三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短(講義)

1、題目中出現(xiàn)時(shí)，考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短；截長(zhǎng)補(bǔ)短的作三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短(講義)>課前預(yù)習(xí)1.尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：(!)已知線段b (a>b),作一條線段，使它等于d+b(2)已知線段b (a>b)9作一條線段，使它等于A2.想一想，證一證已知：如圖，射線BM平分ZABC,點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)， PD丄BC于點(diǎn)D BD=AB+CD,過點(diǎn)P作PE丄BA于點(diǎn)E.求證：¾EPCD>知識(shí)點(diǎn)睛截長(zhǎng)補(bǔ)短：用是精講精練1. 已知：如圖，在AABC 中，Z1=Z2, ZB=2ZC. 求證：AC=AB+BD.EB2.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZB=90°,點(diǎn)E為

2、AB邊上一點(diǎn),且Z)E平分ZADC, CE 平分 ZBCD. 求證：CD=AD+BC.3.已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB9 ZB=ZD=ZBAD=90% E, F分別BC為CD, BC邊上的點(diǎn)，且ZEAF=45%連接EF 求證：EF=BF+DE.4.已知：如圖，在Z43C中，ZABC=60o, AABC的角平分線AZ CE交于點(diǎn)O.求證：AC=AE+CDBDEl5. 已知：如圖，在ZL4BC 中，ZA=90o, AB=AC9 BD 平分ZABC9 CE丄BD 交 BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.B求證：CE=LBDA【參考答案】課前預(yù)習(xí)1. 略2. 證明：如圖； BM 平分ZABC, PD丄B

3、C, PE丄BA PE=PD, Z PEB= Z PDB= Z PDC=90。 在 RtAPBE 和 RtAPBD 中,PE = PDPB = PBRtPBERtPBD (HL)BE=BD*： BE=AB+AEBD=AB+CD：.AE=CD在Z¾E 和ZPCD 中AE = CD< ZPEA = ZPDCPE = PD¾EPCD (SAS)知識(shí)點(diǎn)睛線段間的和差倍分；把兒條線段間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)為兩條線段的等量關(guān)系精講精練補(bǔ)短法：證明：如圖，延長(zhǎng)AB到&使BE=BD,連接DE.A ZE=Z3T ZABC是ABDE的一個(gè)外角 ZABC=ZE+Z3 ZABC=2 ZE.

4、ZABC=2 Z C：.ZE=ZC在DE 和>!/)C 中ZE = ZC<Z1 = Z2AD = AD AADE ADC (AAS) AE=A C：.AC=AB+BE=AB+BD截長(zhǎng)法：證明：如圖，在Ae上截取AF=AB9連接DF在ZVlBD和中AB = AF< Z1 = Z2AD = AD AABD AFD (SAS)：.B=ZAFD, BD=FD9： ZB=2ZC：.ZAFD=2 Z C. ZAFD是ZXDFC的一個(gè)外角 ZAFD=ZC+ZFDC：.ZFDC=ZC：.DF=FC：.BD=FC：.AC=AFFC=AB+BD2.證明：如圖，在DC上截取DF=DA,連接EF17

5、= ZDEJbFDE (SAS) ZA=ZDFE. ZA=ZB=90° ZDFE=ZCFE=ZB=90。在ACFE和ACBE中ZCFE = ZB< Z3 = Z4CE = CE： CEF竺CBE (AAS)CF=CB CD=DF+FC=AD+BCBG=DE,連接 AG.3. 證明：如圖，延長(zhǎng)M到G,. ZABC=ZD=90° ZABG=ZD=90°在AABG和ZADE中AB = AD< ZABG = ZDBG = DE AABG ADE (SAS),.Z3=Z2, AG=AE* ZBAD=Z +Z2+ZEAF=90°ZEAF=45°

6、.Z1+Z2=45oZl+Z3=45o即：ZGAF=ZEAF=45° 在ZE4F和AGAF中AE = AG< ZEAF = ZGAFAF = AFEAFGF (SAS)EF=GF EF=BG+BF=BF+DE4. 證明：如圖，在AC上截取AF=AE,連接OF.VAD, CE分別是AABC的角平分線Z1=Z2, Z3=Z4 在ZXAEO和AAFO中AE = AF< Z1 = Z2AO = AO AEO AFO (SAS)Z5=Z6 在ZVlBC 中，ZB=60。 .,.Zl+Z2+Z3+Z4=120o Z2+Z3=60o Z5是ZL4OC的一個(gè)外角.,.Z5=Z2+Z3=6

7、0o Z 8= Z 5=60°Z6=Z5=60oZ7=180o-Z5-Z6=60oZ7=Z8在ACFO和ACDO中Z3 = Z4CO = COZ7 = Z8： CFO空'CDO (ASA)CD=CF：.AC=AF-VCF5.證明：如圖，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于F.F=AE+CDTCE 丄 BD ZBEC=ZEEF=90。T BD 平分 ZABCZ1 = Z2 ZF=ZBCEBC=BF：.EF=EC=-CF2V ZBAC=90% ZBEC=90°Zl+Z4=90o, Z3+Z5=90° Z4=Z5.,.Z1=Z3Y ZBAC=90° ZBAD=ZC

8、AF=90° 在%£>和ZXCAF中Z1 = Z3< AB = ACZBAD = ZCAFBADCAF (ASA)：.BD=CF： CE=-CF2 CE= - BD2三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短（隨堂測(cè)試）6. 已知：如圖，在ZXABC 中，ZBAC=90°, ZC=45o, BD 平分ZABC 交 AC 于 點(diǎn)D.求證：BC=AB+AD.方法一：截長(zhǎng)方法二：補(bǔ)短【參考答案】1.截長(zhǎng)補(bǔ)短；過程書寫：方法一：截長(zhǎng)證明：如圖，在BCiL截取BE=AB,連接DE.T BD 平分 ZABC ZABD=ZEBD在ZXABD 和 ZXEBD 中，AB = EB< ZABD = ZEBDBD = BD：,'ABD竺EBD (SAS)：.AD=EDZBAD=ZBED. ZBAD=90° ZBED=90° ZBED是ZXDEC的一個(gè)外角 ZBED=ZEDC+ZC. ZC=45o ZEDC=90o-45o=45°： ZEDC=ZC EC=ED= AD BC=BE+EC=AB+AD方法二：補(bǔ)短證明：如圖，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E,使AE=AD.連接DE.VAE=AD ZE=ZADE ZBAD是ZE4D的一個(gè)外角：.ZBAD=ZE-ZADE=2 ZE ZE= - ZBAD=45&#