2022年數(shù)學分析教案(華東師大版)第二十二章曲面積分

1、學習必備歡迎下載其次十二章 曲面積分教學目的： 1.懂得第一、二型曲面積分的有關(guān)概念，并把握其運算方法，同時明確它們的聯(lián)系； 2. 把握高斯公式與斯托克斯公式；3.懂得有關(guān)場的概念，把握梯度場、散度場、旋度場、治理場與有勢場的性質(zhì)及應(yīng)用；教學重點難點 ：本章的重點是曲面積分的概念、運算；難點是其次型曲面積分；教學時數(shù) ：18 學時§ 1第一型曲面積分一.第一型面積分的定義 :1. 幾何體的質(zhì)量 :已知密度函數(shù),分析平面區(qū)域、空間幾何體的質(zhì)量定義及運算2. 曲面的質(zhì)量 :3. 第一型面積分的定義 :定義及記法 ., 面積分.4. 第一型面積分的性質(zhì) :二.第一型面積分的運算 :1.第一

2、型曲面積分的運算 :th22.2設(shè)有光滑曲面.為上的連續(xù)函數(shù),就.例 4運算積分,其中是球面被平面所截的頂部 .p281§2 其次型曲面積分一.曲面的側(cè) :1. 單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面 :2. 雙側(cè)曲面的定向 : 曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè) . 設(shè)法向量為,就上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個重量 , 即選“+”號時，應(yīng)有 ，亦即法線方向與 軸正向成銳角 . 類似確定其余各側(cè)的法線方向 閉合曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).二.其次型曲面積分 :1. 穩(wěn)流場的流量 :以磁場為例 .p2842. 其次型曲面積分的定義 :p284 .閉合曲面上的積分及記法 .3. 其次型曲面積分的性質(zhì) :線性 ,關(guān)于積分曲面塊

3、的可加性 .4. 其次型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系:設(shè)為曲面的指定法向 ,就.三.其次型曲面積分的運算 :th22.2設(shè)是定義在光滑曲面d上的連續(xù)函數(shù) , 以的上側(cè)為正側(cè) 即,就有.證 p類似地,對光滑曲面d, 在其前側(cè)上的積分.對光滑曲面d, 在其右側(cè)上的積分.運算積分時, 通常分開來運算三個積分,.為此, 分別把曲面投影到 yz 平面,zx 平面和 xy 平面上化為二重積分進行運算.投影域的側(cè)由曲面的定向打算 .例 1運算積分,其中是球面在部分取外側(cè) .p287例 2運算積分，為球面取外側(cè).解對積分,分別用和記前半球面和后半球面的外側(cè), 就有:;:.因此,=+=.對積分, 分別用和記右

4、半球面和左半球面的外側(cè), 就有:;:.因此,+=.對積分就有:,分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè) ,;:因此,=+=.綜上,=.§ 3gauss 公式和 stokes 公式一.gauss 公式:th22.6設(shè)空間區(qū)域 v 由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成 .如函數(shù)在 v上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數(shù), 就,其中取外側(cè).稱上述公式為 gauss 公式或gauss公式.證只證.設(shè) v 是型區(qū)域 即型體 , 其邊界曲面由曲面下側(cè) ,d,上側(cè) ,d.以及垂直于平面的柱面外側(cè)組成.留意到=, 有=.可類證,.以上三式相加 , 即得 gauss 公式.例 1運算積分，為球面取外側(cè).解.由 gaus

5、s 公式.例 2運算積分，其中是邊長為的正方體 v 的表面取外側(cè) . v :.p291解應(yīng)用 gauss 公式 , 有.例 1運算積分，為錐面在平面下方的部分，取外法線方向 .解設(shè)為圓取上側(cè) ,就構(gòu)成由其所圍錐體v 的表面外側(cè) ,由 gauss 公式 , 有=錐體 v 的體積;而因而,.例 1 設(shè) v 是三維空間的區(qū)域 , 其內(nèi)任何封閉曲面都可不通過 v 外的點連續(xù)收縮為 v 上的一點 . 又設(shè)函數(shù) 、 和 在 v 上有連續(xù)的偏導數(shù) . 表示 v 內(nèi)任一不自交的光滑封閉曲面 , 是 的外法線 . 試證明: 對 v 內(nèi)任意曲面 恒有的充要條件是在 v 內(nèi)到處成立 .證由 gauss 公式直接得到

6、 .反設(shè)不然 , 即存在點v,使,與沖突.不妨設(shè)其.由在點連續(xù),存在以點為中心且在v內(nèi)的小球就有, 使在其內(nèi)有. 以表示小球的表面外側(cè),二.stokes 公式:空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線 l 正向的匹配關(guān)系 : 右手螺旋法就 , 即當人站在曲面的正側(cè)上 , 沿邊界曲線 l 行走時, 如曲面在左側(cè) , 就把人的前進方向定為 l 的正向.1. stokes 定理:th22.7設(shè)光滑曲面的邊界 l 是按段光滑的連續(xù)曲線 .如函數(shù)、和在 連同 l 上連續(xù) ,且有一階連續(xù)的偏導數(shù) , 就.其中的側(cè)與 l 的方向按右手法就確定 .稱該公式為 stokes 公式 .證先證式.詳細證明參閱 p292.stokes 公式也記為.例 5運算積分,其中 l 為平面與各坐標平面的交線 ,方向為:從平面的上方往下看為逆時針方向 .p2942. 空間曲線上其次型曲線積分與路徑無關(guān)性:空間單連通、復連通域 .th 22.5設(shè)r為空間單連通區(qū)域 .如函數(shù)、和在上連續(xù),且有一階連續(xù)的偏導數(shù), 就以下四個條件等價 :>對于內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線l ,有>對于內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線l ,曲