2022年精心整理線性代數(shù)公式大全

1、優(yōu)秀教案歡迎下載1.n行列式共有2n個(gè)元素，展開(kāi)后有!n項(xiàng)，可分解為2n行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、ija和ija的大小無(wú)關(guān)；、某行（列）的元素乘以 其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行 （列）元素的代數(shù)余子式為a；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：( 1)( 1)ijijijijijijmaam4. 設(shè)n行列式d：將d上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為1d，則(1)21( 1)n ndd；將d順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，所得行列式為2d，則(1)22( 1)n ndd；將d主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為3d，則3dd；將d主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為4d，則4d

2、d；5. 行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積(1)2( 1)n n；、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；、和：副對(duì)角元素的乘積(1)2( 1)n n；、拉普拉斯展開(kāi)式：aoaca bcbob、( 1)m ncaoaa bbobc、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；6. 對(duì)于n階行列式a，恒有：1( 1)nnknkkkeas，其中ks為k階主子式；7. 證明0a的方法：、aa；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀教

3、案歡迎下載、反證法；、構(gòu)造齊次方程組0ax，證明其有非零解；、利用秩，證明()r an；、證明 0 是其特征值；2、矩陣1.a是n階可逆矩陣：0a（是非奇異矩陣）；()r an（是滿秩矩陣）a的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)；齊次方程組0ax有非零解；nbr，axb總有唯一解；a與e等價(jià)；a可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；a的特征值全不為 0；ta a是正定矩陣；a的行（列）向量組是nr的一組基；a是nr中某兩組基的過(guò)渡矩陣；2. 對(duì)于n階矩陣a：*aaa aa e無(wú)條件恒 成立；3.1*111*()()()()()()ttttaaaaaa*111()()()tttabb aabb aabba4. 矩陣

4、是表格， 推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭； 行列式是數(shù)值， 可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均a、b可逆：若12saaaa，則：、12saaaa；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀教案歡迎下載、111121saaaa；、111aoaoobob；（主對(duì)角分塊）、111oaobboao；（副對(duì)角分塊）、11111acaa cbobob；（拉普拉斯）、11111aoaocbbcab；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)mn矩陣a，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)

5、形是唯一確定的：rmneofoo；等價(jià)類：所有與a等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣a、b，若()()r ar bab；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過(guò)初等行變換獲得；、每行首個(gè)非 0 元素必須為 1；、每行首個(gè)非 0 元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用： （初等列變換類似， 或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）、 若(,)(,)ra eex，則a可逆，且1xa；、對(duì)矩陣(,)a b做初等行變化， 當(dāng)a變?yōu)閑時(shí)，b就變成1a b，即：1(,)(,)ca be a b；、求解線形方程組：對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程axb，如果(, )(,)ra be

6、x，則a可逆，且1xa b；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀教案歡迎下載、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定： 左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、12n，左乘矩陣a，i乘a的各行元素；右乘，i乘a的各列元素； 、 對(duì) 調(diào) 兩 行 或 兩 列 ，符 號(hào)( ,)eij， 且1( ,)( ,)eijeij， 例 如 ：1111111；、倍乘某行或某列，符號(hào)( ( )e i k，且11( ()( () )e i ke ik，例如：1111(0)

7、11kkk； 、 倍 加 某 行 或 某 列 ， 符 號(hào)( ( )e ij k, 且1( ( )()e ij ke ijk， 如 ：11111(0)11kkk；5. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、0()min(, )m nr am n；、()()tr ar a；、若ab，則()()r ar b；、若p、q可逆，則()()()()r ar par aqr paq；（可逆矩陣不影響矩陣的秩 ）、max( (), ()(,)()()r a r br a br ar b；（）、()()()r abr ar b；（）、()min( (), ()r abr a r b；（）、如果a是mn矩陣，b是ns矩陣，且0ab

8、，則：（ ）、b的列向量全部是齊次方程組0ax解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀教案歡迎下載論）；、()()r ar bn、若a、b均為n階方陣，則()()()r abr ar bn；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量） 的形式，再采用結(jié)合律；、型如101001acb的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；二項(xiàng)展開(kāi)式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabc ac abc abca bc bc

9、a b；注：、()nab展開(kāi)后有1n項(xiàng)；、0(1)(1)!112 3!()!mnnnnn nnmncccmm nm、組合的性質(zhì)：111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrccccccrcnc；、利用特征值和相似對(duì)角化：7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：*()()1()10()1nr anr ar anr an；、伴隨矩陣的特征值：*1*(,)aaaxx aa aa xx；、*1aa a、1*naa8. 關(guān)于a矩陣秩的描述：、()r an，a中有n階子式不為 0，1n階子式全部為 0；（兩句話）、()r an，a中有n階子式全部為 0；、()r an，a中有n階子式不為 0；9. 線性方

10、程組：axb，其中a為mn矩陣，則：、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組axb有m個(gè)方程；、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組axb為n元方程；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀教案歡迎下載10.線性方程組axb的求解：、對(duì)增廣矩陣b進(jìn)行初等行變換（ 只能使用初等行變換 ）；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxba

11、xaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbaxbaaaxb（向量方程，a為mn矩陣，m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)）、1212nnxxaaax（全部按列分塊，其中12nbbb）；、1122nna xa xa x（線性表出）、有解的充要條件：()(,)r ar an（n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.m個(gè)n維 列 向 量 所 組 成 的 向 量 組a：12,m構(gòu) 成nm矩 陣12(,)ma；m個(gè)n維行向量所組成的向量組b：12,tttm構(gòu)成mn矩陣12tttmb；含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān)0ax有、無(wú)非

12、零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出axb是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示axb是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣mna與lnb行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組0ax和0bx同解； (101p例 14) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀教案歡迎下載4.()()tr a ar a；(101p例 15) 5.n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、 線性相關(guān)0；、,線性相關(guān),坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、,線性相關(guān),共面；6. 線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理：若12,s線性相

13、關(guān)，則121,ss必線性相關(guān)；若12,s線性無(wú)關(guān)，則121,s必線性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若r維向量組a的每個(gè)向量上添上nr個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組b：若a線性無(wú)關(guān)，則b也線性無(wú)關(guān)；反之若b線性相關(guān)，則a也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7. 向量組a（個(gè)數(shù)為r）能由向量組b（個(gè)數(shù)為s）線性表示，且a線性無(wú)關(guān)，則rs(二版74p定理 7)；向量組a能由向量組b線性表示，則()()r ar b；（86p定理 3）向量組a能由向量組b線性表示axb有解；()(,)r ar a b（85p定理 2）向量組a能由向量組b等價(jià)()()(,)r

14、ar br a b（85p定理 2 推論）8. 方陣a可逆存在有限個(gè)初等矩陣12,lp pp，使12lap pp；、矩陣行等價(jià)：rabpab（左乘，p可逆）0ax與0bx同解、矩陣列等價(jià)：cabaqb（右乘，q可逆）；、矩陣等價(jià)：abpaqb（p、q可逆）；9. 對(duì)于矩陣m na與l nb：、若a與b行等價(jià)，則a與b的行秩相等；、若a與b行等價(jià)，則0ax與0bx同解，且a與b的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)

15、秀教案歡迎下載、矩陣a的行秩等于列秩；10.若m ss nmnabc，則：、c的列向量組能由a的列向量組線性表示，b為系數(shù)矩陣；、c的行向量組能由b的行向量組線性表示，ta為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11.齊次方程組0bx的解一定是0abx的解， 考試中可以直接作為定理使用，而無(wú)需證明；、0abx只有零解0bx只有零解；、0bx有非零解0abx一定存在非零解；12.設(shè)向量組12:,n rrbb bb可由向量組12:,n ssaa aa線性表示為：（110p題 19結(jié)論）1212(,)(,)rsb bba aak（bak）其中k為sr，且a線性無(wú)關(guān)，則b組線性無(wú)關(guān)()r kr；（b與k的列向量組具有相同

16、線性相關(guān)性）（必要性：()()(), (),()rr br akr kr krr kr；充分性：反證法）注：當(dāng)rs時(shí)，k為方陣，可當(dāng)作定理使用；13.、對(duì)矩陣mna，存在n mq，maqe()r am、q的列向量線性無(wú)關(guān)；（87p）、對(duì)矩陣m na，存在n mp，npae()r an、p的行向量線性無(wú)關(guān)；14.12,s線性相關(guān)存在一組不全為 0的數(shù)12,sk kk， 使得11220sskkk成立； （定義）1212(,)0ssxxx有非零解，即0ax有非零解；12(,)srs，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15.設(shè)mn的矩陣a的秩為r，則n元齊次線性方程組0ax的解集s的秩為：()r snr；

17、16.若*為axb的一個(gè)解，12,nr為0ax的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則*12,n r線性無(wú)關(guān)；（111p題 33 結(jié)論）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀教案歡迎下載5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣ta ae或1taa（定義），性質(zhì)： 、a的 列 向 量 都 是 單 位 向 量 ， 且 兩 兩 正 交 ， 即1( ,1,2,)0tijija ai jnij；、若a為正交矩陣，則1taa也為正交陣，且1a；、若a、b正交陣，則ab也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬(wàn)不要忘記施密特正交化 和單位化 ；2. 施密特正交化：12(,)ra aa11ba；1222111,b ababb b121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb; 3. 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣 ，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4. 、a與b等價(jià)a經(jīng)過(guò)初等變換得到b；paqb，p、q可逆；()()r ar b，a、b同型；、a與b合同tc acb