高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題解析方法探析

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題解析方法探析【摘要】在高中階段，我們不可避免的會(huì)學(xué)習(xí)立體 幾何，立體幾何作為我們高考中比較重要的一門(mén)學(xué)科。它與 向量運(yùn)算函數(shù)、解析幾何和三角運(yùn)算有著非常緊密的聯(lián)系， 同時(shí)它也是近年高中大大小小考試的新寵，但是它也是髙中 時(shí)期的一個(gè)難點(diǎn)，空間解析幾何這門(mén)學(xué)科中的線面關(guān)系和向 量運(yùn)算是立體幾何問(wèn)題解決的一個(gè)有利途徑?！娟P(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)立體幾何解析方法【中圖分類(lèi)號(hào)】g633.63【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】a【文章編號(hào)】 2095-3089 (2014) 02-0150-02夾角、距離、垂直、平行等是立體幾何中需要解決的核 心問(wèn)題。一般的解決立體幾何方法主要根據(jù)定理和概念、憑 借各種幾何圖形的

2、不同分割、利用邏輯思維對(duì)空間的理解作 為考查點(diǎn)，需要考生判斷它們的潛在意義。關(guān)系、指示代詞、 一詞多義也是各類(lèi)考試中?？汀Ｃ鎸?duì)這類(lèi)問(wèn)題我們要特別注 意關(guān)系和指示代詞的潛在意義。如碰到結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，那 我們更該注意其中的指示代詞。1利用函數(shù)思想解決立體幾何問(wèn)題所謂函數(shù)的思想，就是根據(jù)變化和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，鉆研和 分析立體幾何數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)之間的關(guān)系或是 構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)等價(jià)的圖形和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化為 待求問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。函數(shù)的思想其實(shí)就是對(duì)函數(shù)基本 概念的理解，用于指導(dǎo)學(xué)生解題，經(jīng)常利用函數(shù)的觀點(diǎn)觀察、 分析和解決問(wèn)題，會(huì)對(duì)學(xué)生遇到的幾何問(wèn)題有很大的提升， 使他們的邏輯思維能

3、力得到鍛煉；對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，函數(shù) 思想在幾何解析過(guò)程中的作用主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一 是在幾何問(wèn)題的分析中，通過(guò)建立函數(shù)之間的關(guān)系式或構(gòu)造 中間函數(shù)，把待解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分析相關(guān)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)， 達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的；二是利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，解函數(shù)值、 證明不等式、解方程以及分析相關(guān)參數(shù)的取值范圍等幾何或 是數(shù)學(xué)問(wèn)題。例題分析：如圖，pa垂直于圓0所在平面，ab是圓0 的直徑，c是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)zbac=?琢，pa=ab=2r,求 異面直線pb和ac的距離。分析：異面直線ac和pb之間的距離可以看成求直線pb 上任意一點(diǎn)到ac的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目 標(biāo)函數(shù)進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)的最小值

4、。解析：在pe上任取一點(diǎn)m,作md上ac于d, mh ± aib 于h,設(shè)mh二x,則mh丄平面abc, ac丄hd,md2=x2+ (2rx) sin ?琢2=(sin2 ?琢+1) x2-4rsin2?琢 x+4r2sin2?琢=(sin2 ?琢 +1 ) x-2rsin2 ?琢 /l+sin2 ?琢2+4rsin2?琢 x/l+sin2?琢即當(dāng)x=2rsin2?琢/l+sin2?琢?xí)r，md取最小值，為 兩異面直線的距離。對(duì)以上題型的分析：本題的思路是將立體幾何中的“兩 條異面直線之間的距離”轉(zhuǎn)化成“求兩條異面直線上兩點(diǎn) 之間距離的最小值”，并設(shè)定匹配的變量將幾何問(wèn)題變成代 數(shù)中

5、的"函數(shù)問(wèn)題”。一般而言，針對(duì)求最小值、最大值的 實(shí)際問(wèn)題，首先應(yīng)該將文字解釋轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)后，然后再 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和對(duì)用的函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的 性質(zhì)、重要的不等式和相關(guān)代數(shù)和幾何知識(shí)進(jìn)行解答。2.利用空間幾何思想解決立體幾何中平行與垂直的問(wèn) 題空間幾何圖形的平行關(guān)系有線與面平行、線與線平行、 面與面平行。可以分別轉(zhuǎn)化為向量平行、向量共面和垂直問(wèn) 題來(lái)解決。設(shè)平面？仔的法向量為,直線？的方向向量為， 兩直線？m和？n的方向向量為和。平面？仔1和？ 仔2的法向量為和,則上述問(wèn)題的向量之間的關(guān)系可以 表不為：?01/? 01?圳/?圳 kl, k£r （線線平行）；

6、?/?仔？圳丄=0,或與？仔內(nèi)的兩個(gè)相交向 量、共面。（線面平行）；?仔 1/?仔 2?圳/?圳 m2=kh, ker （面面平行）；空間幾何圖形的垂直關(guān)系有線與面垂直、線與線垂直、面與面垂直。我們可以分別把它們轉(zhuǎn)化為向量垂直和向量平 行問(wèn)題來(lái)解決。?丄？仔？圳/?圳二ker,且與？仔 內(nèi)的兩個(gè)相交向量、垂直。即 二0, 二0 （線面垂直）；?m丄？n?圳丄?圳 二0 （線線垂直）；?仔1丄？仔2?圳丄?圳 二0 （面面垂直）。3 利用空間幾何思想來(lái)分析空間圖形間的距離和夾角 二面角的平面角、立體幾何中的異面直線之間的夾角、 直線與相應(yīng)平面的夾角的確立在向量運(yùn)算中我們可以按照 下面的方法來(lái)分析。兩直線？m和？n的方向向量和的夾角（一般是 指銳角）叫做兩條直線的夾角。根據(jù)公式cos?茲