《垂直關系的性質》導學案

1、第11課時垂直關系的性質1.理解直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質定理,能用圖形語言和符號語言表述這些定理,并能加以證明.2.能運用直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質定理證明一些空間位置關系的簡單問題.裝修工人在安裝門窗時,經常使用鉛垂線對比門窗,測量門窗是否安裝得豎直,這是應用了什么原理?裝修工人判斷的依據(jù)是什么?問題1:(1)上述情境中,裝修工人應用了直線與平面垂直的性質定理,因為鉛垂線受重力影響始終是與地面垂直的,當裝修工人把鉛垂線與門的邊線靠近時,觀察上下鉛垂線與門線間的間隔是否一致,當線上間隔不同時,說明門線與鉛垂線不平行,也就說明門安裝得不豎直. (2)直線與平面垂直

2、的性質定理及表示:垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號表示: a,bab. 問題2:敘述平面與平面垂直的性質定理,并根據(jù)圖形用符號語言寫出這個定理.性質定理:如果兩個平面垂直,那么在一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.符號表示:,=l,AB,且ABl于BAB. 問題3:空間中垂直關系是如何轉化的?由線面垂直和面面垂直的判定定理和性質定理可知,線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉化關系可用下圖表示:1 / 8由上圖可以看出,幾種垂直關系的轉化就是線面和面面垂直的判定定理和性質定理的反復交替運用的結果.在線線垂直和線面垂直的轉化中,平面在其中起到了至關重要的作用,應考慮

3、線和線所在平面的特征,以找出需要證明的轉化.如證線線垂直,可先證線面垂直,進而由性質定理得到線線垂直.因此,線面垂直關系是線線垂直、面面垂直關系的樞紐. 問題4:關于線面垂直、面面垂直,還有其他重要結論嗎?直線和平面垂直的兩個重要結論:過一點有且只有一個平面和已知直線垂直. 過一點有且只有一條直線和已知平面垂直. 平面和平面垂直的兩個重要結論:若兩個平面垂直,則過第一個平面內的點作第二個平面的垂線必在第一個平面內. 兩個相交平面同時垂直第三個平面,則它們的交線垂直于第三個平面. 1.已知a、b為異面直線,b與c垂直,則().A.acB.bcC.

4、b與c相交D.不確定2.下列說法中正確的個數(shù)為().如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線,那么這條直線和這個平面垂直;過空間一點有且只有一條直線與已知平面垂直;一條直線和一個平面不垂直,那么這條直線和平面內的所有直線都不垂直;垂直于同一平面的兩條直線平行.A.1B.2C.3D.43.已知l,m是直線,是平面,給出下列說法:若,且,則;若=l,且l,則且;若l,則l.其中正確的是. 4.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,直線SC平面ABCD,E是SA的中點,求證:平面EDB平面ABCD.線面垂直的性質定理的應用如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1中,EF與異面直線AC、A1D都

5、垂直相交,求證:EFBD1.線面垂直的判定與性質的綜合應用如圖,已知=AB,EC平面,C為垂足,ED平面,D為垂足.求證:CDAB.面面垂直的性質定理的應用如圖所示,ABC為正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中點.求證:平面BDM平面ECA.已知a、b為異面直線,AB與a、b都垂直相交,若a,b,且=c.求證:ABc.已知底面為正方形的四棱錐PABCD的側棱PA底面ABCD,過點A在側面PAB內作AEPB于E,過E作EFPC于F.那么圖中AF與PC的位置關系如何?如圖,在ABC中,BAC=60°,線段AD平面ABC,E為CD上一點,且平面ABE平

6、面DBC.求證:點A在平面DBC內的射影不可能是BCD的垂心.1.設a,b是兩條異面直線,下列說法中正確的是().A.有一平面與a,b都垂直B.有且僅有一條直線與a,b都垂直C.過直線a有且僅有一平面與b平行D.過空間中任一點必可以作一直線與a,b都相交2.已知直線l平面:若直線ml,則m;若m,則ml;若m,則ml;若ml,則m,上述判斷正確的是().A.B.C.D.3.把RtABC斜邊上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有對. 4.三棱錐PABC中,PB=PC,AB=AC,點D為BC中點,AHPD于點H,連接BH,求證:平面ABH平面PBC.(2013年·

7、天津卷改編)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.證明:B1C1CE.考題變式(我來改編):第11課時垂直關系的性質知識體系梳理問題1:(1)垂直不平行不豎直(2) a,bab問題2:,=l, AB,且ABl于BAB問題3:線面垂直問題4:只有一個只有一條第一個垂直基礎學習交流1.D因為b與c垂直,故b與c可能相交,也可能異面,于是,a與c的關系不確定.2.B錯誤,無數(shù)條直線可能是平行直線,不能判斷直線和平面垂直;正確;錯誤,與該直線在平面內的正投影垂直的所有直線,都與該直線垂直;正確.3.錯

8、誤,反例是墻角處三個平面兩兩垂直.正確,因為如果一個平面經過另一個平面的垂線,那么這兩個平面互相垂直.錯誤,還可能l.4.解:連接AC交BD于點O,連接EO,因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以O是AC的中點,且E是SA的中點,所以EOSC.因為SC平面ABCD,所以EO平面ABCD,且EO平面EDB,所以平面EDB平面ABCD.重點難點探究探究一:【解析】連接AB1,B1C,BD,DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,AC平面BDD1B1,ACBD1.同理BD1B1C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1D B1C,EFB1C.又EFAC,EF平面AB1C,EFBD

9、1.【小結】當題目所給的條件垂直關系較多,但又需要證明平行關系時,往往要考慮垂直的性質定理,從而完成由垂直關系向平行關系的轉化.探究二:【解析】EC,AB,ECAB,同理EDAB,即ABEC,ABED,又ECED=E,AB面ECD,而CD面ECD,ABCD.【小結】本題是線線垂直、線面垂直的循環(huán).證明線線垂直、則要先證明線面垂直,關鍵就是面的選擇,選擇過哪條直線的平面與另一條直線垂直.探究三:【解析】(1)取AC的中點F,連接MF、BF,則MFCE且MF=CE.又BDCE,BD=CE,MFBD,MF=BD,四邊形MFBD是平行四邊形,DMBF.EC平面ABC,EC平面ACE,平面ACE平面AB

10、C.又BFAC,BF平面ACE.又DMBF,DM平面ACE.又DM平面BDM,平面BDM平面ECA.【小結】證明面面垂直的關鍵點和難點,就是在一個平面內確定另一個平面的垂線,一旦找錯垂線,將給問題的解決帶來很大麻煩,也是不可證明的.確定這條垂線的基本方法就是根據(jù)平面與平面垂直的性質,要著眼于平面內交線的垂線,若圖形中沒有現(xiàn)成的垂線,需要根據(jù)條件作出交線的垂線,再證明此直線垂直于另一個平面.思維拓展應用應用一:如圖,過點B作BB1,則BB1a,ABBB1.又ABb,AB垂直于由b和BB1確定的平面.b,bc,同理,BB1c,c也垂直于由b和BB1確定的平面,ABc.應用二:FPC,AF與PC相交

11、,只要進一步考察是否垂直.如果有AFPC,由已知EFPC,EFAF=F,得PC面AEF,PCAE.又已知AEPB,PCPB=P,得AE面PBC,AEBC.而由PABC,ABBC,知BC面PAB,可知BCAE成立.AFPC成立.于是,圖中AF與PC垂直相交.應用三:過點A作AHBE,H為垂足.平面ABE平面DBC,AH平面ABE,平面ABE平面DBC=BE,AH平面DBC,點H即為點A在平面DBC內的射影.假設H是BCD的垂心,則BECD.AH平面BCD,DC平面DBC,AHDC.又AHBE=H,CD平面ABE.又AB平面ABE,CDAB.AD平面ABC,AB平面ABC,ADAB,又ADCD=D

12、,AB平面ACD,ABAC,這與已知中BAC=60°相矛盾,假設不成立,點A在平面DBC內的射影不可能是BCD的垂心.基礎智能檢測1.CA中若有一平面與a,b都垂直,則ab,矛盾;B中將a,b平移到一個平面內,則與該平面垂直的直線與a,b都垂直;C正確;D中設過直線a且與b平行的平面為,則在平面內過直線a之外的點,不可能作一直線與a,b都相交.2.B 錯,還有可能m;正確;正確;正確.3.3平面BCD平面ACD,平面ADB平面BCD,平面ABD平面ADC.4.解:PB=PC,AB=AC,BD=DC,BCPD且BCAD,BC面PAD,面PAD面PBC.AHPD,面PAD面PBC=PD,AH