理論力學(xué)習(xí)題解

1、理論力學(xué)題解1-3 已知曲柄, 以勻角速度繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng),此曲柄借連桿AB使滑動(dòng)B沿直線運(yùn)動(dòng).設(shè),.求連桿上C點(diǎn)的軌道方程及速度.解: 設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為,則聯(lián)立上面三式消去得整理得軌道方程設(shè)C點(diǎn)的速度為,即考慮A點(diǎn)的速度得所以1-4 細(xì)桿OL繞O點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng),圖中的為一已知常數(shù).試求小環(huán)的速度及加速度解: 小環(huán)C的位置由坐標(biāo)確定解法二:設(shè)為小環(huán)相對(duì)于AB的速度, 為小環(huán)相對(duì)于OL的速度, 為小環(huán)相繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度,則又設(shè)OL從豎直位置轉(zhuǎn)過(guò)了角,則, 所以, 小環(huán)相對(duì)于AB的速度為,方向沿AB向右.沿滑桿OM滑動(dòng)的速度為，方向沿OM桿向上。求加速度用極坐標(biāo)橫向

2、加速度第一章第五節(jié)例題一解：坐標(biāo)向上為正時(shí)，速度也向上為正，而實(shí)際速度向下，則有阻力，動(dòng)力學(xué)方程，滿足初始條件的解為坐標(biāo)向下為正時(shí)，速度也向下為正，實(shí)際速度向下，則有阻力，動(dòng)力學(xué)方程，滿足初始條件的解為（）可以看出第一章第五節(jié)例題二解：雙曲正切函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)反雙曲正切函數(shù)（）1-10 一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線運(yùn)動(dòng).其切向加速度的量值為法向加速度量值的倍.如此質(zhì)點(diǎn)從正焦玄()的一端以速度出發(fā),試求其達(dá)到正焦玄另一端時(shí)的速率.解: 設(shè)條件為, , 上面三式聯(lián)立得兩邊積分 , 由可得 在正焦玄兩端點(diǎn)和處, ,.可看出,兩點(diǎn)處拋物線得切線斜率互為倒數(shù),即,代入得1-15 當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí),它的雨蓬遮住

3、篷的垂直投影后的甲板,蓬高.但當(dāng)輪船停航時(shí),甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前,如果雨點(diǎn)的速率為,求輪船的速率.解: 設(shè)相對(duì)于岸的速度為,雨相對(duì)于岸的速度為,雨相對(duì)于船的速度為則速度三角形與三角形ABC相似,得所以方程的解解: 作變換,原方程變?yōu)?設(shè),則實(shí)根 兩個(gè)虛根: ,對(duì)于該題,只取實(shí)根. 1-38 已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為,其中都是常數(shù),問(wèn)這些應(yīng)滿足什么條件才有勢(shì)能存在?如果這些條件滿足,試求其勢(shì)能.解: 由得: 1-39 一質(zhì)點(diǎn)受一與距離3/2次方成反比得引力作用在一條直線上運(yùn)動(dòng),試證該質(zhì)點(diǎn)自無(wú)窮遠(yuǎn)到達(dá)時(shí)的速度和自靜止出發(fā)到達(dá)時(shí)的速率相同. 解: 依題意有 ,兩邊積分 , 再積分,可知1-

4、43 如果質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而作雙紐線的運(yùn)動(dòng)時(shí)，則試證明之。解：比耐公式 而代入得 1-44 質(zhì)點(diǎn)所受的有心力如果為式中，及都是常數(shù)，并且，則其軌道方程可寫成。試證明之。式中，（A為積分常數(shù)）。解：比耐公式將F代入得，式中其解為式中，將基準(zhǔn)線轉(zhuǎn)動(dòng)一角度，可使得2-1 求均勻扇形薄片的質(zhì)心，此扇形的半徑為，所對(duì)的圓心角為。并證明半圓片的質(zhì)心的距離為解：取對(duì)稱軸為軸，則質(zhì)心比在對(duì)稱軸上。設(shè)密度為對(duì)于半圓片，取，或者直接積分 2-2 如自半徑為為的球上，用一與球心相距為的平面，切出一球形帽，求此球形帽的質(zhì)心。解：方法一球形帽可看作由許多圓薄片沿Z軸疊成，其質(zhì)心坐標(biāo)方法二取任一垂直于OZ軸的兩平面來(lái)截球

5、冠，截得一微圓球臺(tái)近似地等于圓柱。2-3 重為的人，手里拿著一個(gè)重為的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，將物體以相對(duì)速度水平向后拋出。問(wèn)：由于物體的拋出，跳的距離增加了多少？解：選人與重物組成一個(gè)系統(tǒng)，此系統(tǒng)在水平方向無(wú)外力作用，水平方向動(dòng)量應(yīng)守恒。人在拋出重物以前，水平速度為，在最高點(diǎn)拋出重物之后，其水平速度變?yōu)?，則人拋出重物后，做以為初速的平拋運(yùn)動(dòng)，比不拋重物落地點(diǎn)要遠(yuǎn)，增加的距離兩式聯(lián)立得討論：若拋出物體時(shí)速度是相對(duì)人后來(lái)的速度即，則上面第一個(gè)方程變?yōu)榻Y(jié)果是一個(gè)例子：人重60公斤，物重2公斤，起跳速度，拋物速度，則2-13 長(zhǎng)為的均勻細(xì)鏈條伸直地平放在水平光滑桌面

6、上，其方向與桌邊沿垂直，此時(shí)鏈條的一半從桌上下垂。起始時(shí)，整個(gè)鏈條是靜止的。試用兩種不同的方法，求此鏈條的末端滑到桌子的邊沿時(shí)，鏈條的速度。解：【方法一】設(shè)鏈條的線密度為，則時(shí)刻下落的鏈條質(zhì)量為，此時(shí)鏈條所受的重力為，根據(jù)牛頓第二定律有作變換代入上式兩邊積分，【方法二】設(shè)鏈條的線密度為，當(dāng)鏈條往下移，重力做的功為，216 雨滴下落時(shí)，其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比例，求雨滴速度與時(shí)間的關(guān)系。解：變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)方程設(shè)水蒸氣凝結(jié)在雨滴上之前在空氣中的速度，代入上式得設(shè)雨滴半徑的增長(zhǎng)率為，式中為時(shí)雨滴的半徑，雨滴的質(zhì)量，式中為密度其解設(shè)時(shí)，的問(wèn)題：軸為豎直而定點(diǎn)在下的拋物線形金屬絲，以勻角速度繞軸

7、轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為的小環(huán)套在此金屬絲上，并可沿金屬絲滑動(dòng)。是研究其運(yùn)動(dòng)。拋物線方程建立動(dòng)參考系，則動(dòng)能 勢(shì)能 運(yùn)動(dòng)微分方程 對(duì)上式積分一次再積分一次一個(gè)自由度下，應(yīng)用虛功原理求平衡問(wèn)題半徑為的光滑半球形碗固定在水平桌面上，一均質(zhì)棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，另一端在碗外，在碗內(nèi)長(zhǎng)度為，試證棒長(zhǎng)為解：主動(dòng)力，體系平衡時(shí)，由虛功原理得上式中如選為廣義坐標(biāo)，得出這與廣義坐標(biāo)的變分獨(dú)立性相矛盾，故不能選為廣義坐標(biāo)。選為廣義坐標(biāo)，則，而，得棒長(zhǎng)取直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，如，因?yàn)閯t廣義力獨(dú)立，平衡方程為，即兩種特殊情況當(dāng)，時(shí)，平衡方程簡(jiǎn)化為；當(dāng)，時(shí)，平衡方程改寫為，即。解釋個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)，有個(gè)自由度，選取一組廣

8、義坐標(biāo)設(shè)去取值范圍給出的維區(qū)域?yàn)?。主?dòng)力作用點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)）的矢徑為，虛位移只有在定義域的交集中成立。一般有。從而產(chǎn)生虛位移和廣義力的定義域就是廣義坐標(biāo)的值域的誤解。考慮兩種情況（1） 平衡位置，虛功原理化成；（2） 平衡位置，但，諸中至少有一個(gè)在平衡位置不存在。所選廣義坐標(biāo)雖能表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系的平衡位置，但在平衡位置的虛位移卻不能用廣義坐標(biāo)變分的線性組合來(lái)表達(dá)。即不成立。在平衡位置不是，而是不存在。若取為廣義坐標(biāo)，則，的奇點(diǎn)方程為，平衡點(diǎn)是虛位移和廣義力的奇點(diǎn)。（論述該問(wèn)題的文獻(xiàn)：大學(xué)物理，200年5月和2002年4月）設(shè)力在球坐標(biāo)系中沿坐標(biāo)軸方向的分量為，。若取三個(gè)球坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，試證其三個(gè)廣義力為

9、。證明： 虛位移 （2分） 虛功 （2分）而虛位移又可以寫成 （2分）兩式比較得 （2分）質(zhì)量分別為和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)用一長(zhǎng)為的不可伸長(zhǎng)的細(xì)線連接并掛在一定滑輪上，試用拉格朗日方程求體系的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：力學(xué)體系有一個(gè)自由度。取到滑輪固定點(diǎn)的距離為廣義坐標(biāo)體系勢(shì)能為 （2分）體系的動(dòng)能 （2分）拉格朗日函數(shù) 分別對(duì)廣義坐標(biāo)和廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)， （3分）代入拉格朗日方程的體系運(yùn)動(dòng)微分方程 （3分）一個(gè)質(zhì)量為的圓環(huán)，從一個(gè)傾斜角為的斜面上無(wú)滑動(dòng)地滾下來(lái)。試用拉格朗日方程求環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：力學(xué)體系有一個(gè)自由度。取環(huán)到斜面頂點(diǎn)的距離為廣義坐標(biāo)體系勢(shì)能為 （2分）體系的動(dòng)能 （2分）拉格朗日函數(shù) 分別

10、對(duì)廣義坐標(biāo)和廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)， （3分）代入拉格朗日方程的體系運(yùn)動(dòng)微分方程 （3分）質(zhì)量為的小環(huán)P，套在半徑為的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動(dòng)。如圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度繞圈上某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知體系的拉氏函數(shù)為式中為P與圓心的連線和通過(guò)O點(diǎn)的直徑間所夾的角。試用哈密頓正則方程求關(guān)于的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：體系拉格朗日函數(shù)為 （2分）由勒讓德變換得哈密頓函數(shù) （3分）代入正則方程得 （3分）整理得：即=常數(shù) （2分）試用保守系的拉格朗日方程求單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程并在小角度擺動(dòng)時(shí)解出該方程。解：取懸線和鉛垂線的夾角為廣義坐標(biāo)，則其動(dòng)能和勢(shì)能分別為 （2分）拉格朗日函數(shù)為 ， （2分）代如保守系的拉格朗日方程得 （2分）小角度擺動(dòng)時(shí)變?yōu)?（2分）其解為，其中為振幅，為初位相。 （2分）質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，被限制在水平固定的光滑直線上滑動(dòng)，另一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)用一長(zhǎng)為 的輕桿和相聯(lián)。此桿只能在通過(guò)固定直線的鉛直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)此二質(zhì)點(diǎn)只受重力作用。解答下列問(wèn)題： （1）若選和為廣義坐標(biāo)，則體系有沒(méi)有循環(huán)坐標(biāo)？