高中數(shù)學(xué)疑難問題⑤(高一下-數(shù)列壓軸題)

1、高中數(shù)學(xué)疑難問題一一高一下學(xué)期（數(shù)列壓軸題）1、已知數(shù)列色滿足 ai=a （a>0, awn+） , k ai+a2+an-pan-i=o,（pho, pht, nwn+）。（1）求血的通項公式；（2）若對任意kgn+,將務(wù)+, ak+2 9 a*從小到大排列后,均能構(gòu)成 等差數(shù)列，且公差是心，求p的值以及相應(yīng)的數(shù)列如。（必修5- 數(shù)列綜合一一c3級題）解：（1） vai+a2+an-pan+f0, ：n$2 時，ai+a2+ +an-1 -pa, =0, 兩式相減，得紐=少?。ㄐ?）,a, ppa-pa2=0,解得 a«2二若務(wù)+i是等差中項數(shù)列色從第2項起是公比是吐的等比數(shù)

2、列。又當(dāng)n=l時,（2）由（1）得此時色+產(chǎn)一3/-2)1, %2二一3°(-2)*, dk =%（一2嚴(yán)；若兔+2是等差中頊，則2ak+2 = am + ak+32 =圧+丄，此時該方p p + 1程無解，舍去;若力是等差中項，則2”心.說+ 2罟，解得3aa -rk+lz/ 二7 /79ar n2k2丿知32k2丿akuk+ uk+38i 2 j此時伽二-# = |時，弘二竺(2)若 s7, s5構(gòu)成等比數(shù)列，求m的值;綜上所述，*時，久二.(-2嚴(yán)；2、已知數(shù)列血中，前n項和h對任意nwn+有s刊陽+l-m (mer,mho, m)(1) 求證：匕是等比數(shù)列;(3) 求證：對

3、vmg (l,+oo) , s1+s2+s3+sn, s3n+l+s3n+2+s3n+3+s42s7n+1+s7n+2+s7n+3+-+s8n不能構(gòu)成等差數(shù)列。(必修5-數(shù)列綜合c3級題) 解：(1)當(dāng) n=l 時，ai=si=mai+l-m,又 mho,且 mhl, /.aflo當(dāng) n 22 時，snl=ma“_+lm, /. an =man _man_x, (m_l ) an -man_, 仏二旦ho。色是以1為首項，旦為公比的等比數(shù)列。m-m-(2) 由s3, s7, &構(gòu)成等差數(shù)列可知:2s7二s3+s5,2 (ma7+l-m)=(ma3+1 -m) + (ma5+l-m),又

4、 vmo,化簡得 2a7=a3+a5,令?=且,則時_g2_ = o,得宀或孑=_丄(舍去),.q二-1。fl m-2m =-1,解得加二丄。m -12(3) 假設(shè) si+s2+s：<+sn，s3n+l+s3n+2+s3n+3+sin，s7n+l+s7n+2+s7n+3+ - - +s8能構(gòu)成等差數(shù)列，則有 2 (s3n+l+s3n+2+s3n+3+s4n) = ( s+s2+s3+ * *+sn ) + (s7n+l+s7n+2+s7n+3+s8n)， /. 2 (ma3n+i+m-l+ma3n-2+nil+niain+ni-l)二(mai +m-1 +ma2+m-1+ +man+m_

5、 1) + ( mayn+i+m-1 +ma7n+2+ni_ 1+ +ma8n+m-1),化簡得 2m (s，ln_s3n) = msn +m (s8n_s7n), 又知(s4n_s3n)-q-3nsn 9(s81-s7n)二qdnsn，可得2%3沾“二g7沾“+sn,(*)而 m> 1, /.q> 1, sn>0o h l+q7n> 2yq > 2yq = 2q3n,(*)無解,假設(shè)錯誤。對 vme (l,+oo), s1+s2+s3+-+sn,s3n+l+s3n+2+s3n+3+ * * >+s4n， s7n+l+s7n+2+s7n+3+ * * ssn

6、 不能構(gòu)成等差數(shù)列。3、設(shè)數(shù)列%滿足2滬-仇+加+舟 =0 （ x er, nwn+）；等比數(shù)列 $的首項是b=2,公比是q （q是正整數(shù)）,且滿足3bs是8bi與的等差中項。（1）求數(shù)列血的通項公式;（2）試確定入的值，使得數(shù)列他是等差數(shù)列;（3）當(dāng)數(shù)列血是等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)k,在bk與bk+】之間插入色個2,得到一個新數(shù)列匕。設(shè)i；是數(shù)列©的前n項和,試求滿足 tra=2 cm+1的所有正整數(shù)m。（必修5-數(shù)列綜合一一c3級題）解：(1)6b3=8b+b“ 6qj8+q",解得孑二4 或 q2二2 (舍去)，則 q二2。又 vb=2, a bf=2(2) 在2n2

7、 -(a + an)n + an = 0 中,將 n二 1, 2, 3 分別代入，得 二2 入 -4, a2-16-4 入，a3=12-2 入，則由 ai+a3-2a2?得入二3。而當(dāng)入二3時，色二2n,由an+ -an =2知此時數(shù)列色是等差數(shù)列。(3) vci=c2=c3=2, /.易知不符合題意,m=2符合題意。當(dāng)m3時，若后添入的2等于陥|個，則一定不符合題意， 從而5+|必是數(shù)列%中的某一項昭|,則(2+22+23+-+2k) +2 (bi+b2+b3+-+bk) =2x2k+1,2x (21) +(2+2幻“ ><2=2x23 a2k+1-2k-2k+2=0, a2k=

8、k2+k-lo2易證21, 2, 3, 4不是該方程的解。而當(dāng)n$5時,2n>n2+n-l成立，證明如下： 當(dāng)n二5時，2m2, 疋+k-1二29,左邊右邊成立； 假設(shè) n=k 時，2k>k2+k-l 成立,當(dāng) n二k+1 時,2k，1>2k2+2k-2二(k+1) 2+ (k+1) -l+k-k-3 (k+1) 2+ (k+1) -l+5k-k-3 =(k+1) 2+ (k+1) -l+k+3 (k-1) > (k+1) 2+ (k+1) -1,當(dāng)n二k+1時，結(jié)論成立。由，可知，2n>n2+n-l在n25時恒 成立2匕疋+1<-1無正整數(shù)解。綜上，滿足題

9、意的止整數(shù)m僅有2。4、設(shè)數(shù)列的通項公式是an = pn + q (n£n+, p>0),數(shù)列饑定義如下：對于正整數(shù)叫乞是使得不等式色>m成立的所有n中的最小值。(1) 若 p二丄，q二一丄，求 bs；23(2) 若p二2, q=-l,求數(shù)列的前2n項和;(3) 是否存在p、q,使得4=3ni+2 (mwn+) ?若存在，求出p、q的取值范;若不存在，說明理由。(必修5-數(shù)列綜合一一c3級題)解：(1)由題意得匕，*寺3,解得空豐,取心7,b：汙7。(2)由題意得色二2n-1,對正整數(shù)m,市色上山得讓曲，根據(jù)乞的2 定義可知：當(dāng) m=2k-l 時，bfn =k；當(dāng) m二2

10、k 時，bm =k+1 (ken+),/ s2n=s 奇+s 偶二(1+2+3+m) + (2+3+4+m+l)_+ m(m + 3)1=i+2m。(3) 假設(shè)存在p、q滿足條件，由不等式m+ 宀及p>0得讓口。p也二3m+2 (mwnj ,由乞的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有3加+1 v 加一9 s3加+2 , 一2p-qw (3pt) m<-p-q 對任意的正整數(shù) mp都成立。當(dāng)時，得幾-翳或必-貂這與上述結(jié)論孑盾;當(dāng)3p-l=0,即p冷時,得-|-9<0<-|-,解得q出弓,符合題意。存在p、q,使得乞二3m+2 （men-）,此時p、q的取值范圍分別是5、設(shè)數(shù)

11、列的前n項和是3。若曇紐52 （nen+）,貝ij稱陽是25“緊密數(shù)列”。（1）若色的前n項和s冷（/?+3斤）（nenj ,證明他是“緊密數(shù)列”；（2）設(shè)%是公比是q的等比數(shù)列。若數(shù)列%和»都是“緊密數(shù)列”求q的取值范圍。（必修5-數(shù)列綜合一一c3級題）解：(1)證明：由數(shù)列%的前n項和sn=-(n2 + 3n) (nenj , 軒=1(x1)得色=411，an =-n + - os”-昭=. + ：(心 2)2 2lz lx 1(71 + 1) c匕+i_22 二斤+ 2 二|an 丄“ +丄 斤+ 1 農(nóng)+ 1 ° 2 2對任意 ne+, ov丄s丄，.-.i<

12、i+_l<2,n + 1 2n + 1 2lv如l = l +丄5亠丄5也s2,色是“緊密數(shù)列”。 an n + 122 an（2）由匕是公比是q的等比數(shù)列，得q二弘,是“緊密數(shù)列”，冷"52。當(dāng)q二1時，s嚴(yán)叫,弘=出 =1 +丄，丄51弘=山 =1 +丄s2,sn n n 2 sn n nq二1時，數(shù)列sj為“緊密數(shù)列”，q二1滿足題意。當(dāng)qhl時，s,嚴(yán)込心，則弘二凹二數(shù)列近為“緊密數(shù)l qsn -q列”，吟汁洋2對于任意心恒成立。（i）當(dāng)0i時,y一心in）, .£；）量對于任意ngn恒成立。tovq"wqvl, 0<2-1<1: q&q

13、uot;(2q l)vqvlq"(g-2) > q(g-2) -x4當(dāng)丄"vl時，/(2qt)°對于任意恒成立。2qq-2)>-l(ii )當(dāng) lvqs2 時，丄(q"-l)5g"7 5 2(g"-l),卩(2q-1丘1對于任意nenf恒成立。(9-2)<-1/ q'1 >q>y 2q-l>l, -1 v g-2 s 0 , .i_ ,解得g = l。又 tqq-2)<-l<q<2,此時qw0。綜上所述，q的取值范圍是,1 o6、數(shù)列色、bn > c滿足:hn = a

14、n -2an+l , cn = an+1 + 2an+2 -2 ,且 nen+o（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：如是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列”、c”都是等差數(shù)列，證明：a”從第2項起為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列仇是等差數(shù)列，試判斷ba.=q時，數(shù)列%是否成等 差數(shù)列？證明你的結(jié)論。（必修5-數(shù)列綜合一一c3級題）解：（1）設(shè)數(shù)列%的公差為d, / htt = an -2an+,： b申-bn = （an+ -2d“+2）-（a“一2an+） = （% _陽）+ 2（an+2 -ah+l） = d-2d = -d ,數(shù)列仇是公差為-d的等差數(shù)列。（2）當(dāng) n$2 時，c“_ = an + 2atj_ 2

15、 ,c_ 久 + c*_ bn+, + c »=%_2%+, 二 2+ ' a,+ =9+ '門_仇+i+q _乞+c心一仇+仇丄c”一c,i，加5-數(shù)列bn，cj都是等差數(shù)列，如匸如+上邑為常數(shù)，數(shù)列口從第2項起為等差數(shù)列。（3）解：bn = an -2an+l,勺+偽=0,令 n二i,有a -2a2 += 0, b沖=a”+i 一 2a葉2，b葉2 = an+2 - 2%+3 '2仇+ 仇-bn+2 = （2色+】一陽一a*）-2（2q“+2 -d”+i -色+3），t數(shù)列仇是等差數(shù)列，二2仇+ -仇-仇+2二0,（2陽+ 劣一匕+2）= 2（2色+2 一

16、色+1 一+3），a -2a2 + = 0 , /. 2atl+ -an -an+2 =0,數(shù)列°是等差數(shù)列。7、在數(shù)列%、/?“中，已知ai=0, 219 bi1,匕2二+,數(shù)列色的刖 n項和是sn,數(shù)列仇的前n項和是tn,且滿足sn + sw+i = n2 > 2tn+2=3tn+-tn （nwn+）。（1）求數(shù)列%、$的通項公式；（2）問是否存在實數(shù)m、n,使理±口>1 +紜+2成立？若存在，求出 t,nm（必修所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對5, n）；若不存在，說明理由。5-數(shù)列綜合一一c3級題）解：（1）.s” + s卄嚴(yán)幾當(dāng) n22 時，s”t+s”=（1

17、）2,兩式相減得an + an_x = 2/?-1，又.n=l時，亦有上述關(guān)系,/. an +a“_i二2斤-1對任意n wn+均成立。又.門22 時,有% +% =2/2-3，.-得4“+1仏1 =2 ,%的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成公差為2的等差數(shù)列。又 a.】二0, d.2= 19 cifl=n ov 27；+2=37；+1-7；, a 2tn+2-2tn+i=tn-tn, :. 2hn+1 =,又"二0時，亦存在上述關(guān)系，仇是公比為丄的等比數(shù)列，"v（2） 乜吋n-/曰2（1-缶）-加 得+i-1左=2（詩,.由容 >】+也21 +（2加）2 22m+i1 1 &g

18、t;r （2-加）2” 一 22曲 2w+, > 0 ,i （2 加）2" 2 > 0 ,且（2 加）2" 2 v 2m+l，: （2 -m）2n < 2/n+1 + 2 且（2加）2 >2,/.m<2 且 mwn+, m二,此時2"v2，+2 = 6, n二2。綜上，存在符合條件的有序?qū)崝?shù)對（m, n）為（1, 2） o8、已知兔=2 ,點（afl,an+l）在函數(shù)f（x） = x2+2x的圖像上，其中n wn+。（1）證明數(shù)列l(wèi)g（l +色）是等比數(shù)列；（2）設(shè)7>（1 +嗎）（1 +色）（1 +陽），求tn以及數(shù)列色的通項公式;（3）記仇=丄+亠，求數(shù)列傀的前n項和sn,并證明：s+亠=1。an 4+237；-1（必修5-數(shù)列綜合一一c3級題）解：(1)由題意得 d“+i =0：+2色，. d“