購(gòu)房貸款還貸方式的數(shù)學(xué)模型

1、購(gòu)房貸款還貸方式的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)在銀行所推行的等額本息還款的方式（即每月的還款額相同）償還貸款,與采用等額本金還款的方式（即每月還相同的本金）償還貸款,兩種方式對(duì)家庭收入逐年增加的情形并不適合。隨著工作經(jīng)歷的增長(zhǎng)，一般家庭收入也在增加。以逐年增加還款額的方式償還貸款可以又想縮短還款時(shí)間又不至于因縮短還款時(shí)間在最初幾年無法承受大數(shù)目的還款額造成經(jīng)濟(jì)緊張請(qǐng)給出下面給出幾種以逐年增加還款額償還貸款的方式供貸款的家庭選擇某家庭于2011年5月初貸款36萬元購(gòu)買一套房子，貸款(年)利率為6.12%，用10年的時(shí)間還清貸款。不同的貸款方案將會(huì)產(chǎn)生不同的效益，根據(jù)問題的要求，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答出不同情況下每

2、月還款額以及利息、還款的時(shí)間。問題如下：1. 等額本息還款的方式償還貸款；2. 等額本金還款的方式償還貸款；3 逐年以等比遞增本息的方式償還貸款，取每一年比上一年多還10%；4 逐年以等差遞增本息的方式償還貸款，取每一年比上一年多還20%；5 逐年以等比遞增本金的方式償還貸款，取每一年比上一年多還10%；6 逐年以等差遞增本金的方式償還貸款，取每一年比上一年多還20%；。針對(duì)以上6種求該家庭每月的還款額、總利息。比較各貸款方案的優(yōu)劣。解：（1）總貸款額 還款次數(shù) 還款月利率 月還款額第一個(gè)月的利息×第一個(gè)月的本金還款額第一個(gè)月的利息×第一個(gè)月剩余本金總貸款額第一個(gè)月本金還款

3、額（×）×（）第二個(gè)月的利息（×（）×第二個(gè)月的本金還款額第二個(gè)月的利息（×（）×第二個(gè)月剩余本金第一個(gè)月剩余本金第二個(gè)月本金還款額×（）（×（）×）×（）（×（）××（）×（）（）××（）（）×，第三個(gè)月的利息第二個(gè)月剩余本金×月利率第三個(gè)月的利息（×（）（）×）×第三個(gè)月的本金還款額第三個(gè)月的利息（×（）（）×）×第三個(gè)月剩余本金第二個(gè)月剩余本金第三個(gè)月

4、的本金還款額×（）（）×（×（）（）×）×）×（）（）×（×（）×（）×）×）×（）×（）（）××（）×（）（）×（）×上式可以分成兩個(gè)部分第一部分：×（）第二部分：（）×（）××（）（）通過對(duì)前三個(gè)月的剩余本金公式進(jìn)行總結(jié)，我們可以看到其中的規(guī)律：剩余本金中的第一部分總貸款額×（月利率）的次方，（其中還款月數(shù)）剩余本金中的第二部分是一個(gè)等比數(shù)列，以（月利率）為比例系

5、數(shù)，月還款額為常數(shù)系數(shù)，項(xiàng)數(shù)為還款月數(shù)。推廣到任意月份：第月的剩余本金×（）×（為（）的等比數(shù)列的前項(xiàng)和）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：（）（）可以得出××（）（）×（）所以，第月的剩余本金×（）×（） 由于最后一個(gè)月本金將全部還完，所以當(dāng)?shù)扔谶€款次數(shù)時(shí)，剩余本金為零。設(shè)（還款次數(shù)）剩余本金×（）×（）從而得出月還款額：××（）÷（）所以：當(dāng)A=36萬元，B=120個(gè)月，C=6.12%/12=0.51% ，可得X= 4018.47，還款總額=482215.99，總利息= 1222

6、16.00 （2）當(dāng)月本金還款=總貸款數(shù)÷還款次數(shù) 當(dāng)月利息=上月剩余本金×月利率=總貸款數(shù)×（1（還款月數(shù)-1）÷還款次數(shù)）×月利率每月還款=當(dāng)月利息+當(dāng)月本金，用C+可以算出每月的還款數(shù)：#include<stdio.h>#include<math.h>void main()double x,s=0,d;int i=1;do x=360000*0.0051-(360000*i-360000)/120*0.0051+3000;printf("第%d個(gè)月還款總額：%6.2fn",i,x);s=s+x;

7、i+;d=s-360000;while(i<=120);printf("還款總額：%7.2f%n總利息：%7.2fn",s,d); （3）：?jiǎn)挝唬ㄔ┛傎J款額 還款月利率 把10年時(shí)間分為10個(gè)期數(shù)，月還款額第一期為X1、第二期為X2其中X2=（1+0.1）*X1,X3=（1+0.1）*X2根據(jù)（1）可知：第月的剩余本金×（）×（）可一得出第一個(gè)期數(shù)的剩余本金為：×（）12×（）12）第二期的第一個(gè)月的剩余本金=第一期的剩余本金第二期第一個(gè)月的本金還款額第二期的第一個(gè)月的本金還款額=2第二期的第一個(gè)月的利息第二期的第一個(gè)月的利息

8、=第一期的剩余本金×月利率可以得出第二期的第一個(gè)月的剩余本金= 第一期的剩余本金*（1+C）-X2第二期的第二個(gè)月的剩余本金=（第一期的剩余本金（1+C）-X）*（1+C）-X2以此類推：第二期的剩余本金=第一期的剩余本金（1+C）12-X2（1+C）12-1）/C一次類推：最后一期的剩余本金=第九期剩余本金（1+C）12-X10（1+C）12-1）/C由于最后一個(gè)月本金將全部還完，剩余本金為零?？梢杂蒑ATLAB算出第一個(gè)月的還款值：F=(x)360000*(1+0.0051)120-(x*(1+0.0051)120-x*(1+0.0051)108)/0.0051-(x*(1+0.

9、0051)108*(1+0.1)- x *(1+0.1) *(1+0.0051)96)/0.0051-(x*(1+0.0051)96*(1+0.1)2- x *(1+0.1)2 * (1+0.0051)84)/0.0051-(x*(1+0.0051)84*(1+0.1)3- x *(1+0.1) 3* (1+0.0051)72)/0.0051-(x*(1+0.0051)72*(1+0.1)4- x *(1+0.1)4 * (1+0.0051)60)/0.0051-(x*(1+0.0051)60*(1+0.1)5- x *(1+0.1)5 * (1+0.0051)48)/0.0051-(x*(1

10、+0.0051)48*(1+0.1)6- x *(1+0.1) 6* (1+0.0051)36)/0.0051-(x*(1+0.0051)36*(1+0.1)7- x *(1+0.1) 7* (1+0.0051)24)/0.0051-(x*(1+0.0051)24*(1+0.1)8- x *(1+0.1) 8* (1+0.0051)12)/0.0051-(x*(1+0.0051)12*(1+0.1)9-x*(1+0.1)9)/0.0051； x=fzero(F,10) x =2.6445e+003 第1期為2644.5元所以第2期為X2=X1*（1+0.1）=2908.98第3期為3199.8

11、8，第4期為3519.87第5期為3871.86, 第6期為4259.04, 第7期為4684.95第8期為5153.44, 第9期為5668.78, 第10期為6235.66還款總額為2644.53*12+2908.98*12+3199.88*12.=467365.32還款利息=467365.32-360000=107365.32（4）第1期為X，第2期為1.2X，第3期為1.4X第10期為2.8X，根據(jù)第（3）和MATLAB可得：F=(x)360000*(1+0.0051)120-(x*(1+0.0051)120-x*(1+0.0051)108)/0.0051-(x*(1+0.0051)1

12、08*(1+0.2)- x *(1+0.2) *(1+0.0051)96)/0.0051-(x*(1+0.0051)96*(1+0.4)- x *(1+0.4) * (1+0.0051)84)/0.0051-(x*(1+0.0051)84*(1+0.6)- x *(1+0.6) * (1+0.0051)72)/0.0051-(x*(1+0.0051)72*(1+0.8)- x *(1+0.8) * (1+0.0051)60)/0.0051-(x*(1+0.0051)60*(1+1)- x *(1+1) * (1+0.0051)48)/0.0051-(x*(1+0.0051)48*(1+1.2)- x *(1+1.2) * (1+0.0051)36)/0.0051-(x*(1+0.0051)36*(1+1.4)- x *(1+1.4) * (1+0.0051)24)/0.0051-(x*(1+0.0051)24*(1+1.6)- x *(1+1.6) * (1+0.0051)12)/0.0051-(x*(1+0.0051)12*(1+1.8)-x*(1+1.8)/0.0051;> x=fzero(F,10) x =2.2326e