復變函數(shù)課件16復變函數(shù)的極限和連續(xù)性

1、第六節(jié)第六節(jié) 復變函數(shù)的極限復變函數(shù)的極限和連續(xù)性和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性三、小結與思考2一、一、函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時的極限時的極限趨向于趨向于當當為為那末稱那末稱有有時時使得當使得當相應地必有一正數(shù)相應地必有一正數(shù)對于任意給定的對于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內內的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設函數(shù)設函數(shù)zzzfaazfzzazzzzfw )( .)(lim 00azfazfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定

2、義中zz 32. 極限計算的定理極限計算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuazfiyxzivuayxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設設證證 ,)(lim 0azfzz 如果如果根據(jù)極限的定義根據(jù)極限的定義 , )()(0 00時時當當 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.4 , )()(0 2020時時或當或當 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyx

3、x 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時時那么當那么當 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有5 )()()(00vviuuazf 00vvuu , 0 0時時故當故當 zz,)( azf .)(lim 0azfzz 所以所以證畢證畢說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉化為求兩個二元實變轉化為求兩個二元實變的極限問題的極限問題該定理將求復變函數(shù)該定理將求復變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 6定理二定理二).0()()(lim (3);)()(li

4、m (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 bbazgzfabzgzfbazgzfbzgazfzzzzzzzzzz那末那末設設與實變函數(shù)的極限運算法則類似與實變函數(shù)的極限運算法則類似.7例例1 1證證 (一一). 0 )re()( 不存在不存在時的極限時的極限當當證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 則則, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趨于零時趨于零時沿直線沿直線當當kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 8)1(lim220kxxx ,112k , 值的變化

5、而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz9二、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義: . )( , )( . )( ),()(lim 000內連續(xù)內連續(xù)在在我們說我們說內處處連續(xù)內處處連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果處連續(xù)處連續(xù)在在那末我們就說那末我們就說如果如果dzfdzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000czzfzfzczfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù)10定理三定理三.) ,( )

6、,( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復平面內除原點外處在復平面內除原點外處yxyxu , ),(22在復平面內處處連續(xù)在復平面內處處連續(xù)yxyxv . ),( 處連續(xù)處連續(xù)在復平面內除原點外處在復平面內除原點外處故故yxf11定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個函數(shù)連續(xù)的兩個函數(shù)在在zzzg

7、zfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復合函數(shù)那末復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 12特殊的特殊的:,)(2210nnzazazaazpw (1) 有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項式多項式) ; 都是連續(xù)的都是連續(xù)的對復平面內的所有點對復平面內的所有點 z(2) 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)()(zqzpw , )( )( 都是多項式都是多項式和和其中其中zqzp在復平面內使分母不為零的點也是連續(xù)的在復平面內使分母不為零的點也是連續(xù)的.13例例3 3. )( , )( :00也連續(xù)也連續(xù)在在那末那末連續(xù)連續(xù)

8、在在如果如果證明證明zzfzzf證證 ),(),()( yxivyxuzf 設設 ),(),()( yxivyxuzf 則則 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00處都連續(xù)處都連續(xù)在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00處連續(xù)處連續(xù)也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0連續(xù)連續(xù)在在故故zzf14三、小結與思考三、小結與思考 通過本課的學習通過本課的學習, 熟悉復變函數(shù)的極限、連熟悉復變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運算法則與性質續(xù)性的運算法則與性質. 注意注意:復變函數(shù)極限的定義與一元實變函數(shù)復變函數(shù)極限的定義與一元實變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同極限的定義雖然在形式上相同, 但在實質上有很但在實質上有很大的差異大的差異, 它較之后者的要求苛刻得多它較之后者的要求苛刻得多.15思考題思考題?)( , )( 00有無關系有無關系徑徑選取的路選取的路所采取的方式所