第10講.雞兔同籠問題.教師版(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十講 雞兔同籠問題教學(xué)目標(biāo)1. 熟悉雞兔同籠的“砍足法”和“假設(shè)法”.2. 利用雞兔同籠的方法解決一些實(shí)際問題，需要把多個(gè)對(duì)象進(jìn)行恰當(dāng)組合以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)對(duì)象知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)說明：一、雞兔同籠這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一大約在年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有個(gè)頭；從下面數(shù)，有只腳求籠中各有幾只雞和兔？ 你會(huì)解答這個(gè)問題嗎？你想知道孫子算經(jīng)中是如何解答這個(gè)問題的嗎？ 二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一

2、半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；果籠子里有一只如兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）顯然，雞的只數(shù)就是（只）了 這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已除此之外，“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有： 雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 兔數(shù)=雞

3、兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有： 兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學(xué)習(xí)的過程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法板塊一、兩個(gè)對(duì)象的“雞兔同籠”【例 1】 雞兔同籠，頭共，足共，雞兔各幾只？【解析】 假設(shè)只都是兔，一共應(yīng)有只腳，這和已知的只腳相比多了只腳，這是因?yàn)槲覀儼央u當(dāng)成了兔子，如果把只雞當(dāng)成只兔，就要比實(shí)際多（只）腳，那么只腳是我們把只雞當(dāng)成了兔子，所以雞的只數(shù)

4、就是，兔的只數(shù)是（只）當(dāng)然，這里我們也可以假設(shè)只全是雞！鼓勵(lì)學(xué)生從兩個(gè)方面假設(shè)解題，更深一步理解假設(shè)法【鞏固】 點(diǎn)點(diǎn)家養(yǎng)了一些雞和兔子，同時(shí)養(yǎng)在一個(gè)籠子里，點(diǎn)點(diǎn)數(shù)了數(shù)，它們共有個(gè)頭，只腳問：點(diǎn)點(diǎn)家養(yǎng)的雞和兔各有多少只？【解析】 方法一：我們假設(shè)，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都是兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)的腳是總數(shù)的一半，也就是(只)在這個(gè)數(shù)中，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次，因此從減去總頭數(shù)，剩下的就是兔子頭數(shù)，(只)，所以有只兔子，有(只)雞方法二：假設(shè)只都是兔子，那么就有(只)腳，比只腳多了(只)每只雞比兔子少(只)腳，那么共有雞(只)方法

5、三：還可以假設(shè)只都是雞，那么共有腳(只)，比只腳少了(只)腳，每只雞比兔子少(只)腳，那么共有兔子(只)方法一可以歸結(jié)為：總腳數(shù)總頭數(shù)兔子數(shù)能夠這樣算，主要是利用了兔和雞的腳數(shù)分別為和，而且是的倍方法二說明假設(shè)的只兔子中有只不是兔子，而是雞由此可以列出公式：雞數(shù)(兔腳數(shù)總頭數(shù)總腳數(shù))(兔腳數(shù)雞腳數(shù))方法三說明假設(shè)的只雞中有只是兔由此可以列出公式：兔數(shù)(總腳數(shù)雞腳數(shù)總頭數(shù))(兔腳數(shù)雞腳數(shù))【鞏固】 雞兔共有只，關(guān)在同一個(gè)籠子中每只雞有兩條腿，每只兔子有四條腿，籠中共有條腿試計(jì)算，籠中有雞多少只？兔子多少只？【解析】 假設(shè)法：若假設(shè)所有的只動(dòng)物都是兔子，那么一共應(yīng)該有(條)腿，比實(shí)際多算(條)腿而

6、每將一只雞算做一只兔子會(huì)多算兩條腿，所以有(只)雞被當(dāng)作了兔子，所以共有只雞，有(只)兔子 注意：假設(shè)為兔子時(shí)，按照“多算的腿數(shù)”計(jì)算出的是雞的數(shù)目；假設(shè)為雞時(shí)，按照“少算的腿數(shù)”計(jì)算出的是兔子的數(shù)目同學(xué)們可以自己來做一下當(dāng)假設(shè)為雞時(shí)的算法 “金雞獨(dú)立”法（砍足法）： 假設(shè)所有的動(dòng)物都只用一半的腿站立，這樣就出現(xiàn)了雞都變成了“金雞獨(dú)立”，而兔子們都只用兩條腿站立的“奇觀”這樣就有一個(gè)好處：雞的腿數(shù)和頭數(shù)一樣多了；而每只兔子的腿數(shù)則會(huì)比頭數(shù)多因此，在腿的數(shù)目都變成原來的一半的時(shí)候，腿數(shù)比頭數(shù)多多少，就有多少只兔子原來有只腿，讓兔子都抬起兩只腿，雞抬起一只腿，則此時(shí)籠中有(條)腿，比頭數(shù)多，所以有

7、只兔子，另外只是雞【鞏固】 在一個(gè)停車場上，現(xiàn)有車輛輛，其中汽車有個(gè)輪子，摩托車有個(gè)輪子，這些車共有個(gè)輪子，那么三輪摩托車有多少輛？【分析】 假設(shè)都是三輪摩托車，應(yīng)有(個(gè))輪子，少了(個(gè))輪子每把一輛汽車假設(shè)為三輪摩托車，會(huì)減少(個(gè))輪子汽車有(輛)；從而求出三輪摩托車有(輛)或者假設(shè)都是汽車，應(yīng)有(個(gè))輪子，多了(個(gè))輪子； 所以摩托車有(輛)【鞏固】 體育老師買了運(yùn)動(dòng)服上衣和褲子共件，共用了元，其中上衣每件元、褲子每件元，問老師買上衣和褲子各多少件？【解析】 假設(shè)買的都是上衣，那么褲子的件數(shù)為：（件），上衣：（件）【鞏固】 三()班有象棋、飛行棋共副，恰好可供全班名同學(xué)同時(shí)進(jìn)行活動(dòng)象棋要人

8、下一副，飛行棋要人下一副，則飛行棋和跳棋各有幾副？【解析】 假設(shè)只有飛行棋，那么一共有（名）同學(xué)參與活動(dòng)，多出（名）同學(xué)，多一副象棋，就會(huì)少（名）同學(xué)，可知一共有（副）象棋，（副）飛行棋【鞏固】 王老師帶了名同學(xué)去北海公園劃船，共租了條船每條大船坐人，每條小船坐人，問大船、小船各租幾條？【解析】 我們分步來考慮： 假設(shè)租的條船都是大船，那么船上應(yīng)該坐（人） 假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實(shí)際人數(shù)多了（人），多的原因是把小船坐的人都假設(shè)成坐人 一條小船當(dāng)成大船多出人，多出的人是把（條）小船當(dāng)成大船所以有條小船，條大船 列式為：(條）（條）【例 2】 （中國古代僧粥問題）一百個(gè)和尚剛好喝一百碗粥，一個(gè)大和尚喝三

9、碗粥，三個(gè)小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少個(gè)，小和尚有多少個(gè)？【解析】 我們把大碗換小碗，換小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，則原題變?yōu)橐话賯€(gè)和尚喝三百碗粥，一個(gè)大和尚喝九碗粥，一個(gè)小和尚喝一碗粥 然后仍然用假設(shè)法： 假設(shè)都是小和尚，只能喝（碗）粥，有一個(gè)大和尚被當(dāng)成小和尚會(huì)少（碗）粥，一共少了（碗）粥所以大和尚有（個(gè)）；小和尚有（個(gè)）【鞏固】 100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃問：大、小和尚各有多少人？【解析】 本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解 假設(shè)100人全是大和尚，

10、那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多（個(gè)）現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少（個(gè)），因?yàn)?，故小和尚?0人，大和尚有（人）【例 3】 (小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題)孫阿姨有貳元人民幣和伍元人民幣共張，合計(jì)元，孫阿姨這兩種人民幣各有多少張？【解析】 假設(shè)這張人民幣全是貳元的，共計(jì)(元)，比實(shí)際的錢數(shù)少了(元)這是因?yàn)槲樵娜考僭O(shè)成貳元的，一張就少了(元)，那么可知伍元的共有 (張)，貳元的有：(張)【鞏固】 小華用二元五角錢買了面值二角和一角的郵票共張，問兩種郵票各買多少張？【解析】 二元五角分；角分；角分.假設(shè)都是分郵票：（分），比實(shí)際少了：（分），每張郵票相差錢數(shù)：（分），有二

11、角郵票：（張），有一角郵票張：（張）【鞏固】 有1元和5元的人民幣共17張，合計(jì)49元，兩種面值的人民幣各有多少張?【解析】 該題求兩種面值的人民幣各有多少張，已知總張數(shù)17張，但兩種不同面值的人民幣張數(shù)相差多少難以確定，怎么辦?再分析題意，又知兩種面值的人民幣的總錢數(shù)，及各自的票面值，但兩種人民幣相差的錢數(shù)也難以確定，這又怎么辦?我們可用“假設(shè)法”思考假設(shè)17張人民幣全是5元的，總錢數(shù)則為5×17=85(元)，比實(shí)際的49元多出85-49=36(元)，多的原因是把l元的人民幣假設(shè)為5元的人民幣了，用數(shù)量關(guān)系式表示為： 根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系式，可先求1元人民幣的張數(shù) 解法：(5×

12、;17-49)÷(5-1)=9(張) 17-9=8(張) 驗(yàn)算：1×9+5×8=49(元) 也可以假設(shè)17張人民幣全是1元的，便可 有另一解法 解法：(49-1×17)÷(5-1)-8(張) 17-8=9(張)【鞏固】 小同有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè)；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣小同共存了多少錢？【解析】 假設(shè)去掉22個(gè)2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個(gè)5分幣比一個(gè)2分幣多3分，所以5分幣有（個(gè)），2分幣有（個(gè)）， （分）【鞏固】 買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.

13、已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買了多少張 【解析】 解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多. (680-8×40)÷(8+4)=30(張), 這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張. 因此8分郵票有 40+30=70(張). 解二:譬如,假設(shè)有20張4分,根據(jù)條件"8分比4分多40張",那么應(yīng)有60張8分.以"分"作為計(jì)算單位,此時(shí)郵票總值是 4×20+8×60=560. 比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分

14、,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張). 因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).【鞏固】 四年級(jí)的同學(xué)們?nèi)ゴ河?，按團(tuán)體購票120張，共432元，其中單程票每張2元，往返票4元，那么單程票和往返票相差多少張？【解析】 假設(shè)全部買的是往返票，那么共需（元），比實(shí)際多花了48元，這48元是因?yàn)榘衙繌垎纬唐奔僭O(shè)成往返票多出的，每張單程票看成往返票則增加2元，可知48元中有幾個(gè)2元就有幾張單程票，即單程票有24張，相差72張【鞏固】 李明和張亮輪流打一份稿件，李明每天打頁，張亮每天打頁，他們一

15、共打了天，平均每天打頁，問李明、張亮各打了多少天？【解析】 從總數(shù)入手，由題意可知他們一共打了(頁)假設(shè)天都是李明打的，那么打的頁數(shù)是：(頁)，比實(shí)際打的多(頁)，而李明每天比張亮多打：(頁)，所以張亮打的天數(shù)是：(天)，李明打的天數(shù)是：(天)【例 4】 動(dòng)物園里養(yǎng)了一些梅花鹿和鴕鳥，共有腳只，鴕鳥比梅花鹿多只，梅花鹿和鴕鳥各有多少只？【解析】 假設(shè)梅花鹿和鴕鳥的只數(shù)相同，則從總腳數(shù)中減去鴕鳥多的只的腳數(shù)得：(只)這只腳是梅花鹿的腳數(shù)和鴕鳥的腳數(shù)(注意此時(shí)梅花鹿和鴕鳥的只數(shù)相同)腳數(shù)的和，一只梅花鹿和一只鴕鳥的腳數(shù)和是：(只)，所以梅花鹿的只數(shù)是：(只)，從而鴕鳥的只數(shù)是：(只) （本題也可給

16、學(xué)生講成“捆綁法”，一雞一兔一組，這個(gè)怎么分組時(shí)有倍數(shù)關(guān)系得到的）【鞏固】 一個(gè)養(yǎng)殖園內(nèi)，雞比兔多36只，共有腳792只，雞兔各幾只？【解析】 已知雞比兔多36只，如果把多的36只雞拿走，剩下的雞兔只數(shù)就相等了，拿走的36只雞有（只）腳，可知現(xiàn)在剩下（只）腳，一只雞與一只兔有6只腳，那么兔有（只），雞有（只）【鞏固】 雞兔同籠，雞、兔共有只，兔的腳數(shù)比雞的腳數(shù)多只，問雞、兔各多少只？【解析】 這道例題和前面的例題有所不同，前面的題是已知頭數(shù)之和和腳數(shù)之和求各有幾只，而這道題是已知頭數(shù)之和和腳數(shù)之差，這樣就比前面的例題增加了一點(diǎn)難度我們用兩種方法來解這道題（方法一）考慮如果補(bǔ)上雞腳少的只的話，那

17、么就要增加（只）雞這樣一來，雞、兔共有（只），這時(shí)雞腳、兔腳一樣多已知一只雞的腳數(shù)是一只兔的一半，而現(xiàn)在雞腳、兔腳相同，可知雞的只數(shù)是兔的倍，根據(jù)和倍問題有：兔有：（只）雞有：（只）或者（只）（方法二）不妨假設(shè)只都是兔，沒有雞，那么就有兔腳：（只），而雞的腳數(shù)為零這樣兔腳比雞腳多只，而實(shí)際上只多只，這說明假設(shè)的兔腳比雞腳多的數(shù)比實(shí)際上多：（只）現(xiàn)在以雞換兔，每換一只，兔腳減少只，雞腳增加只，即兔腳與雞腳的總數(shù)差就會(huì)減少（只）雞的只數(shù)：（只）兔的只數(shù)：（只）【鞏固】 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只.問：雞、兔各多少只?【解析】 假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為

18、零.這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多(只).現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少(只)，而，因此有兔子30只，雞(只).【鞏固】 雞、兔共只，雞腳比兔腳多只問：雞、兔各多少只？【解析】 假設(shè)只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳只，而兔的腳數(shù)為零這樣雞腳比兔腳多只，而實(shí)際上只多只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多(只)現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少只，兔腳增加只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少(只)，而，因此有兔子只，雞(只)【鞏固】 現(xiàn)有大小油桶50個(gè)，每個(gè)大桶可裝油4千克，每個(gè)小桶可裝油2千克

19、，大桶比小桶共多裝油20千克，問大小桶各多少個(gè)?【解析】 分析與解答一：假設(shè)50個(gè)油桶都是大桶，則共裝油千克，而這小桶所裝油則為0這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數(shù)多了千克，若在50個(gè)大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個(gè)大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少千克，那么該把多少個(gè)大桶換成小桶才符合題意呢? 解： (個(gè))(小桶) (個(gè)) (大桶)分析與解答二：這道題也可以用另外一種假設(shè)；每個(gè)大桶比每個(gè)小桶多裝2千克，如果大小桶同樣多，大桶要比小桶共多裝20千克，則應(yīng)該大小桶各個(gè)，現(xiàn)在共有50個(gè)桶，在剩下的個(gè)桶中，大小桶應(yīng)裝同樣

20、多的油，而每個(gè)大桶裝的油是每個(gè)小桶裝的倍，那么在這30個(gè)桶中，應(yīng)該有個(gè)大桶，個(gè)小桶；所以可求出50個(gè)桶中，有大小桶各多少個(gè)解：(個(gè)) (個(gè)) (大桶)(個(gè)) (大桶共有)(個(gè)) (小桶共有)【鞏固】 一批鋼材，用小卡車裝載要輛，用大卡車裝載只要輛已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝噸，那么這批鋼材有多少噸？【解析】 要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸利用假設(shè)法，假設(shè)只用輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝噸，所以要剩下 (噸)根據(jù)條件，要裝完這噸鋼材還需要(輛)小卡車這樣每輛小卡車能裝(噸)由此可求出這批鋼材有噸【例 5】 小建和小雷做仰臥起坐，小建先做了

21、分鐘，然后兩人各做了分鐘，一共做仰臥起坐次已知每分鐘小建比小雷平均多做次，那么小建比小雷多做了多少次？【解析】 假設(shè)小建每分鐘做仰臥起坐的次數(shù)與小雷一樣多，這樣兩人做仰臥起坐的總次數(shù)就減少了(次)，由此可知小雷每分鐘做了(次)，進(jìn)而可以分別求出小建每分鐘做的次數(shù)以及兩人分別做仰臥起坐的總次數(shù)之差假設(shè)小建每分鐘做仰臥起坐的次數(shù)與小雷一樣多，兩人做仰臥起坐的總次數(shù)就減少：(次)小雷每分鐘做：(次)；小建每分鐘做：(次)小建一共做：(次)；小雷一共做：(次)小建比小雷多做：(次)【例 6】 一份稿件,甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后,因有事由乙接著打完,共用了

22、7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？【解析】 我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打30÷6=5(份),乙每小時(shí)打30÷10=3(份). 現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù),乙打字的時(shí)間看成"雞"頭數(shù),總頭數(shù)是7."兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3,總腳數(shù)是30,就把問題轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問題了. 根據(jù)前面的公式"兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "雞"數(shù)=7-4.5 =2.5,

23、 也就是甲打字用了4.5小時(shí),乙打字用了2.5小時(shí). 【例 7】 工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)？【解析】 本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差（元），即損1個(gè)花瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi)，而且要付出120元本例可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好，這樣可得運(yùn)費(fèi)（元）這樣比實(shí)際多得（元） 就是因?yàn)橛袚p壞的瓶子，損壞1個(gè)花瓶相差120元現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個(gè)花瓶根據(jù)以上分析，可得損壞了（個(gè)）【鞏固】 樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送100只花瓶雙方商定每只運(yùn)費(fèi)1元，

24、但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)92元問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶？【解析】 假設(shè)100只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)（元）實(shí)際上只得到92元，少得（元）搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失（元）因此共打破花瓶（只）【鞏固】 有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶,運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算,每只2角,如有破損,破損瓶子不給運(yùn)費(fèi),還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元,問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只 【解析】 如果沒有破損,運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數(shù)是 (400-379.6)÷(1+0

25、.2)=17(只). 【鞏固】 （2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，約定每中一發(fā)得分，脫靶一發(fā)扣分，兩人各打發(fā)，共得分，最后甲比乙多得分，乙打中 發(fā)?！痉治觥?乙得分為（分），如果乙每發(fā)都打中可以得（分），脫靶一發(fā)少（分）；乙脫靶（發(fā)），所以乙打中（發(fā)）?！眷柟獭?某次數(shù)學(xué)競賽，共有道題，每道題做對(duì)得分，沒做或做錯(cuò)都要扣分，小聰?shù)昧朔?，他做?duì)了多少道題？【解析】 做錯(cuò) (道)，因此，做對(duì)的 (道)【鞏固】 數(shù)學(xué)競賽共有20道題，規(guī)定做對(duì)一道得5分，做錯(cuò)或不做倒扣3分，趙天在這次數(shù)學(xué)競賽中得了60分，他做對(duì)了幾道題？【解析】 假設(shè)他將所有題全部做對(duì)了，則可得1

26、00分，實(shí)際上只得了60分，比假設(shè)少了40分，做錯(cuò)一題要少得8分，少得的40分中，有多少個(gè)8分，就是他做錯(cuò)的題的數(shù)量，則知他做對(duì)了15道【鞏固】 東湖路小學(xué)三年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競賽，共道試題.做對(duì)一題得分，沒有做一題或做錯(cuò)一題都要倒扣分.劉鋼得了分，問他做對(duì)了幾道題？【解析】 這道題也類似于“雞兔同籠”問題假設(shè)劉鋼道題全對(duì)，可得分（分），但他實(shí)際上只得分，少了（分），因此他沒做或做錯(cuò)了一些題由于做對(duì)一道題得分，沒做或做錯(cuò)一道題倒扣分，所以沒做或做錯(cuò)一道題比做對(duì)一道題要少（分）分中含有多少個(gè)，就是劉鋼沒做或做錯(cuò)多少道題所以，劉鋼沒做或做錯(cuò)題為（道），做對(duì)題為（道）【鞏固】 (第八屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)

27、賽填空題)一張數(shù)學(xué)試卷，只有道選擇題做對(duì)一題得分，做錯(cuò)一題倒扣分；如不做，不得分也不扣分若小明得了分，那么他做對(duì) 題，做錯(cuò) 題，沒做 題 【解析】 這道題不是普通的雞兔同籠問題，需要尋找一些特殊的線索 小明得了分，而且只有做對(duì)了題目才能得分，所以可以知道小明至少做對(duì)道題目，否則一定低于(分)； 再假設(shè)他做對(duì)題，發(fā)現(xiàn)即使另外四題都錯(cuò)，小明仍然有(分)，超過了分，所以小明至多做對(duì)道題目； 綜上，可以斷定小明做對(duì)了道題 至此本題轉(zhuǎn)化為簡單雞兔同籠問題 假設(shè)剩下題全部沒做，那么小明應(yīng)得(分) 但是只得了分，說明又倒扣了分，說明錯(cuò)了道題，道題沒做 所以小明做對(duì)了道題，做錯(cuò)了道題，沒做道題【鞏固】 有兩次

28、自然測驗(yàn)，第一次24道題，答對(duì)1題得5分，答錯(cuò)(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對(duì)1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗(yàn)共答對(duì)30道題，但第一次測驗(yàn)得分比第二次測驗(yàn)得分多10分，問小明兩次測驗(yàn)各得多少分？ 【解析】 法一：如果小明第一次測驗(yàn)24題全對(duì)，得(分).那么第二次只做對(duì)(題)得分是(分).兩次相差(分).比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了，要減少.第一次答對(duì)減少一題，少得(分)，而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加分.兩者兩差數(shù)就可減少(分).(題).因此，第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè)(全對(duì))減少5題，也就是第一次答對(duì)19題

29、，第二次答對(duì)(題).第一次得分.第二次得分.法二：答對(duì)30題，也就是兩次共答錯(cuò)(題).第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去(分)，第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去(分).答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差 (分).如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是(題).第一次答錯(cuò)(題).第一次得分(分).第二次得分 (分).【例 8】 某旅游點(diǎn)有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價(jià)格為30元，成人票的價(jià)格為40元，如果是團(tuán)體還可以買平均32元一位的團(tuán)體票，一個(gè)由8個(gè)家庭組成的旅游團(tuán)（每個(gè)家庭由兩位大人，或兩個(gè)大人、一個(gè)

30、小孩組成）來景點(diǎn)旅游，如果他們買團(tuán)體票那么可以比他們各買各的少花120元，問這個(gè)旅游團(tuán)一共有多少人？ 【解析】 每個(gè)三口之家可以少花（元），每個(gè)二口之家可以少花（元），如果這8個(gè)家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以這8個(gè)家庭中有（個(gè)）家庭是二口之家，所以這個(gè)旅游團(tuán)一共有（人）【鞏固】 大、小猴共只，它們一起去采摘水蜜桃猴王不在時(shí)，一只大猴一個(gè)小時(shí)可采摘千克，一只小猴子一小時(shí)可摘千克；猴王在場監(jiān)督的時(shí)候，每只猴子不論大小每小時(shí)都可以多采摘千克一天，采摘了小時(shí)，其中第一小時(shí)和最后一小時(shí)猴王在監(jiān)督，結(jié)果共采摘了千克水蜜桃在這個(gè)猴群中，共有小猴子多少只？【分析】 其實(shí)大猴子和小猴子就相當(dāng)于雞兔問

31、題中的雞和兔但是卻有猴王來搗亂，所以我們先讓猴王消失一天中，猴王監(jiān)視了小時(shí)，假設(shè)猴王一直都不在，同猴王在時(shí)相比，每只猴子每小時(shí)都會(huì)少采千克，那樣猴群只能采摘(千克)；這是一天也就是小時(shí)的工作量，據(jù)此可以求出這群猴每小時(shí)采(千克)；假設(shè)都是大猴子，應(yīng)該每小時(shí)采摘(千克)，比實(shí)際多采了(千克)而每只小猴子被假設(shè)成大猴子，會(huì)多采(千克)因此可以求出小猴子有：(只)【例 9】 今年是1998年,父母年齡(整數(shù))和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),是公元哪一年？【解析】 4年后,兩人年齡和都要加8.此

32、時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數(shù),弟的年齡看作"兔"頭數(shù).25是"總頭數(shù)".86是"總腳數(shù)".根據(jù)公式,兄的年齡是 (25×4-86)÷(4-3)=14(歲). 1998年,兄年齡是14-4=10(歲). 父年齡是 (25-14)×4-4=40(歲). 因此,當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),兄的年齡是 (40-10)÷(3-1)=15(歲),這是2003年. 板塊二、多個(gè)對(duì)象的“雞兔同籠”【例 10】 有蜘蛛、蜻蜓、

33、蟬三種動(dòng)物共18只，共有腿118條，翅膀20對(duì)(蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對(duì)翅膀；蟬6條腿，一對(duì)翅膀)，求蜻蜓有多少只？【解析】 這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動(dòng)物都是6條腿，則總腿數(shù)為(條)，所差(條)，必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有(只)蜘蛛.這樣剩下的(只)便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)(對(duì))，比實(shí)際數(shù)少 (對(duì))，這是由于蜻蜓有兩對(duì)翅膀，而我們只按一對(duì)翅膀計(jì)算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求(只).【鞏固】 食品店上午賣出每千克為20元、25元

34、、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克20元的收入：元，所以賣出：千克，所以賣出每千克25元和每千克30克的糖果共千克，相當(dāng)于將題目轉(zhuǎn)換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉(zhuǎn)換成了最基本的雞兔同籠問題關(guān)鍵：將三種以及更多的動(dòng)物/東西，轉(zhuǎn)化為兩種最基本模型。即：抓住轉(zhuǎn)化后的“頭”與“腳”?！眷柟獭?犀牛、羚羊、孔雀三種動(dòng)物共有頭26個(gè)，腳80只，

35、犄角20只已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳，2只犄角，孔雀有2只腳，沒有犄角那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【解析】 這道題有三種不同的動(dòng)物混合在一起，這樣假設(shè)起來會(huì)比較麻煩，像前面的題一樣，我們可以觀察一下：雖然有三種不同的動(dòng)物，但是犀牛和羚羊都是4只腳，這樣，只看腳數(shù)，就可以把孔雀與這兩種動(dòng)物分開，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“雞兔同籠”問題，然后再通過犄角的不同，把犀牛和羚羊分開，也就是說我們需要做兩次“雞兔同籠”假設(shè)26只都是孔雀，那么就有腳：（只），比實(shí)際的少：（只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊每增加一只犀?；蛄缪颍瑴p少一只孔雀，就會(huì)增加腳數(shù)：（只）所以，孔雀有（只），犀牛和羚

36、羊總共有（只）假設(shè)14只都是犀牛，那么就有犄角：（只），比實(shí)際的少：（只），這說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊每增加一只羚羊，減少一只犀牛，犄角數(shù)就會(huì)增加：（只），所以，羚羊的只數(shù)：（只），犀牛的只數(shù)：（只）小結(jié)這道題出現(xiàn)了三種動(dòng)物，關(guān)鍵是尋找不同動(dòng)物的相同點(diǎn)，把三種動(dòng)物化為兩類，先使用“雞兔同籠”問題的解法把另外特殊的一種區(qū)分出來，再使用另外條件區(qū)分具有相同點(diǎn)的動(dòng)物【例 11】 (希望杯培訓(xùn)題)在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共道選擇題和填空題每題分，解答題每題分這次考試總分是分，其中選擇題和解答題的分值比填空題多分，這次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【

37、解析】 選擇題和填空題的分值一樣，可以歸為一類。如果這次考試的道題全是解答題，則總分應(yīng)是：(分)，但實(shí)際總分是分，所以選擇題和填空題共有： (道)，解答題有：(道)選擇題比填空題少：(分)，選擇題有：(道)，填空題有：(道)【鞏固】 商店出售大,中,小氣球,大球每個(gè)3元,中球每個(gè)1.5元,小球每個(gè)1元.張老師用120元共買了55個(gè)球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個(gè)？【解析】 因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù),大,小球的價(jià)錢也都是整數(shù),所以買中球的錢數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們?cè)O(shè)想買中球,小球錢中各出3元.就可買2個(gè)中球,3個(gè)小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個(gè)價(jià)錢是 (1.5

38、×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 從公式可算出,大球個(gè)數(shù)是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個(gè)). 買中,小球錢數(shù)各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可買10個(gè)中球,15個(gè)小球. 【鞏固】 某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎(jiǎng).獎(jiǎng)金有三種:一等獎(jiǎng)1000元,二等獎(jiǎng)250元,三等獎(jiǎng)50元.共有100人中獎(jiǎng),獎(jiǎng)金總額為9500元.問二等獎(jiǎng)有多少名？ 【解析】 假設(shè)全是三等獎(jiǎng)，共有：9500/50=190（人）中獎(jiǎng)，比實(shí)際多：190-100=90（人） 1000/50=20，也就是說：把20個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成

39、一個(gè)一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少了：20-1=19（人） 250/50=5，也就是說：把5個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少了：5-1=4（人）。 因?yàn)槎喑龅氖?0人，而：90=19*2+4*13. 即：要使總?cè)藬?shù)為100，只需要把20*2=40個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成2個(gè)一等獎(jiǎng)，把5*13=65個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成13個(gè)二等獎(jiǎng)就可以了。 所以，二等獎(jiǎng)有13個(gè)人。【鞏固】 有50位同學(xué)前往參觀,乘電車前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學(xué)共用了車費(fèi)110元,問其中乘小巴的同學(xué)有多少位？【解析】 由于總錢數(shù)110元是整數(shù),小巴和地鐵票也都是整數(shù),因此乘電車前往的人數(shù)

40、一定是5的整數(shù)倍. 如果有30人乘電車, 110-1.2×30=74(元). 還余下50-30=20(人)都乘小巴錢也不夠.說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了. 如果有40人乘電車 110-1.2×40=62(元). 還余下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢還有多(62>6×10).說明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多了.30至40之間,只有35是5的整數(shù)倍. 現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"了: 總頭數(shù) 50-35=15, 總腳數(shù) 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人數(shù)是 (6×15-68)÷(6-4)=11.

41、 【鞏固】 學(xué)校組織新年游藝晚會(huì),用于獎(jiǎng)品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支,共花了300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元,圓珠筆每支2.7元,鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支 ？【解析】 從條件"鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍",這兩種筆可并成一種筆,四支鉛筆和一支圓珠筆成一組,這一組的筆,每支價(jià)格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元). 現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價(jià)格為1.02和6.3兩種筆.用"雞兔同籠"公式可算出,鋼筆支數(shù)是 (300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 鉛筆和

42、圓珠筆共 232-12=220(支). 其中圓珠筆 220÷(4+1)=44(支). 鉛筆 220-44=176(支). 【例 12】 某次數(shù)學(xué)考試考五道題,全班52人參加,共做對(duì)181道題,已知每人至少做對(duì)1道題,做對(duì)1道的有7人,5道全對(duì)的有6人,做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多,那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人？【解析】 對(duì)2道,3道,4道題的人共有 52-7-6=39(人). 他們共做對(duì)181-1×7-5×6=144(道). 由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多,我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人(2+3)÷2=2.5).這樣 兔腳數(shù)=4,雞腳數(shù)=2.5, 總

43、腳數(shù)=144,總頭數(shù)=39. 對(duì)4道題的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人). 【例 13】 從甲地至乙地全長45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米,平路上速度是每小時(shí)5千米,下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到乙地,李強(qiáng)行走了10小時(shí);從乙地到甲地,李強(qiáng)行走了11小時(shí).問從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米 【解析】 把來回路程45×2=90(千米)算作全程.去時(shí)上坡,回來是下坡;去時(shí)下坡回來時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成"一種"路程,根據(jù)例15,平均速度是每小時(shí)4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡單的"雞兔

44、同籠"問題.頭數(shù)10+11=21,總腳數(shù)90,雞,兔腳數(shù)分別是4和5.因此平路所用時(shí)間是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小時(shí)). 單程平路行走時(shí)間是6÷2=3(小時(shí)). 從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時(shí))行走路程是 45-5×3=30(千米). 又是一個(gè)"雞兔同籠"問題.從甲地至乙地,上坡行走的時(shí)間是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小時(shí)). 行走路程是3×4=12(千米). 下坡行走的時(shí)間是7-4=3(小時(shí)).行走路程是6×3=18(千米).【例 14】 一些奇

45、異的動(dòng)物在草坪上聚會(huì)有獨(dú)腳獸（1個(gè)頭、1只腳）、雙頭龍（2個(gè)頭、4只腳）、三腳貓（1個(gè)頭、3只腳）和四腳蛇（1個(gè)頭、4只腳）如果草坪上的動(dòng)物共有58個(gè)頭、160只腳，且四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍的2倍，那么其中獨(dú)腳獸有幾只？【解析】 把2個(gè)四腳蛇和1個(gè)雙頭龍捆綁在一起，則是4頭12腳，即1頭3腳，同三腳貓是一樣的，所以可以假設(shè)都是1頭3腳，則有3×58=174只腳，但只有160只腳，差了174-160=14只腳，替換：14÷2=7只，故有7只獨(dú)角獸。課后練習(xí)練習(xí)1. 動(dòng)物園里有一群鴕鳥和大象,它們共有只眼睛和只腳，問：鴕鳥和大象各有多少？【解析】 由于每只動(dòng)物有兩只眼睛，由題

46、意知：動(dòng)物園里鴕鳥和大象的總數(shù)為：，假設(shè)鴕鳥和大象一樣也有只腳，則應(yīng)該有只腳，多了只腳，由假設(shè)引起的差值：，則鴕鳥數(shù)為（只），大象數(shù)為（頭）練習(xí)2. 雞與兔共100只,雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只 ？【解析】 解一:假如再補(bǔ)上28只雞腳,也就是再有雞28÷2=14(只),雞與兔腳數(shù)就相等,兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍),于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是 (100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 雞是100-38=62(只). 當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數(shù)是 (100-28÷4)÷(2

47、+1)+7=38(只). 也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法. 解二:假設(shè)有50只雞,就有兔100-50=50(只).此時(shí)腳數(shù)之差是 4×50-2×50=100, 比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了).為了保持總數(shù)是100,一只兔換成一只雞,少了4只兔腳,多了2只雞腳,相差為6只(千萬注意,不是2).因此要減少的兔數(shù)是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只數(shù)是 50-12=38(只). 練習(xí)3. 從前有座山，山里有個(gè)廟，廟里有許多小和尚，兩個(gè)小和尚用一根扁擔(dān)一個(gè)桶抬水，一個(gè)小和尚用一根扁擔(dān)兩個(gè)桶挑水，共用了38根扁擔(dān)和58個(gè)桶，那么有多少個(gè)小和尚

48、抬水？多少個(gè)挑水？【解析】 假設(shè)全是抬水，38根扁擔(dān)應(yīng)擔(dān)38個(gè)桶，而實(shí)際上是58個(gè)桶，為什么少了（個(gè)）桶呢？因?yàn)楫?dāng)我們把一個(gè)挑水的當(dāng)作抬水的就會(huì)少算（個(gè)）桶，所以有（人）在挑水，拾水的扁擔(dān)數(shù)是（根），抬水的人數(shù)是（人）練習(xí)4. 某次考試有52人參加，共考5道題，每題做錯(cuò)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表如下圖題號(hào)一二三四五做錯(cuò)人數(shù)46102039還知道每人都至少做對(duì)1道題，做對(duì)1道題的有7人，5道題全對(duì)的有6人，做對(duì)2道題和3道題的人數(shù)一樣多那么做對(duì)4道題的人數(shù)是多少？【解析】 總共答對(duì)了：道題，做對(duì)2、3、4道題的人總共有：人，這39人總共答對(duì)了：道題可假設(shè)做對(duì)2道題的有1人，假設(shè)出錯(cuò)量：，所以假設(shè)正確，對(duì)二、三道題的各1人，對(duì)4道題的37人難點(diǎn)：給的是做錯(cuò)題的表，而條件給的是做對(duì)的條件。練習(xí)5. 某學(xué)校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？【解析】 如果30間都是小宿舍，那么只能?。ㄈ耍鴮?shí)際上住了168人大宿舍比小宿舍每間多住（人），所以大宿舍有（間）練習(xí)6. 小松鼠采松果，晴天每天可以采個(gè)，雨天每天只能采個(gè)它一連幾天采了個(gè)松果，平均每天采個(gè)那么其中有幾天是雨天呢？【解析】 小松鼠一共采了（天），假設(shè)每天都是晴天