意實(shí)數(shù)使得對于任意實(shí)數(shù)x, y有有 xydudvvufyxF),(),(則稱（則稱（X, Y）為為二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù)，稱函數(shù)f(x, y)為為二維隨機(jī)變量（二維隨機(jī)變量（X, Y）的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)或隨機(jī)變量或隨機(jī)變量 X和和 Y的的聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù).歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社

10、, 2014.213 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) f(x, y) 的性質(zhì)的性質(zhì)（1）非負(fù)性非負(fù)性：f（x, y）0(2)( , )(,)1f x y dxdyF 規(guī)范性：yxyxF),(2 （3）點(diǎn)）點(diǎn)(X, Y)落在落在xOy的平面區(qū)域的平面區(qū)域D內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為:DdxdyyxfDYXP),(),( （4）若）若f(x, y)在（在（x, y）處連續(xù)則有處連續(xù)則有 f(x, y) =歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.214例例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為(),0,0( , )0,x ykexyf x y其它求

11、求(1) 常數(shù)常數(shù)k; (2) (X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x,y); (3) PX1,Y1,Y1. 歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.216 例例3 設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為4,01,01( , )0,xyxyf x y其它D為為xOy平面內(nèi)由平面內(nèi)由x軸軸, y軸和不等式軸和不等式x+y0), 則稱二維隨機(jī)變量則稱二維隨機(jī)變量(X,Y) 在在G上上服從服從參數(shù)參數(shù)二維均勻分布二維均勻分布. 記為：記為：1, ( , ),( , )0,( , ).x yGf x yAx yG(X, Y) U(G).二維均勻分布

12、二維均勻分布 二維連續(xù)型隨機(jī)變量中最常見的是二維均勻分布和二維連續(xù)型隨機(jī)變量中最常見的是二維均勻分布和二維正態(tài)分布，其定義如下二維正態(tài)分布，其定義如下:歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.218定義定義6 6 若二維隨機(jī)向量若二維隨機(jī)向量（X, Y）的（聯(lián)合）概率密度為的（聯(lián)合）概率密度為其中其中 1, 2, 1, 2, 均為常數(shù)，且均為常數(shù)，且 1 0, 2 0, | |1， 則稱則稱(X, Y)服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1 , 2, 1, 2, 的的二維二維正態(tài)分布正態(tài)分布. 記為：記為：21222112()11( , )exp2(1)21xf x y 2122212

13、2()()()2(,)xyyxy (X, Y) N(1, 2;12, 22; )二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布?xì)W啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.219 例如例如 (X, Y) N(1, 3;16, 25; 0)，其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為25)3(16)1(2122401),(yxeyxf二維正態(tài)分布密度函數(shù)的圖像為鐘型曲面二維正態(tài)分布密度函數(shù)的圖像為鐘型曲面. .歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.2203.2 邊 緣 分 布)(xXPxFX( ),(, )lim( , )YxF yP YyP XYyFyF x y定義定義7 設(shè)設(shè)(X, Y)的聯(lián)

14、合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x, y), 則則 X 和和 Y 的的邊邊緣分布函數(shù)緣分布函數(shù) FX(x), FY(y) 分別為分別為:,YxXP),(limyxFy),( xF3.2.1 邊緣分布律邊緣分布律歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.2211,iiijjpP Xxp1jjijipP Yyp ( i = 1,2, ) ( j =1,2, ) 1111,jjpP Xxp2221iipP Yyp例如例如 1 p.1 p.2 p.j PY=yj p1. p2. pi. p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 xi PX=xi

15、 y1 y2 yj XY離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.2221jjixxpi1ijiyypj1iiijjpP Xxp1jjijipP Yyp( i =1,2, ) ( j = 1,2, ) iixxpjjyyp定義定義8 設(shè)設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 pij = PX=xi ,Y=yj, 則則 (X, Y) 的的邊緣分布列邊緣分布列為為 FY(y) = F(+ ,y) = FX(x) = F(x,+) = 則(X, Y) 的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)為為：即即P1. p2. pi.

16、pi.x1 x2 xi Xp.1 p.2 p.j p.jy1 y2 yj Y歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.223 只要把每列的概率相只要把每列的概率相加放在該列的最下面，加放在該列的最下面，把每行的概率相加放在把每行的概率相加放在該行的最右面就該行的最右面就OK了了. 把第一行和最后一行把第一行和最后一行拿出來就是拿出來就是X的分布；把的分布；把第一列和最后一列拿出第一列和最后一列拿出來就是來就是Y的分布的分布.例例4 4 已知隨機(jī)向量（已知隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布如下表，求關(guān)）的聯(lián)合分布如下表，求關(guān)于于X 和和Y 的邊緣分布的邊緣分布. 邊緣分布邊緣分布p

17、i.和和p.j分別是分別是聯(lián)合分布表中第聯(lián)合分布表中第i行和第行和第j列各聯(lián)合概率之和列各聯(lián)合概率之和 YX-10200. 10. 2010. 30. 050. 120. 1500. 1 Y X -102pi.0120. 10. 30. 150. 20. 05000. 10. 10. 30. 450. 25p.j0. 550. 250. 2歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.224設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f(x,y).( ),( , )xXF xP XxP Xx Yf x y dy dx ( )( ,)Xfx

18、f x y dydxyxfyfY),()(由于由于所以所以通常分別稱上式為二維隨機(jī)變量關(guān)于通常分別稱上式為二維隨機(jī)變量關(guān)于X和和Y的的邊緣概率邊緣概率密度函數(shù)密度函數(shù)或或邊緣密度邊緣密度. 3.2.2 邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.225二維連續(xù)型二維連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布、聯(lián)合概率密的聯(lián)合分布、聯(lián)合概率密度函數(shù)、邊緣分布與邊緣概率密度的關(guān)系如下：度函數(shù)、邊緣分布與邊緣概率密度的關(guān)系如下：歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.226例例5 設(shè)隨機(jī)變量（設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為）的密度函數(shù)

19、為,01( , )0,kxyxyf x y其他試求參數(shù)試求參數(shù)k的值及的值及X和和Y的邊緣密度的邊緣密度.解解 根據(jù)聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)，有根據(jù)聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)，有1101()d dd d18xf xyx ykxy y xk ，所以所以 8.k 歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.227X的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù) ( )()dXfxf xyy，當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)，時(shí)，12( )8d4 (1);Xxfxxy yxx當(dāng)當(dāng)0 x或或x1時(shí)時(shí),0)(xfX故故其它，010)1 (4)(2xxxxfX同理可得同理可得 其它，0104)(3yyyfY,01( , )0,kxyxy

20、f x y其他歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.228解解 令令則有,2211yvxudvvuudyyxfxfX)2()1 ( 21exp121),()(22212dvuveu)1 (2)(exp121212222122121222)(1221212121)(xtuXedteexf22222)(221)(yYeyf2,1vutp令可見可見 X N(1,12 ) , Y N(2,22 ).例例6 設(shè)設(shè)(X，Y)服從服從N(1,12；2,22；), 求邊緣密度求邊緣密度.類似地有類似地有歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.229注注 上述結(jié)果表

21、明上述結(jié)果表明, 二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣分布二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布都是一維正態(tài)分布, 且都不依賴于且都不依賴于參數(shù)參數(shù) ，對于對于給定給定的的 不同的不同的 對應(yīng)對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布不同的二維正態(tài)分布, , 但它們的邊緣分布卻都是一樣的但它們的邊緣分布卻都是一樣的. . 因此因此, , 由關(guān)于由關(guān)于X和和關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣分布邊緣分布, , 一般來說是不能確定二維一般來說是不能確定二維隨機(jī)變隨機(jī)變量量(X,Y)的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布.1212, 歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.2303.3* 條件分布（略講）條件分布（略講）歐啟通主編.

22、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.231定義定義12 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X, Y, 若對任意的實(shí)數(shù)若對任意的實(shí)數(shù) x, y 有有F(x，y) = FX(x) FY(y)PXx, Yy = PXx PYy則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X與與Y是是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的。的。即即 3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性注注 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X和和Y相互相互獨(dú)立，則聯(lián)合分布可由邊獨(dú)立，則聯(lián)合分布可由邊緣分布唯一確定緣分布唯一確定. .歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.232（2）若）若(X, Y)是連續(xù)型，且是連續(xù)型，且f(x,y)處處連續(xù)，則處處連

23、續(xù)，則X和和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是相互獨(dú)立的充分必要條件是 定理定理1 （1）若）若(X, Y)是離散型，是離散型，所有可能取值為所有可能取值為(xi, yj) (i, j=1, 2, ), 則則X與與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是對一切相互獨(dú)立的充分必要條件是對一切 i, j=1, 2, , 有有 PX = xi，Y= yj= PX= xi PY= yi ijijPP P（）關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性, , 有下列定理有下列定理. .f (x,y) = fX(x) fY (y) ( (證明略證明略) )歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.233Y 0

24、1P 0.5 0.5X 0 1P 0.7 0.3例例7 已知已知(X, Y) 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為: :X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1問問X與與Y是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？解解: : 邊緣分布列分別為邊緣分布列分別為: :因?yàn)橐驗(yàn)?0, 0)0.3P XY(0) (0)0.70.50.35P XP Y所以不獨(dú)立所以不獨(dú)立. .歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.234例例8 已知已知(X, Y) 的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 2()4,0, 0;( , )0 ,.xyexyf x y其 他問問 X 與與Y 是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？2()204d2,0( )

25、,0,0 x yxeyexf xx22, 0( ) 0,0yeyf yy所以所以X 與與Y 獨(dú)立獨(dú)立.注意：注意：f(x, y) 可分離變量可分離變量. .解解: :邊緣分布密度分別為邊緣分布密度分別為: :歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.235注注 意意 點(diǎn)點(diǎn) (1) (X, Y) 服從矩形上的均勻分布，則服從矩形上的均勻分布，則X與與Y 獨(dú)立獨(dú)立. . (3) 若聯(lián)合密度若聯(lián)合密度 f (x, y) 可分離變量，即可分離變量，即 f (x, y) = g(x)h(y) 則則 X與與Y 獨(dú)立獨(dú)立。 (4) 若若 (X, Y) 服從二元正態(tài)服從二元正態(tài) N ( )

26、 則則 X與與Y 獨(dú)立的充要條件是獨(dú)立的充要條件是 = 0. .221212, , , , (2) 聯(lián)合密度聯(lián)合密度 f(x, y)的表達(dá)式中，若的表達(dá)式中，若 x 的取值與的取值與y 的的 取值有關(guān)系取值有關(guān)系, ,則則 X與與Y 不獨(dú)立不獨(dú)立. .歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.236定理定理2 若若X1, , Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,而而 Y1=g1(X1, , Xm), Y2=g2 (Xm+1, , Xn)則則Y1與與Y2獨(dú)立獨(dú)立. .( (證明略證明略) )歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.2373.5 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分

27、布兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：問題：已知二維隨機(jī)變量已知二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的分布，的分布，如何求出如何求出 Z=g (X, Y)的分布？的分布？在本節(jié)中在本節(jié)中, ,我們重點(diǎn)討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系我們重點(diǎn)討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系(1);ZXY(2)max, ,min, .ZX YZX Y歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.238上上式稱為式稱為離散型卷積公式離散型卷積公式. .設(shè)離散隨機(jī)變量設(shè)離散隨機(jī)變量 X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立，則則 Z=X+ Y 的分布列為的分布列為11)()() ()()( = liliiljjjP XxP YzxP XzyP YyP Z

28、z3.5.1 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布?xì)W啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.239例例9 9 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為試求試求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律的分布律. .YX1211/51/5201/531/51/5解解 Z1的所有可能取值為的所有可能取值為2,3,4,5P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+ P(X=2,Y=1) =1/5P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+ P(X=3,

29、Y=1) =2/5P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5Z1的分布律為的分布律為Z12345P1/51/52/51/5歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.240YX1211/51/5201/531/51/5Z2=max(X,Y)的所有可能取值為的所有可能取值為1,2,3P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2) =1/5+0+1/5=2/5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2) =1/5+1/5=2/5Z2的分布律為的分布律為Z2123P1/5

30、2/52/5歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.241例例10 10 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立，它們分別服從參數(shù)相互獨(dú)立，它們分別服從參數(shù)為為1和和2的泊松分布，證明的泊松分布，證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1+2的的泊松分布泊松分布. .證證11!)(111ekkXPk22!)(222ekkYPkk1=0,1,2,k2=0,1,2,Z=X+Y的所有可能取值為的所有可能取值為0,1,2,3,XP(1)YP(2)kiikYiXPkYXPkZP0),()()(kiikYPiXP0)()(kiikieikei02121)!(!kiikiikikke021)(

31、)!( !121)(2121!)(ekk因此因此 ZP(1+2)k=0,1,2,歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.242 若同一類分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布仍是此類若同一類分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有分布，則稱此類分布具有可加性可加性. . 例例1010說明說明泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性，類似類似二項(xiàng)分布也二項(xiàng)分布也具有可加性具有可加性，即：，即：若若 X B(n1, p)，Y B(n2, p)，注意注意：若：若 Xi B(1, p)，且獨(dú)立，則且獨(dú)立，則 Z = X1 + X2 + + Xn B(n, p).且獨(dú)立，則且獨(dú)立，

32、則 Z = X+ Y B(n1+n2, p).歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.243設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)f(x,y)，z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量Z=g(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)()(zZPzFZ),(zYXgPzyxgdxdyyxf),(),(即即FZ(z)可利用可利用f(x,y)在平面區(qū)域在平面區(qū)域：G=(x,y)| g(x,y)z上的二重積分得到上的二重積分得到. .Z=g(X,Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為zyxgZZdxdyyxfdzdzFdzdzf),(),()()(3.5.1 二維連續(xù)型隨機(jī)變

33、量函數(shù)的分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布函數(shù)法分布函數(shù)法歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.2441、和的分布、和的分布 設(shè)設(shè)(X,Y)f(x,y)，(x,y) R2, Z=X+Y，則，則Z是連續(xù)型是連續(xù)型隨機(jī)變量，且隨機(jī)變量，且Z的概率密度為的概率密度為dxxzxfzfZ),()(),(zdyyyzfzfZ),()(),(z此兩公式稱為此兩公式稱為卷積公式卷積公式. .或或歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.245證明證明 對任意的對任意的zR，Z=X+Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為zyxZdxdyyxfzYXPzF),()()(xzdyy

34、xfdx),(O xyz=x+y固定固定xxzzdtxtxfyxtdyyxf),(),(令令 zzZdtdxxtxfdxdtxtxfzF),(),()(交換積分次序交換積分次序 zZZdtdxxtxfdzdzFdzdzf),()()(所以所以dxxzxf),(zR同理可得同理可得dyyyzfzfZ),()(zR歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.246特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí)，dxxzfxfdxxzxfzfYXZ)()(),()(dyyfyzfdyyyzfzfYXZ)()(),()(或或其中其中，fX(x)，fY(y)為為(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和

35、Y的邊緣密度的邊緣密度. .上式也稱為上式也稱為fX(z)與與fY(z)的卷積，記為的卷積，記為fX(z)*fY(z)即即X,Y相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí)， fZ(z)= fX(z)*fY(z)歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.247例例1111 設(shè)設(shè) X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立，XU(0, 1), YExp(1). 試試求求 Z = X+Y 的密度的密度函數(shù)函數(shù).解解: :11, 01( )0, xXp x其 它2, 0( ) 0,0yeyYpyy12( )( )()dZp zp x p zx x被積函數(shù)的非零區(qū)域?yàn)椋罕环e函數(shù)的非零區(qū)域?yàn)椋? x0用卷積公式：用卷積公式：(

36、 (見下圖見下圖) )歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.248xz1z = x因此有(1) z 0 時(shí)pZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 時(shí)()0d1zz xzexe pZ(z) =(3) 1 0， 0，試分別就以上兩種聯(lián)試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出結(jié)方式寫出L的壽命的壽命Z的分布函數(shù)與概的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)率密度函數(shù). .解解 (1)串聯(lián)時(shí)，當(dāng)串聯(lián)時(shí)，當(dāng)L1和和L2中有一個(gè)損壞中有一個(gè)損壞時(shí)，系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)L就停止工作就停止工作，所以所以L的壽命的壽命為為Z=min(X,Y). 0001)(xxexFxX0001)(yyeyFyY由條件可得由條件可得X,Y的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 歐啟通主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 浙江大學(xué)出版社, 2014.254(2)并聯(lián)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)并聯(lián)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)L1和和L2都損壞時(shí)，系統(tǒng)都損壞時(shí)，系統(tǒng)L才停止才停止工作，因此工作，因此L的壽命的壽命Z=max(X,Y)其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為000)1)(1 ()()(zzeezFzFzzXZ密度函數(shù)為密度函數(shù)為000)()()(zzeeezfzzzZ0001)(1)(1 (