清華大學斷裂力學講義Ch5_1

1、第五章：J積分和M積分J積分HRR場J積分的實驗測量和數值計算討論M積分&裂力學中的三個守恒積分2D （線積分）能量釋放率（缺陷相互作用）J積分人=(呵a-%"人M積分M =丄(性 - %®聲Knowles-SternbergL積分乙=乞即(+ trUraXp yVJ. K Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 44, 187

2、-211 (1972).B. Budiansky and J. R. Rice, Conservation laws and energy-release rates Journal of Applied Mechanics, 40, pp. 201-203 (1973).J積分John Douglas EshelbyJ.D Eshelby, The force on an elastic singularity. Phil.Trans. Roy. Soc. London A 244, 87-111 (1951).JD. Eshelby, The continuum theory of lat

3、tice defects. Solid State Physics 3, 79-144 (1956).James R RiceJ.R Rice, A path in dependent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. J. Appl. Meeh. 35, 379-386 (1968).G.P. Cherepanov, Crack propagation in continuous media Journal of Applied Mathematics an

4、d Mechanics 31,503 (1967).GP Cherepanov, Cracks in solids. International Journal of Solids and Structures 4, 811-831 (1968).J IntegralEmmy Noether (1882-1935)The derivation of J as an example of Noether's theorem.Noether I TheoremAny differentiable symmetry of the action of a physical system has

5、 a corresponding conservation law The action of a physical system is the integral over time of a Lagrangian function (which may or may not be an integral over space of a Lagrangian density function), from which the system's behavior can be determined by the principle of least action.The homogene

6、ity of the material implies the path independence of J./wiki/Noether's_theorem5.1 J積分的概念及其理論背景和動機Griffith的能量釋放率G/對整個構型的能量判斷來確定裂紋擴展，從理論角度講上適 用范圍廣/需要知道全場信息來確定能量隨裂紋的變化，可操作性差 應力強度因子K/只需要裂尖附近的信息 /只對于脆性和小范圍屈服情形適用J積分/仍采用能量分析的方法/只需要J積分圍道上的信息便可判斷裂紋是否擴展。/適用于非線性材料，且不限于小范圍的修正固定圍道上的能量平衡

7、可以不再考察整個系統(tǒng)的能量平衡，而只考率圍道內縮的能量 變化。針對于二維問題。鋼為在時刻t由廠圈定且固化在物質上的面積。儲存在縮上的能量隨裂紋長度變化為G5a = Q5q - SU ()(2)Q和q分別為作用在圍道上的廣 義力和廣義位移。寫成關于時間的 變化率形式如下：)=丄b/%為應變能密度。下面我們試圖將這種能量平衡關系建立在隨裂尖移動的坐標系上Ga =隨裂尖移動圍道上的能量卄 在一個隨裂尖移動的坐標系 研究上述能量平衡。x（t） = XX Q（f） , X = x2（2）式右端第一項中dt(2)在移動坐標系下 % =僉（昭兀20 =僉（西-3）dUaU =-Idua加"=二-a

8、-1 X| ,x2x2 /"dtXia(f)a(t+d£)(2)計算右端第二項,考察經歷心前后縮和A移中的能量變化，不失一般性，假設t 時刻As和4移重合必)=必)+以)U l(1| t + A/) = U j (t + A?)+U + A/ ) 3獷 Ph &+&)- S (川-S (0+5 (t+Ar)4多(f+NXsC+M+S/C+4)4多=un (t+-Un (r)- 4 (0+Uin (t+Ar)_ wnidTlf/同 一 At/移=Uj t + A?) UI” t + /V)= A/ziJ由此可得(Reynold輸運定理)f wdA = f wd

9、Aa wn.dTdt Audt辦移廠 嘰=-如Z a-dt,dxx2.tGet =dwdA =f wdAa f wn、djTdt嗆移廠rtauadr-J積分/流入圍道的能通量1)0定常裂紋擴展/與Griffith能量釋放率在 滿足右列條件之一時相等 2）已將能量釋放率變成一條線上的積分！ ！3）無限小圍道（第一項1廣"f° 第二項如何？超彈性材料（或形變塑性不卸載）， 材料沿X1方向均勻（見下頁證明）證明在超彈性材料（或形變塑性不卸載），且材料沿Q方向均勻時f r du、d r,dr-f wdAJ廠 Q dtX；,x2dt移=0=r色團土辺必二 移 dsnlJdtJ0，兀2

10、，M二扁V 嗎（兀：，兀2，"必 縮ijdt超彈性材料（或形 變塑性不卸載）保 證W為單值，八2,"戶八2廣一、 材料沿Xi方向均 勻，但本構可以是X2的函數由虛功原理知（怎么來的？）（推導過程中要用到無體力條件）dr- dt仆dt6 小匕工丿必二0lJ若材料沿&和幻方向均不均勻，W二M切內,兀2）L示"X毛，M L示"仏（X，兀2，f），X +曲）,兀2 上述推導不成立IJ積分概念引入推導思路總結能量釋放率的引入從整個系統(tǒng)的作功與能量平衡關系得到 =固定圍道內的能量轉化 =如何在隨裂尖移動的坐標及圍道下表示，在滿足一定條 件的前提下，下述積分就

11、是能量釋放率，轉化為圍道上信 息的積分。A =屛 ©I”廠滿足下述條件之一1）定常裂紋擴展2）無限小圍道（第一項）3 ）超彈性材料（或形變塑性不卸載）,且 材料沿X1方向均勻再看看J積分的定義，應該與路徑無關？X Vs閉口圍道再看看J積分的定義，應該與路徑無關？X Vs閉口圍道J積分0/流入圍道的能通量1)定常裂紋擴展再看看J積分的定義，應該與路徑無關？X Vs閉口圍道/與Griffith能量釋放率在滿足右列條件之一時相等 2） 已將能量釋放率變成一條線 上的積分！ ！3）無限小圍道（第一項廣®朋->0）第二項如何？超彈性材料（或形變塑性不卸載），且 材料沿Xi方向均

12、勻（見下頁證明）仇嚴0,1 ”廠人=rnna.我們將證明，在以上條件下，對 任意封閉圍道探J積分是在一定條件下與積分路徑無關的守恒積分1. 超彈性材料（或形變塑性不卸 載），且材料沿Xi方向均勻， 無體力作用， 準靜態(tài)， 圍道內無奇點， 小變形bjkuk,i '廠=。所以J積分與路徑無關對于J1，顯然在仃和匚段的積分為零，為什么?證明厶=二 仏_ 聽皿 ” =o ：總的思路將環(huán)路積分轉換為面內 積分。引入能動量張量(Eshelby):耳j = wQj crjkUki ,則 PijHj = njCFjkUk i =HjCTjkUk i人=-(啊-njjk% W = i P/

13、M廠=£ R腫=o 因為(2, 3)Rj,j = W,Qij bjk,jUk,i ajkUkJj = % ajkjuk,i ajkukjj上式右端第二項bjk,jUk,i下面我們證明右端第一和第三項可以抵消(1) dw djk (1A5)"'二= b jkdxtuj,ki + Uk,ij)= - bjAj,ki + £ bjkllk,ijj，ki1 1=akjuj,ki + aujkak,ij jkllkjj +丁5叫為 jkUkJj得證1超彈性材料（或形變塑性不卸載），且材料沿Xi方向均勻;2.無體力作用；3.準靜態(tài)4.圍道內無奇點；5.小變形探J積分應

14、用示例I習題5-1、右-您咕”廠討論J積分的路徑無關性帶來的優(yōu)點是可以選擇最容易計算的路徑妙/2 rznw £For this case JG and we can easily evaluate the J intcgral around the contour shown. The integrand anishes everywhere except the segmenf 匚 On this segmeit is easy to see that有錯誤，請按平面應變和平面應(l-v)2 JJ力分別推導while "門can be made arbitrarily s

15、mall by taking r. far ahead of the crack tip. Therefore, evaluatingthe intcgraL wc get廠E2Cr =:(1-V)_/7獨J積分應用示例2： J積分與Dugdale -Barenblatt模型COD的關系沿圍道G有®=o （假設屈服帶無限?。┢渲欣硐霃椝苄詴r說習二乞，=> J十I 7s t§ =dJ_、他 料，b° , d：無量綱材料參數組合，久：參照應力'習題5-2計算I. II型K場J積分，取圓形圍道J積分小結從另一個角度可以理解能量釋放率與加載方式無關只需當前狀

16、態(tài)就能計算J積分。丿積分的另一種通過能量的定義一便于實驗量測 u = £7Qdq , n = U-Qq = - qdQQ, q分別為廣義力和廣義位移=-dq|_ da 丄 J。da測試多個不同裂紋長度的試件以J積分作為斷裂參量的斷裂準則J積分作為斷裂參量具有下述優(yōu)點:1J積分與路徑無關，便于計算;2. J積分代表驅動裂紋平移延展的廣義能量力;3. J積分在線彈性情況下，為Griffith的能量釋放率（【之 題5-2利用K漸近場及K與G的關系證明）；在非線性 彈性情況下，為能量釋放率。4.5.6.在塑性形變理論不卸載的情況下，J積分具有能量差率 （解釋）J積分與COD有簡明的對應關系；

17、可直接由裂紋試件來實驗測定J積分值（后面詳細講）J積分作為斷裂參量的優(yōu)點（續(xù)）:1. 對J積分進彳亍量測的試件尺寸小于對K/c進行量測的試件尺寸/小范圍屈服（SSY） K疋量測要求2a,c,B> 2.5Z測量幾再利用K疋珂d只要求a,c,B>（由實驗知）Q、qQ,g2. J積分表征裂紋尖端處的場強度，且即可得裂尖場，類 似于線彈性斷裂力學的K值（由下一講可知）探J積分的理論局限性J積分路徑無關性的一個重要前提是超彈性材料（或形變塑性不卸載）當裂紋未起裂時，這個條件能嚴格滿足，故J積分斷裂準 則是準確和嚴格的。當含有塑性變形的裂紋擴展時，在裂 紋尾岸有塑性卸載，需意識到再使用J積分斷

18、裂準則只是 近似，需要用實驗或理論來驗證其適用性。J積分的意義1具有熱力學意義，能夠描述流入裂尖端部的能量;2具有力學意義，能夠描述裂尖場的強度；3具有幾何學意義，能夠反映裂尖的形貌。5. 2 HRR 場(Hutchinson, Rice 和 Rosengren)塑性幕硬化材料平面問題的靜止裂紋尖端場線彈性斷裂力學在裂紋尖端存在漸近解，可以用單參數應 力強度因子K來表征其強度，漸近場稱為K場。非線性的幕硬化彈塑性斷裂力學在裂紋尖端也存在漸近 解，可以用J積分表征強度，漸近場稱為HRR場。John W. HutchinsonJames R RiceJ. R. Rice and G. F. Ros

19、engren, "PlaneStrain Deformation Near a Crack in aPower Law Hardening Material”，Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 16, 1968, pp. 1-12Hutchinson, J.W., " Singular Behavior at the End of a Tensile Crack in a Hardening Material." J. Meeh. Phys. Solids, 16, 18-31 (1968)在研究賽硬化

20、材料的裂尖漸近場時，由于不再是線彈性了， 需先把材料的本構搞清楚，首先考慮單向應力應變關系為塑性幕硬化，主要包括以下三種關系:純賽硬化為什么要引入S彈性接純賽硬化 Ramberg-Osgood 關系"為幕硬化系數，為簸硬化指數。在裂紋尖端，三種關系均可近似為Jbo丿為什么？當單方向的應力應變關系已知，可采用J2形變理論推廣為多軸應力應變關系。等效應力:1 七b rb =CT.其甲lJ ,J3-齊山/為應力偏量。單向拉伸時等效應力6就為拉伸應力b（【題5-刃驗證一若未學過塑性力學的同學）。按器形變理論可得多軸應力應變關系上式基于以下幾點:A sfj =硝 q 硝 since«

21、 硝 at thayrack tifJ</J</JJ塑性應變平行于偏應力 該式能退化為單軸拉伸情形A下面研究平面應變下賽硬化的裂尖場（平面應力類似），極坐標本構方程:屮 匂2 (bo丿/?1su5)耳=心打=、'1 siJsiJ引入應力函數o,保證平衡方程得到滿足。I習題5-八下述協(xié)調方程保證幾何方程得到滿足（為什么要有協(xié)調方程？）ff） + 為一仇）一 2（心）=0應力應變分量是0和r的齊次函數，所以控制方程是等規(guī)度方程, 有分離變量形式解存在幺=両（6»）+/（6»）+-t>s(匚3)=(e)+廠仏(&) + t>s類似于線彈性漸

22、近場，HRR場對應首項（在裂尖占優(yōu)主導）匕盼歸誦®K為奇異場強度幅值；莎依）按處0）= 1而歸一化（稍后討論）。代入上頁方程（哪個方程?），得關于處。）的控制方程。d2ns 2)zi(s 2)+ 2dde+ 4(s _ 1)«(5 _ 2)+1控制方程為四階齊次非線性常微分方程，還有一個未知特 征指數S，需要五個定解條件。=0< -2 _ "（s - 2jn（5 - 2）+ 22 + 3（17）審236 =$（2-s）0 +（/） + 4（5 - 2）+1丿d&J齊次方程，要求歸一化條件0（。） = 1定解。（齊次性保證人0（。）亦為解） 另外四個條

23、件為裂紋表面應力自由條件為去±穴=°，5rO0=±7T=0得0（± ”） = 0（± ”） = 0（r, 9） « Krs$（0）6 =牛 + 卑0=±7T楊書上印刷錯誤5="° 4l對于純I型問題，由于對稱性，只需求解上半平面，定解條件變?yōu)?S）=ZS）=/（o）=Z（o）=o, 7（o）=i 為什么？求解s有兩種途徑，一是Hutchinson采用的求解特征值問題；二 是Rice利用J積分的有限性（r如Kr紛Rice利用J積分的有限性來確定s 取以裂尖為中心，r為半徑的圓，則、7 _ l_”z 2當r位

24、于K環(huán)域時，為_有限的非零常數。由j積分 的路徑無關性，當r趨向裂尖時，J積分仍為一有限的非零常數,推出<t2=3+元沁上a2(Grr ° 00< 2 J'2n +1代入可得到5 = 7TT【越5-處 即我們知道了應力函數的奇異性。特征值S確定后，以純I問題為例采用打靶法來求解兩點邊值問題。d29冷 de2（£_2沁_2）+2 旳十（2莎+訃+ 4“ l）n（5 2）+ 嶋（曙吩卜0&（%）= &（%）= &（0）= &（0）= 0，°（0）= 1打靶法求解格式為（1）由初值"（0）=1, 7（0）=

25、0, （O）=A,（0）= 0 出發(fā)求解;（2 ）用Ronge-Kutta法進行積分，得試探函數0（&）;（3 ）檢查©SA + 0SF是否小于夕,&為控制求解精度的小量。若答案為是，則取3紛=屮紛;若答案為否，則對A值修正后回第（1） 步重新求解。至此我們已解得角分布函數，也知道應力函數的奇異性還有一個問題沒有解決，如何確定奇異場強度幅值斤？設法與同樣描述非線性斷裂的指標j積分聯系起來。如果斤已知，裂尖的應力應變?yōu)?#176;1% ="+1 &a/3（0； h）nSa/3 =r，J+Sa/3（0 n）?可以計算J積分，建立奇異場強度幅值斤與J積分的 天糸。需要注意的是角分布函數與幕硬化指數n有關