三次樣條插值

1、 總總 結(jié)結(jié)三次樣條插值函數(shù)的誤差估計三次樣條插值函數(shù)的誤差估計三轉(zhuǎn)角算法三轉(zhuǎn)角算法三彎矩算法三彎矩算法三次樣條插值函數(shù)的概念三次樣條插值函數(shù)的概念三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值學(xué)習(xí)目標：學(xué)習(xí)目標： 知道三次樣條插值函數(shù)的概念，會求知道三次樣條插值函數(shù)的概念，會求三次樣條插值函數(shù)，進行誤差分析。三次樣條插值函數(shù)，進行誤差分析。 第二章 插值與擬合高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值（牛頓插值）插值）Hermite插值插值 分段分段插值插值但分段線性插值在節(jié)點處不一定光滑但分段線性插值在節(jié)點處不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值不容易提

2、取（找到）不容易提?。ㄕ业剑┤螛訔l插值（先由三次樣條插值（先由函數(shù)值函數(shù)值確定確定導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值，再由，再由分段分段Hermite插值解決問題插值解決問題）舉例：舉例：1 1 汽車、船的外形設(shè)計，流體力學(xué)等要求流線型（光滑）；汽車、船的外形設(shè)計，流體力學(xué)等要求流線型（光滑）；2 2 木樣條的來源。木樣條的來源。三次樣條插值函數(shù)的概念三次樣條插值函數(shù)的概念一、背景一、背景第二章 插值與擬合數(shù)學(xué)里的數(shù)學(xué)里的樣條樣條( Spline )一詞來源于它的直觀一詞來源于它的直觀幾何幾何 背景背景：繪圖員或板金工人常用彈性：繪圖員或板金工人常用彈性木條木條或或金屬金屬條條加加壓鐵壓鐵( (構(gòu)成樣條構(gòu)成樣條!

3、) !)固定在樣點上，在其它地方固定在樣點上，在其它地方讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，稱為讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，稱為樣樣條曲線條曲線. . 樣條曲線實際上是由分段三次曲線并接而成，樣條曲線實際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點擊樣點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)在連接點擊樣點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。第二章 插值與擬合相同數(shù)據(jù)相同數(shù)據(jù)3 3次樣條插值與次樣條插值與Lagrange插值效果比較插值效果比較Cubic Spline Interpolation Lagrange第二章 插值與擬合 定義定義 2.8 （三

4、三次樣條函數(shù)）次樣條函數(shù)） )(xSb在每一個小區(qū)間在每一個小區(qū)間1,jjxx上上是次數(shù)是次數(shù) 1,1 , 0 nj3 多項式。多項式。), 1 , 0(),()(nixfxSii 若若(1)中中三三次樣條函數(shù)次樣條函數(shù)還滿足插值條件：還滿足插值條件：)(xS關(guān)于剖分關(guān)于剖分)(xS稱稱為為)(xf 的三次樣條插值函數(shù)。的三次樣條插值函數(shù)。 baCxSa,)()(2 ，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。滿足下述條件：滿足下述條件：,:10bxxxan )(xS如果函數(shù)如果函數(shù) (1) 設(shè)有對設(shè)有對a,b的剖分的剖分的一個的一個3次樣條函數(shù)。次樣條函數(shù)。)(xS為關(guān)于剖分

5、為關(guān)于剖分 則稱則稱 )(xfy 函數(shù)表函數(shù)表), 1 , 0(),(,(nixfxii （2）設(shè)給定）設(shè)給定(2.42)二、樣條函數(shù)的定義二、樣條函數(shù)的定義 第二章 插值與擬合提出問題：提出問題：)(xS3次樣條插值函數(shù)次樣條插值函數(shù)是否存在是否存在？是否唯一是否唯一？如何計算如何計算？誤差估計誤差估計？問題的提法問題的提法：給定數(shù)據(jù)表：給定數(shù)據(jù)表構(gòu)造構(gòu)造3 3次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) , ,滿足插值條件滿足插值條件 x f x0 x1xnx0f1fnf S x ,0,1, . (2.42)iiS xfinL第二章 插值與擬合 111,1,2,1,1,2,1,1,2,1.iiiiiiiiiiii

6、SxSxinSxSxinSxSxinLLL 0011123111,.,;iiinnnSxxx xS xxx xS xS xCx xSxxxx構(gòu)造方法構(gòu)造方法： S(x)應(yīng)具有如下形式應(yīng)具有如下形式并且滿足條件并且滿足條件(2.42)(2.42)和和(2.43)(2.43)第二章 插值與擬合分析：分析： 因因,)(1 jjxxxS在在上是上是分段分段3次多項式，即為次多項式，即為,)()(32xdxcxbaxSxSjjjjj ) 1, 1 , 0(,1 njxxxjj4 4n個待定系數(shù)個待定系數(shù):,jjjjdcba1, 1 , 0 nj從而從而S(x)共須共須4n個獨立條件確定個獨立條件確定 .

7、 )()()()()()(111jjjjjjjjjjjjxSxSxSxSxSxS內(nèi)部條件：內(nèi)部條件： 1, 1 njS和和S, S 在在n-1個內(nèi)結(jié)點連續(xù)個內(nèi)結(jié)點連續(xù), ,即滿足條件即滿足條件(2.43),(2.43),因而因而(2.43)(2.43)給出了給出了3( (n-1) 個條件；個條件；(2.43)(2.43)第二章 插值與擬合 已有條件已有條件：), 1 , 0(),()(njxfxSjj 共有共有24 n個條件個條件,要唯一確定要唯一確定 ,還必須附加還必須附加2 2個條件個條件)(xS(2.42)(2.42)提供了提供了n+1個獨立條件個獨立條件;( (邊界條件邊界條件) )。

8、附加附加2個條件，個條件，有多種給法有多種給法. .最常見的給法是最常見的給法是: :(a) （簡支邊界，導(dǎo)致（簡支邊界，導(dǎo)致三彎矩關(guān)系式三彎矩關(guān)系式, M , M 關(guān)系式關(guān)系式）, , 特別地特別地, , ( (自然邊界自然邊界, ,三次自然樣條三次自然樣條);); (b) ( (固支邊界固支邊界, ,導(dǎo)致導(dǎo)致三轉(zhuǎn)角關(guān)系式三轉(zhuǎn)角關(guān)系式, m, m關(guān)系式關(guān)系式). ).000,nnnSxfxMSxfxM00,nMM000,nnnSxfxm Sxfxm(2.44)(2.44)(2.45)(2.45)第二章 插值與擬合)(c第第3種邊界條件（周期邊界條件）：種邊界條件（周期邊界條件）：)(xfy

9、為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，此時稱此時稱)(xS為周期樣條函數(shù)。為周期樣條函數(shù)。).2 , 1 , 0(),()()(0)( kxSxSnkk)(xS亦是周期函數(shù)，周期為亦是周期函數(shù)，周期為ab ，即取即取要求要求 注：注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)一端是二階導(dǎo)數(shù)。第二章 插值與擬合 這樣，由以上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連這樣，由以上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出接條件，就能得出4n4n個方程，可以惟一確定個方程，可以惟一確定4n4n個系數(shù)。從而個系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)得到三次樣條插值函數(shù)S(S(x) )在各個子區(qū)間在

10、各個子區(qū)間 xi , xi+1 上的表達上的表達式式S(S(xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，這種做法當。但是，這種做法當n n較大時，計算工較大時，計算工作很大，不便于實際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單的構(gòu)作很大，不便于實際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單的構(gòu)造方法。造方法。 ), 1 , 0(),(,(nixfxii 且且;10bxxxan (1)如果如果是定義在是定義在上函數(shù)且已知上函數(shù)且已知)(xfy 函數(shù)表函數(shù)表)(xf,ba 定理定理2.8（3 次樣條插值函數(shù)存在唯一次樣條插值函數(shù)存在唯一）唯一唯一3 3次樣條插值函數(shù)次樣條插值函數(shù))(xS, ,且滿足且滿足）。）或或

11、（或或（cba)()(xf,ba ( (2) )給定邊界條件給定邊界條件）或或（或或（cba)(，則，則于于存在存在第二章 插值與擬合 推導(dǎo)推導(dǎo)方法：方法：1、先確定、先確定插值函數(shù)插值函數(shù))(xS在節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)，記為在節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)，記為,)(jjmxS , 1 , 0nj 該方法即為該方法即為3次樣條插值函數(shù)的次樣條插值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表示。一階導(dǎo)數(shù)表示。2、先確定、先確定插值函數(shù)插值函數(shù))(xS在節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù)，記為在節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù)，記為,)(jjMxS , 1 , 0nj 該方法即為該方法即為3次樣條插值函數(shù)的次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示。二階導(dǎo)數(shù)表示。第二章 插值與擬合 -三

12、次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示三次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù) 可以有多種表達式，可以有多種表達式，有時用二階導(dǎo)數(shù)值有時用二階導(dǎo)數(shù)值表示時，使用更方便。表示時，使用更方便。 在力學(xué)上解釋為細梁在力學(xué)上解釋為細梁在在 處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個彎矩處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個彎矩有關(guān)，故稱用有關(guān)，故稱用 表示表示 的算法為的算法為三彎矩算法三彎矩算法。)(xS()(0,1,)iiSxMinMixiMi)(xS2.3.2 三彎矩算法三彎矩算法第二章 插值與擬合是是三三次次樣樣條條因因為為)(xSj,),()(11jjjjjjxxhxxxxSxS 令令1,(

13、 ),jjjSxxx所以在上是一次函數(shù),插插值值函函數(shù)數(shù)，), 2 ,0,1j)(nMxSjj ，（，（令令由兩點拉格朗日插值由兩點拉格朗日插值可表示為可表示為,)(11 jjjjjjMhxxMhxxxS參數(shù)參數(shù)(2.46)對對上上式積分式積分, ,得得22111()()( ), 22jjjjjjxxxxS xMMchh (2.47)(2.48)再積分再積分, ,得得331112()()( ), 66jjjjjjxxxxS xMMc xchh,1 jjxxxjjjjjxxhxxx 11,第二章 插值與擬合 由條件由條件11)(,)( jjjjyxSyxS，確定積分常數(shù)，確定積分常數(shù)12,c c

14、(2.49)(2.47)(2.48)21221111211(), 61(),6jjjjjjjjjjS xh Mc xcyS xh Mc xcy22111()()( ), 22jjjjjjxxxxS xMMchh 331112()()( ), 66jjjjjjxxxxS xMMc xchh,1 jjxxx111112111(),61().6jjjjjjjjjjjjjjjjyych MMhy xy xch x Mx Mh第二章 插值與擬合 將將上式上式代入代入( (2.48) )得到得到三三次樣條插值函數(shù)的表達式次樣條插值函數(shù)的表達式331122111()()( )66()(), 66jjjjjj

15、jjjjjjjjjjxxxxS xMMhhM hxxMhxxyyhh(2.50)由上討論可知由上討論可知,只要確定只要確定Mj (j=0,1,n)這這n+1個值個值, 就就可定出三樣條插值函數(shù)可定出三樣條插值函數(shù)S(x)。為了確定。為了確定Mj (j=0,1,n),對對S(x)求導(dǎo)得求導(dǎo)得221111()() ( )226jjjjjjjjjjjjxxxxyyMMS xMMhhhh 1,jjxxx(2.51)1,jjxxx第二章 插值與擬合133111122111111112211111( ),()()( )66()(), , 66()()( )22 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

16、jjjjjjjS xxxxxxxS xMMhhMhxxM hxxyyxxxhhxxxxS xMMhhyyh 類似地可求出在區(qū)間上的表達式,從而得1111 , 6jjjjjMMhxxx(2.52)第二章 插值與擬合1111111( )(0)(0), 636 1,1,jjjjjjjjjjjjjjjS xS xS xhhhhyyyyMMMhhjn利用在內(nèi)接點的連續(xù)性,即可得 0 , :(0)(0)njjMMS xS x為了求要用導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件1111111(2.51): (0),36(2.52): (0),63jjjjjjjjjjjjjjjjhhyyS xMMhhhyyS xMMh由得由得(2.53)

17、(2.54)(2.55)第二章 插值與擬合1111111,636jjjjjjjjjjjjjhhhhyyyyMMMhh（2.55） (1,2,1)jn上式兩邊同乘以上式兩邊同乘以 , ,即得方程即得方程 16jjhh11111111162jjjjjjjjjjjjjjjjjhhyyyyMMMhhhhhhhh11111111166,.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhhhhhhyyyydf xxxhhhh若記若記 （2.56）第二章 插值與擬合1111111 2, 1,1, ,6 ,.jjjjjjjjjjjjjjjjjjMMMdjnhhdf xx xhhhh其中所得方程可簡寫成所得方程可簡寫

18、成10112121223212111222nnnnnnMMMdMMMdMMMd（2.58） 即即 （2.57）個個方方程程1 n 三彎矩方程三彎矩方程第二章 插值與擬合 這是一個含有這是一個含有n+1+1個未知數(shù)、個未知數(shù)、n-1-1個方程的線性方個方程的線性方程組程組. .要完全確定要完全確定Mi (i=0,1,n)的值還需要補充兩個的值還需要補充兩個條件條件, ,這兩個條件通常根據(jù)實際問題的需要，根據(jù)插這兩個條件通常根據(jù)實際問題的需要，根據(jù)插值區(qū)間值區(qū)間 a, ,b 的兩個端點處的邊界條件來補充。的兩個端點處的邊界條件來補充。第二章 插值與擬合由由(2.53),得得0001100063fh

19、yyMhMh 由由(2.54),得得1111136 nnnnnnnnhyyfMhMh(1) 若若已知，已知，,)(,)(000nnnmfxSmfxS 11()36jjjjjjjjyyhhSxMMh11111()36jjjjjjjjyyhhS xMMh )(621111 nnnnnnnhyyfhMM)(620001010fhyyhMM 0d nd 則令則令j=0，令令j=n，第二章 插值與擬合001,1,nnjjM令得滿足的方程組 nnnnnnnddddMMMM110110111102222 (2.59)第二章 插值與擬合(2) 若若nnnfMxSfMxS )(,)(000已知，已知，代入方程代

20、入方程(2.58)，只只需解需解n-1個方程個方程 nnnnnnnnnfdddfdMMMM112201112211222212222 (2.60)第二章 插值與擬合 (3) 對第三類邊界條件：對第三類邊界條件：),0() 0(0 nxSxS) 0() 0(0 nxSxS 0M,nM 11001101110)(3166 nnnnnnnhyyhyyMhhMhMh兩邊同除以兩邊同除以得得,610 nhh)(62110011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh( j=n)1111111 (0),(2.53)36 (0),(2.54)63jjjjjjjjjjjjjjj

21、jhhyyS xMMhhhyyS xMMh由和可得( j=n)( j=0)第二章 插值與擬合)(62110011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh)(61100110 nnnnnhyyhyyhhd,1101 nnnnhhh ,100 nnhhh 令令nnnnndMMM 211 得得又由又由 nMM 0, 三彎矩方程可寫為三彎矩方程可寫為 nnnnnnnnddddMMMM1211211122112222 (2.61)第二章 插值與擬合 nnnnnnnnddddMMMM1211211122112222 (2.61)， nnnnnnnddddMMMM110110

22、111102222 (2.59) nnnnnnnnnfdddfdMMMM11220112211222212222 (2.60)第二章 插值與擬合說明：說明： （1） 方程組方程組(2.59)(2.61)系數(shù)矩陣都是嚴格對角占優(yōu)矩系數(shù)矩陣都是嚴格對角占優(yōu)矩 陣，因此方程組陣，因此方程組(2.59)(2.61有唯一解有唯一解 （2）Mj 在力學(xué)上為細梁在在力學(xué)上為細梁在xj處處截面截面處的處的彎矩彎矩, , 且彎矩與且彎矩與相鄰相鄰的兩個彎矩有關(guān)的兩個彎矩有關(guān), 故方程組故方程組(2.59)(2.61)稱為稱為三彎矩三彎矩方程。方程。 Mj 在數(shù)學(xué)上稱為在數(shù)學(xué)上稱為曲率曲率。 實際上實際上,方程組

23、方程組(2.59)(2.61)的系數(shù)矩陣是一類特殊的系數(shù)矩陣是一類特殊的矩陣，在后面線性方程組的解法中，將專門介紹這類的矩陣，在后面線性方程組的解法中，將專門介紹這類方程組的解法和性質(zhì)。方程組的解法和性質(zhì)。 第二章 插值與擬合例例 2.14 設(shè)在節(jié)點設(shè)在節(jié)點 上，函數(shù)上，函數(shù) 的值為的值為 ， 。 試求三試求三次樣條插值函數(shù)次樣條插值函數(shù) ，滿足條件，滿足條件)3 , 2 , 1 , 0( iixi)(xf5 . 0)(, 0)(10 xxff5.1)(,2)(32 xxff)(xS. 3 . 3)(, 3 . 0)()2(, 1)(, 2 . 0)()1(3030 xxxxSSSS11121

24、211211110.5(1,2)0.53,66jjjjjjjjjjjjjjjjjhhhhjhhddyyyydhhhh 解解 （1）利用方程組（）利用方程組（2.56）進行求解，可知）進行求解，可知第二章 插值與擬合對第一類邊界條件對第一類邊界條件03()0.2,()1,S xS x 1000003233226() 1.86()3yydfhhyydfhh(2.59),代入有 3638.1215.025.05.025.0123210MMMM0123:0.36,2.52,3.72,0.36MMMM 解得代入三次樣條插值函數(shù)的表達式（代入三次樣條插值函數(shù)的表達式（2.50），經(jīng)化簡有），經(jīng)化簡有第二章

25、 插值與擬合, 2) 2(68. 0286. 1268. 0, 5 . 0) 1(28. 1126. 1104. 1,2 . 018. 048. 0)(232323xxxxxxxxxxS 3 , 2 2 , 1 1 , 0 xxx（）（） 仍用方程組進行求解，不過要注意仍用方程組進行求解，不過要注意 的不同。由于的不同。由于 和和 已知，故可以化簡得已知，故可以化簡得dd3030,M3M0第二章 插值與擬合.3 .153 . 6411421 MM由此解得由此解得 。5 . 4, 7 . 221MM將將 代入三次樣條插值函數(shù)的表達式（代入三次樣條插值函數(shù)的表達式（2.50），），經(jīng)化簡有經(jīng)化簡有

26、MMMM3210, 2) 2(45. 0225. 213 . 1, 5 . 0) 1(35. 1135. 112 . 1,15. 015. 05 . 0)(232323xxxxxxxxxxS 3 , 2 2 , 1 1 , 0 xxx第二章 插值與擬合例例2.15 已知的函數(shù)值如下：已知的函數(shù)值如下： x 1 2 4 5 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2 1 3 4 2在區(qū)間在區(qū)間 1,51,5 上求三次樣條插值函數(shù)上求三次樣條插值函數(shù)S(x),S(x),使它滿足邊界條件使它滿足邊界條件 0)5(, 0) 1 ( SS解解: :這是在第二種邊界條件下的插值問題，故確定這是在第二種邊界

27、條件下的插值問題，故確定 的方程組形如（的方程組形如（2.602.60）所示，）所示， 由已知邊界條件由已知邊界條件, ,有有 則得求解則得求解 的方程組為的方程組為 3210,MMMM0)(, 0)(333000 MyxSMyxS21,MM11122222MdMd 第二章 插值與擬合根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出 與與 ii,id121321hhh2,21,2,322110 xxfxxfxxf32,3232222121hhhhhh112010166 1(,)(2)33 2df x xf x xhh 2231212661(,)( 2)532df x xf x xhh 第二

28、章 插值與擬合523233222121MMMM則得方程組則得方程組 解得解得 49,4321MM又又 030 MM即得即得S(x)S(x)在各子區(qū)間上的表達式在各子區(qū)間上的表達式, ,由式（由式（2.512.51）知）知,S(x),S(x)在在 上的表達式為上的表達式為代入式代入式(2.50)(2.50)3,2,1)(ixSi10, xx1301131016)(6)()(hxxMhxxMxS102111112100)(6)(6hxxhMyhxxhMy將將 代入上式化簡后得代入上式化簡后得 43, 0, 1, 3, 1, 2, 11011010MMhyyxx第二章 插值與擬合1478381)(2

29、31xxxxS同理同理S(x)S(x)在在 上的表達式為上的表達式為 21, xx1478381)(232xxxxSS(x)S(x)在在 上的表達式為上的表達式為 32, xx1949184583)(233xxxxS第二章 插值與擬合故所求的三次樣條插值函數(shù)故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)S(x)在區(qū)間在區(qū)間上的表達式為上的表達式為 5,1)54(1949184583)42(1478381)21 (1478381)(232323xxxxxxxxxxxxxS第二章 插值與擬合下面構(gòu)造一階導(dǎo)數(shù)值下面構(gòu)造一階導(dǎo)數(shù)值 表示的三次樣條插表示的三次樣條插值函數(shù)。值函數(shù)。 在力學(xué)上解釋為細梁在在力學(xué)上解釋為

30、細梁在 截面處的轉(zhuǎn)角，并且得到的轉(zhuǎn)截面處的轉(zhuǎn)角，并且得到的轉(zhuǎn)角與相鄰兩個轉(zhuǎn)角有關(guān)，故稱用角與相鄰兩個轉(zhuǎn)角有關(guān)，故稱用 表示表示 的算法為的算法為三轉(zhuǎn)角算法三轉(zhuǎn)角算法。), 1 , 0()(niSmxii mimi)(xSxi2.3.3 三轉(zhuǎn)角算法三轉(zhuǎn)角算法0 ( )( )( ), njjjjjH xfxmx.,數(shù)，得到三次樣條插值函對角方程組，求出的三，可得關(guān)于連續(xù)性條件和邊界條件由插值條件jjmm埃爾米特插值多項式，根據(jù)分段三次三轉(zhuǎn)角法：假定 , ), 0()(njmxsjj第二章 插值與擬合根據(jù)根據(jù)Hermite插值函數(shù)的唯一性和表達式插值函數(shù)的唯一性和表達式 可設(shè)可設(shè) S(x)在區(qū)間在區(qū)

31、間xi , xi+1(i=0,1,n-1)的表達式的表達式為為 221133122112212()()2()()( )()()()().iiiiiiiiiiiiiiiiiihxxxxhxxxxS xhhxxxxxxxxhhffmm第二章 插值與擬合對對S(x)求二次導(dǎo)數(shù)得求二次導(dǎo)數(shù)得11221131624642( )6(2 )().iiiiiiiiiiiiixxxxxSxhhxxxhxmmff于是有于是有).(624)0(121ffhmhmhxiiiiiiiiS 同理，考慮同理，考慮S(x)在在xi-1 , xi上的表達式，可以得到上的表達式，可以得到).(1642)0(12111ffhmhm

32、hxiiiiiiiiS 第二章 插值與擬合利用條件利用條件 ，得，得)0()0( xxiiSS112,1,2,1.iiiiiiinmmme（2.62）其中，其中， 由（由（2.56）所示，而）所示，而 ,ii).,(311xxxxeiiiiiiiff （2.63） 方程組方程組(2.63)是關(guān)于是關(guān)于 的方程組的方程組,有有 個未知數(shù)個未知數(shù),但只有但只有 個方程個方程.可由可由(2.44)(2.46)的任一種邊界條件補充兩個方程。的任一種邊界條件補充兩個方程。 1 n1 nmi第二章 插值與擬合111012222223311112222nnnnnnnnnfemmememfe由此可解得由此可解得m1,m2, mn-1 ，從而得，從而得 S(x)的表達式的表達式.（2.64） 對于邊界條件對于邊界條件(2.45), 兩個方程兩個方程則則m1,m2, mn-1滿足方程組滿足方程組 00,nnmf mf第二章 插值與擬合 對于邊界條件對于邊界條件(2.44),可導(dǎo)出兩個方程可導(dǎo)出兩個方程: 0001102000112111001010111426(0)()246(0)()3 ,23 ,.222nnnnnnnnnnnnnnnMSxmmyyhhhMSxmmyyhhhffhymm