一致連續(xù)性定理

1、2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)實(shí)數(shù)完備性理論的一個(gè)重要作用就是證一、最大、最小值定理曾經(jīng)在第四章均給出過.明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)三、一致連續(xù)性定理二、介值性定理首先來看一個(gè)常用的定理首先來看一個(gè)常用的定理.有界性定理有界性定理 若若 f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) , .a b在在上上有有界界證證 用兩種方法給出證明用兩種方法給出證明.第一種方法第一種方法 使用有限覆蓋定理使用有限覆蓋定理. 因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) 在在 a, b一、最大、最小值定理局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì)局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì).上每一點(diǎn)連續(xù)上每一點(diǎn)連續(xù), 從而局

2、部有界從而局部有界. 我們的任務(wù)就是將我們的任務(wù)就是將 , ,0,0,ttta bM 對對于于任任意意的的存存在在以以及及(,) , ,ttxtta b 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) |( )|.tf xM H 覆蓋了閉區(qū)間覆蓋了閉區(qū)間a, b. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 在在 H 中存中存1111(,), (,)nnttntnttttt , ,1,xa biin 于于任任意意存存在在使使 (,)| , ,ttttta bH 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)間間集集顯然顯然12 , .max,nttta bM 覆覆蓋蓋了了令令則對則對在有限個(gè)開區(qū)間在有限個(gè)開區(qū)間第二種證法第二種證法 采用致密性定理采用致密性定理.因?yàn)橐驗(yàn)閤n

3、有界有界, 從而存在一個(gè)收斂的子列從而存在一個(gè)收斂的子列. 為了書為了書寫方便寫方便, 不妨假設(shè)不妨假設(shè) xn 自身收斂自身收斂, 令令0lim.nnxx (,),|( )|.iiiitittxttf xM 因因此此設(shè)設(shè) f (x) 在在a, b上無界上無界, 不妨設(shè)不妨設(shè) f (x)無上界無上界. 則存在則存在lim().nnf x , ,nxa b 使使00,.( ),naxbaxbf xx 因因則則又又因因在在連連續(xù)續(xù)故由歸結(jié)原理可得故由歸結(jié)原理可得00lim()lim( )(),nnxxf xf xf x 矛盾矛盾.最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6) 若函數(shù)若函數(shù) f

4、(x) 在在a, b證證 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 因而有界因而有界. 由確界定理由確界定理, f (x) 在在 a, b 上的值域有上確界上的值域有上確界. 設(shè)設(shè)上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在 a, b 上取最大、最小值上取最大、最小值. , sup( ).xa bMf x :( , ).,Mfa b 要要證證若若不不然然 則則對對于于任任意意 , ,xa b 1( )( )F xMf x ( )f xM ， 于于是是在在a, b 上連續(xù)上連續(xù), 從而有界從而有界, 故存在故存在 G 0, 使使10( ).( )F xGMf x 這樣就有這樣就有1( ), , .f

5、 xMxa bG這與這與 M 是是 f (x) 在在 a, b 上的上確界矛盾上的上確界矛盾.這就證明了上確界這就證明了上確界 M 與下確界與下確界 m 都是可取到的都是可取到的, 同理可證同理可證:下確界下確界 , inf( )xa bmf x 也屬于也屬于 f (a, b).最小值最小值.這也就是說這也就是說, M 與與 m 是是 f (x) 在在a, b上的最大、上的最大、(定理定理4.7) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)上連續(xù), 且且,( , ),a b 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 則則存存在在使使證證 在第四章中在第四章中, 我們已經(jīng)用確界定理證明此定理我們已經(jīng)用確界定理證

6、明此定理.現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明.( )( ),( ) , ,F xf xF xa b 設(shè)設(shè)則則在在上上連連續(xù)續(xù) 并并且且二、介值性定理f ( ). ( )( )f af b 若若是是介介于于與與之之間間的的一一個(gè)個(gè)f (a) f (b).將將 a, b 等分成兩個(gè)區(qū)間等分成兩個(gè)區(qū)間 a, c, c, b, 若若 F(c)=0, . 0)()( bFaF下去下去, 得到一列閉子區(qū)間得到一列閉子區(qū)間個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號. 將這個(gè)過程無限進(jìn)行將這個(gè)過程無限進(jìn)行F(c1)=0, 已證已證. 不然同樣可知函數(shù)不然同樣可知函數(shù) F(x) 在其中一在其中一將將

7、 a1 , b1 等分成兩個(gè)區(qū)間等分成兩個(gè)區(qū)間 a1, c1, c1 , b1, 若若間端點(diǎn)上的值異號間端點(diǎn)上的值異號, 將這個(gè)區(qū)間記為將這個(gè)區(qū)間記為a1, b1 . 再再已證已證. 不然不然, 函數(shù)函數(shù) F(x)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū)11(i) ,1, 2,;nnnnababn (ii)0 ,;2nnnbaban (iii)()()0.nnF aF b 由區(qū)間套定理由區(qū)間套定理, 存在惟一的存在惟一的,1, 2,nnabn limlim.( )nnnnabF x并且因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù),并且因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù),20lim()()( ) ,nnnF aF bF 所所以以( )0.:F

8、即這也就是說即這也就是說.)( f an , bn , 滿足滿足:(定理定理4.9) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在 a ,b上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在證證 (證法一證法一) 首先用致密性定理來證明該定理首先用致密性定理來證明該定理. 在在設(shè)設(shè) f (x) 在在 a, b 上不一致連續(xù)上不一致連續(xù), 即存在即存在對于對于, 00 0(), , ,xxa b 一一切切無無論論多多么么小小 總總是是存存在在三、一致連續(xù)性定理a, b 上一致連續(xù)上一致連續(xù).究究.下述證明過程中下述證明過程中, 選子列的方法值得大家仔細(xì)探選子列的方法值得大家仔細(xì)探|,xx 雖雖然然但但0|()()|.f

9、xf x 現(xiàn)分別取現(xiàn)分別取11 1111, , ,|1,xxa bxx 110|()()|;f xf x 222211, , ,|,22xxa bxx 220|()()|;f xf x 11, , ,|,nnnnnxxa bxxnn 0|()()|;nnf xf x , , ,nnxxa b 由由此此得得到到兩兩列列雖雖然然1|0,nnxxn 0|()()|.nnf xf x 因?yàn)橐驗(yàn)?xn 有界有界, 從而由致密性定理從而由致密性定理, 存在存在 xn 的的kknnkxxx0.lim. 一個(gè)收斂子列設(shè)一個(gè)收斂子列設(shè).但是總有但是總有, bxakn因?yàn)橐驗(yàn)樗杂蓸O限的不等式性質(zhì)所以由極限的不等

10、式性質(zhì).0bxa連續(xù)連續(xù), 所以由歸結(jié)原理得到所以由歸結(jié)原理得到0lim |()()|kknnkf xf x 矛盾矛盾.(證法二證法二) 再用有限覆蓋定理來證明再用有限覆蓋定理來證明.00| lim( )lim( )|0,xxxxf xf x 0limlim()lim,kkkknnnnkkkxxxxx 因因?yàn)闉橐约耙约?f0,0,( ;) , xxxU xa b 給給存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有|()( )|.2f xf x 考慮開區(qū)間集考慮開區(qū)間集( ;)| ,2xHU xxab 那么那么 H 是是 a, b 的一個(gè)開覆蓋的一個(gè)開覆蓋. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理,因因 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 對任意一點(diǎn)對任意一點(diǎn) , ,xa b 任任存在有限個(gè)開區(qū)間存在有限個(gè)開區(qū)間令令1min0,2iin 對于任何對于任何,baxx 只只要要,| xx那么那么x 必屬于上述必屬于上述 n 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間中的一個(gè)中的一個(gè),(,).22iiiixxx 設(shè)于是設(shè)于是1111(,), (,)