第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

1、一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁教學(xué)要求教學(xué)要求理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念概念; ;會判斷函數(shù)間斷點的類型。會判斷函數(shù)間斷點的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。最值定理）。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式極限形式增量形式增量形式上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁設(shè) f (x) 在 u(x

2、0) 內(nèi)有定義, 若)()(lim0 0 xfxfxx則稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處是連續(xù)的.1.函數(shù)連續(xù)性的定義 (極限形式) 可減弱：x0 為聚點 函數(shù)的連續(xù)性是一個局部性的概念, 是逐點定義的.是整個鄰域上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁函數(shù) f (x ) 在點 x0 處連續(xù), 應(yīng)該滿足以下三點：(1) f (x) 在 u(x0) 內(nèi)有定義；(包括在點 x0 處有定義). )( ) 3(0 xfa (極限值等于函數(shù)在點 x0 處的函數(shù)值) )(lim )2(0；存在axfxx) )( , ( 0有極限時xfxx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁函數(shù)函數(shù) y = x2 在點在點 x = 0 處是否連續(xù)處是

3、否連續(xù) ? 0lim20 xx 函數(shù)函數(shù) y = x2 在點在點 x = 0 處連續(xù)處連續(xù).又又且且0020 xxxy y = x 2 在在 u(0) 內(nèi)有定義內(nèi)有定義,例1解上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例2證明函數(shù)證明函數(shù)0001sin)(xxxxxf0)0(f)(lim0 xfx在在x=0處連續(xù)處連續(xù)證明： 因為xxx1sinlim0)0(f所以，函數(shù)在 x=0 處連續(xù)。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2.2.連續(xù)性概念的增量形式連續(xù)性概念的增量形式在某過程中, 變量 u 的終值 u2 與它的初值 u1 的差 u2 u1, 稱為變量 u 在 u1處的增量, 記為 u = u2u1.u 是一個整體記號, 它

4、可以取正值、負值或零. 有時我們也稱 u 為變量 u 在 u1 處的差分.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 設(shè)函數(shù) f (x) 在 u(x0)內(nèi)有定義, xu(x0) , 則稱x = x x0 為自變量 x 在 x0 點處的增量. = f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )xyox0 xxyy = f (x)此時, x = x0 + x , 相應(yīng)地, 函數(shù)在點 x0 點處有增量 y上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁0lim0yx)(0 xxx則稱 f (x) 在點 x0 處連續(xù).設(shè) f (x) 在 u(x0) 內(nèi)有定義. 若自變量的增量趨于零時, 函數(shù)的增量也趨于零.的的連連續(xù)續(xù)點點

5、為為并并稱稱)(0 xfx反之反之, ,稱函數(shù)在稱函數(shù)在x0 0 處間斷處間斷, ,且將且將 x0叫作函數(shù)的間斷點叫作函數(shù)的間斷點 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁于是于是, ,連續(xù)性的極限形式與增量形式是等價定義連續(xù)性的極限形式與增量形式是等價定義因為因為 )()(00 xfxxfy00yxlim)()(lim000 xfxxfx)()(lim00 xfxfx或或故由故由可推得可推得01000)()(lim)(xfxxfx)()(lim)(002xfxfxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3.3.函數(shù)的左、右連續(xù)性函數(shù)的左、右連續(xù)性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 x0, x0+ ) 內(nèi)有定義內(nèi)有定義. 若若 )

6、()(lim 00 xfxfxx則稱則稱 f (x) 在在 x0 點處右連續(xù)點處右連續(xù).設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 (x0 , x0 內(nèi)有定義內(nèi)有定義. 若若則稱則稱 f (x) 在在 x0 點處左連續(xù)點處左連續(xù).其中其中, 為任意常數(shù)為任意常數(shù). )()(lim 00 xfxfxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁)()(lim00 xfxfxx)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 函數(shù)在點函數(shù)在點 x0 連續(xù)連續(xù), 等價于它在點等價于它在點 x0 既既 左連續(xù)又右連續(xù)左連續(xù)又右連續(xù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁判斷下列函數(shù)在判斷下列函數(shù)在 x=0 的連續(xù)性的連續(xù)性00)(1xxxxx

7、f）（xxf)(2）（因為在因為在 x=0 處無定義處無定義00 xxxx因為因為0)0(f)(lim0 xfx)lim0 xx（0 xxlim0)(lim0 xfx0)(lim0 xfx0)0(f在在 x=0 處連續(xù)處連續(xù)練習(xí)xyy = | x |o例3上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁討論 y = sgn x 在點 x = 0 處的連續(xù)性.sgn x1,x 0,11limsgnlim00 xxx1) 1(limsgnlim00 xxxsgn x|x=0=sgn 0 = 0故符號函數(shù)故符號函數(shù) y = sgn x 在點在點 x = 0 處不連續(xù)處不連續(xù).0,x = 0, 1,x 1, 但由于但由于) 1

8、 (1)(lim1fxfx例5解上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設(shè)函數(shù) f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)有定義.若 x0(a, b), f (x) 在點 x0 處連續(xù),則稱 f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)連續(xù), 記為f (x)c( (a, b) ).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁若若 f (x) c( (a, b) ), 且且 f (x) 在在 x = a 處處右連續(xù)右連續(xù), 在端點在端點 x = b 處左連續(xù)處左連續(xù), 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 記為記為f (x)c( a, b ).對半開閉區(qū)間和無窮區(qū)間可類似定義連續(xù)性對半開

9、閉區(qū)間和無窮區(qū)間可類似定義連續(xù)性上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一般地一般地, 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 i上連續(xù)上連續(xù), 則記為則記為 f (x) c( i ) .上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁練習(xí)0),1(tan)31ln(0,0,sin1sin)(2xxaxxxbxxxxxf設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf為為何何值值時時，問問ba ,上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁解xxxxfxxsin1sinlim)(lim20001sinlimsinlim00 xxxxxx)1(tan)31ln(lim)(lim00 xaxxxfxx) 1(lim3lim00 xaxxxxa 3根根據(jù)據(jù)函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)

10、的的定定義義知知而而.)0(bf0, 3,003baba從從而而得得上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二二. 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 通常將函數(shù)的不連續(xù)點叫做函數(shù)的間斷點.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁函數(shù) f (x ) 在點 x0 處連續(xù), 應(yīng)該滿足以下三點：(1) f (x) 在 u(x0) 內(nèi)有定義; (包括在點 x0 處有定義). )( ) 3(0 xfa (極限值等于函數(shù)在點 x0 處的函數(shù)值) ; )(lim )2(0存在axfxx) )( , ( 0有極限時xfxx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1.函數(shù)間斷點的定義滿足下述三個條件中的任何一個, 則稱函數(shù) f (x)若函數(shù) f (x) 在)(u0 x內(nèi)有

11、定義, 且在點 x0 處在點 x0 處間斷, 點 x0 稱為函數(shù) f (x) 的一個間斷點：0 x0處無定義；處無定義；但在點但在點0 x不不存存在在；但但)(lim0 xfxx；但但)()(lim00 xfxfxx處處雖雖有有定定義義，在在點點0)2(x附附近近有有定定義義，在在點點0) 1 (x存存在在，處處有有定定義義，且且在在點點)(lim) 3(00 xfxxx00 x上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2.函數(shù)間斷點的分類 函數(shù)的間斷點第一類間斷點第二類間斷點跳躍可去無窮振蕩其它上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(1) 第一類間斷點若 x0 為函數(shù) f (x) 的一個間斷點, 且f (x) 的第一類間斷點.

12、, )(lim )(lim00存在與xfxfxxxx則稱 x0 為函數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁討論函數(shù) f (x)=x +1 x 0sinx x 00 21x在 x = 0 處的連續(xù)性.yxo121)(xfy y = sinxyx+1 由圖可知, 函數(shù)在 點 x0 處間斷.例例6上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx故 x = 0 是 f (x) 的第一類間斷點. 將左、右極限存在但不相等的間斷點, 稱為函數(shù)的跳躍型間斷點.) 0 )( 處有定義在xxf1) 1(lim0 xx0sinlim0 xx解上頁下頁鈴結(jié)束返

13、回首頁討論. 1 11)(2處的連續(xù)性在xxxxf函數(shù)在 x =1 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數(shù)的第一類間斷點. x =1 為函數(shù)的間斷點.yxo11p(1,2)y x + 1 進一步分析該間斷點的特點.例例7解上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補充定義211lim|211xxyxx則函數(shù)則函數(shù) f *(x) 在在 x =1 連續(xù)連續(xù).f * (x) =1 112xxx2 x = 1 即定義即定義分析211lim 21xxx由于上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁這種間斷點稱為這種間斷點稱為可去間斷點.處函數(shù)值后處函數(shù)值后, 可得到一個新的連續(xù)函數(shù)可得到一個新的連續(xù)函數(shù) ,

14、 故將故將在且相等在且相等, 即極限存在即極限存在, 經(jīng)過補充定義間斷點經(jīng)過補充定義間斷點這個間斷點的特點是該處的左、右極限存這個間斷點的特點是該處的左、右極限存 補充定義f * (x) =)(lim0 xfxx, x = x0 , )(0 xxxf上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 跳躍型間斷點 可去間斷點 第一類間斷點 左右極限存在 極限不相等 極限相等、補充定義上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(2) 第二類間斷點 凡不屬于第一類的間斷點, 稱為函數(shù)的第二類間斷點.這算定義嗎？即左右極限至少有一個不存在的點即左右極限至少有一個不存在的點.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁討論函數(shù)討論函數(shù). 0 1)(處的連續(xù)性在xxxfx

15、yoxy1在在 x = 0 無定義無定義,xxf1)(x = 0為函數(shù)的間斷點為函數(shù)的間斷點,1lim)(lim 00 xxfxx又故故 x = 0為函數(shù)為函數(shù)的第二類間斷點的第二類間斷點.xxf1)()(lim 0 xfx所以稱它為無窮間斷點所以稱它為無窮間斷點.由于由于例8解上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁. 0 1sin)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù)xxxf在在 x = 0 處無定義處無定義,xxf1sin)(. 0 為函數(shù)的間斷點x又又xxfxx1sinlim)(lim00不存在不存在,故故 x = 0 為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點. 看看該函數(shù)的圖形.例例9解上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁o1

16、1xy 1sinxy . 1sin)( 0 的振蕩型間斷點為稱xxfx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 無窮型間斷點 其它間斷點 第二類間斷點左右極限至少有一個不存在左右極限至少有一個為無窮 振蕩型間斷點 左右極限至少有一個振蕩上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁練習(xí)練習(xí)的的間間斷斷點點。討討論論函函數(shù)數(shù)xxxfsin)(,2, 0 nxx間間斷斷點點為為：解為為可可去去間間斷斷點點；知知：由由01sinlim0 xxxx.為為第第二二類類間間斷斷點點), 2, 1(sinlimnnxxxnx 知知：由由上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3 3 連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算 及其基本性質(zhì)及其基本性質(zhì) 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁, )

17、(lim0axfxx, )(lim0bxgxx則baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0( )(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的極限存在的極限存在時，時，設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng))(),(0 xgxfxx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁, )(lim0axfxx, )(lim0bxgxx則baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0( )(lim)(lim)()(lim

18、000bbaxgxfxgxfxxxxxx現(xiàn)在怎么說?的極限存在的極限存在時，時，設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng))(),(0 xgxfxx 處連續(xù)處連續(xù)在在設(shè)設(shè)0)(),(xxgxf上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1.連續(xù)函數(shù)的四則運算 設(shè)函數(shù) f (x)、 g(x), fi (x) 在點 x0 處連續(xù), , )()(lim00 xfxfxx則) , , 2 , 1 ( )()(lim00nxfxfiixx即, )()(lim00 xgxgxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(1) 有限個在點 x0 處連續(xù)函數(shù)的和仍是一個 在點 x0 處連續(xù)的函數(shù). 即上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(2) 有限個在點 x0 處連續(xù)的函數(shù)之積仍是一個在點 x0

19、處的連續(xù)函數(shù). 即上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(3) 兩個在點 x0 處連續(xù)函數(shù)的商, 當(dāng)分母不為 零時, 仍是一個在點 x0 處連續(xù)函數(shù). 即上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁四.初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的. 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù). 注意兩者的區(qū)別！注注: : 所謂定義區(qū)間所謂定義區(qū)間 就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan) 12ln(12 連續(xù)性給極限運算帶來很大方便.例例10解上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例11), 2()2 , 1() 1,(

20、連續(xù)區(qū)間：連續(xù)區(qū)間：討論：討論：22)(2xxxxf求求的連續(xù)區(qū)間21arcsin)(xxf的連續(xù)區(qū)間的連續(xù)區(qū)間連續(xù)區(qū)間：連續(xù)區(qū)間：31，上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例12.21, 211,)(2的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論xxxxxf.2, 1)(上上連連續(xù)續(xù)在在故故xf連連續(xù)續(xù)；在在1)(xxf在在各各自自的的區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)；為為初初等等函函數(shù)數(shù)2,)1(2 xx),1 ()(lim)(lim1)2(11fxfxfxxx處，處，解上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1、初等函數(shù)在其定義區(qū)間上求極限即求該點的初等函數(shù)在其定義區(qū)間上求極限即求該點的 函數(shù)值函數(shù)值. .2、初等函數(shù)求連續(xù)區(qū)間即求定義區(qū)間初等函數(shù)

21、求連續(xù)區(qū)間即求定義區(qū)間. .上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁（一） 最大值和最小值定理設(shè) f (x) c ( a, b ), 則 (i) f (x) 在 a, b 上為以下四種單調(diào)函數(shù)時 aobxyaobxyoab xyoabxy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max,bfxfbax, )()(min,afxfbax， )()(max,afxfbax. )()(min,bfxfbax此時, 函數(shù) f (x) 恰好在 a, b 的 端點 a 和 b 處取到最大值和最小值.則則上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 (ii) y = f (x) 為一般的

22、連續(xù)函數(shù)時xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)o1am2am3am4am5am6am上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(最大值和最小值定理)若 f (x) c ( a, b ) , 則它在該閉區(qū)間上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 閉區(qū)間的條件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 內(nèi)連續(xù), 但它不能取到它的最大值和最小值.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁若 f (x)c( a, b ), 則 f (x) 在 a, b 上有界. xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)o1am2am3am4am5am6am 看圖就知道如何證明了. 推論推論上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 f (x) 在 a, b 上可取到它的最大值 m 和 f (x)c ( a, b )故 m f (x) m , xa, b,| f (x