§54平面向量的綜合應(yīng)用

1、§ 5.4平面向量的綜合應(yīng)用考情考向分析 主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題，求參數(shù)范圍、最值等問題是考查的熱點(diǎn)，一般以填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題 .1. 向量在平面幾何中的應(yīng)用(1) 用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識線平行、點(diǎn)共線等問題共線向量定理垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)夾角問題數(shù)量積的定義長度問題數(shù)量積的定義公式表示a b? ab? x1y2 x2y1 0，其中 a ( x1，y1) ，b ( x2，y2) ，b 0a b? a·b 0? x1 x2 y1y2 0，其中 a ( x1， y1)

2、， b ( x2， y2) ，且 a，b 為非零向量a· bcos | a| b| ( 為向量 a， b的夾角 ) ，其中 a， b 為非零向量| a| a2x2y2，其中 a ( x，y) ， a 為非零向量(2) 用向量方法解決平面幾何問題的步驟：設(shè)向量運(yùn)算還原平面幾何問題 向量問題 解決向量問題 解決幾何問題.2. 向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述. 它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體 .3. 向量與相關(guān)知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)( 三角函數(shù) )

3、、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題.知識拓展1. 若 G是 ABC的重心，則 GA GBGC 0.2. 若直線 l 的方程為 Ax By C0，則向量 ( A，B) 與直線 l 垂直，向量 ( B，A) 與直線 l 平行 .題組一思考辨析1. 判斷下列結(jié)論是否正確 ( 請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;” ) )(1) 若AB AC，則 A， B， C三點(diǎn)共線 .(2)在中，若· <0，則為鈍角三角形 .(×)ABCAB BCABC(3)若平面四邊形 .()ABCD滿足 AB CD 0，( AB AD) ·AC 0，則該

4、四邊形一定是菱形(4)x 2y 4 0.()設(shè)定點(diǎn) A(1,2) 與動(dòng)點(diǎn) P( x，y) 滿足 OP· OA 4，則點(diǎn) P的軌跡方程是(5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)( 2， 1)， (0 ，10) ， (8,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足：ABCOP ) OAt ( AB AC) ， t R，則點(diǎn) P 的軌跡方程是 x y 10.(題組二教材改編2.P89習(xí)題 T10 已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,4)， (5,2)， ( 1， 4) ，則該ABCABC三角形為 _三角形 .答案直角解析(2 ， 2) ，( 4， 8) ，( 6， 6) ，ABACBC22)2 2 1664 45，| A

5、B|2 (2， | AC| | 363662，BC |222AB| BC| |AC| ， ABC為直角三角形 .3.P93習(xí)題 T7若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足( ) ·(2) 0，則ABCOB OCOB OC OAABC為_三角形 .答案等腰解析 ，OB OC CB AB ACOB OC2OA ( OB OA) ( OC OA) AB AC，由已知 ·( OB OC)( OB OC 2OA) 0，得( ABAC) ·( ABAC) 0，即 ( AB AC) ( AB AC). ABC為等腰三角形 .題組三易錯(cuò)自糾4. 在中，已知 (2,3)，(1 ，) ，且的一

6、個(gè)內(nèi)角為直角，則實(shí)數(shù)k的值為ABCABACkABC_.2113±13答案3或 3或2解析若 A90°，則有 AB· AC0，即 2 3k 0，2解得 k 3；若 B 90°，則有 AB·BC 0，因?yàn)?BC AC AB ( 1， k 3) ，11所以2 3( k3) 0，解得 k 3 ；若 C 0，90°，則有 AC·BC 0，即 1 k( k 3)解得 k3± 13.22113±13綜上所述， k 或或.3325. 在四邊形中， (1,2) ， ( 4,2) ，則該四邊形的面積為 _.ABCDACBD答

7、案5解析依題意得 AC· BD1× ( 4) 2× 2 0，所以 ，所以四邊形的面積為ACBDABCD1| ·|1| × 5× 205.2ACBD 26.(2017 ·江蘇南通中學(xué)月考 ) 已知向量 a， b 滿足 | a| 1，| b| 2，且 ( a b) a，則 a 與 b 的夾角為 _.答案120°解析設(shè) a 與 b 的夾角為，則0° 180°，由題意，得2(ab)·a0，a a·b1 1× 2cos0， cos1 2， 120°.題型一向量在平面

8、幾何中的應(yīng)用典例 (1)在平行四邊形ABCD中， AD 1， BAD 60°， E 為 CD的中點(diǎn) . 若 AC· BE 1，則 AB _.答案12解析在平行四邊形中，取的中點(diǎn)，ABCDABF則， 1，BEFDBE FDAD2AB又 AC AD AB，·()·1AD ABAC BEAD AB221· · 12AD2AD AB AD AB2AB2112| AD| 2| AD|AB|cos 60° 2| AB|1 112 12× 2| AB| 2| AB| 1.11. |AB|AB|0，又 |AB|0， | AB| 2

9、2(2)已知 O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P 滿足 OP OA( ) ， (0 ， ) ，則點(diǎn)P的軌跡一定通過的_.AB ACABC答案重心解析由原等式， 得 OPOA ( AB AC) ，即 AP ( ABAC) ，根據(jù)平行四邊形法則， 知 AB 是的中線(為的中點(diǎn) ) 所對應(yīng)向量 的 2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過的重ACABCAD DBCADABC心 .引申探究本例 (2)中，若動(dòng)點(diǎn)P滿足 ABAC， (0 ， ) ，則點(diǎn)P的軌跡一定通OP OA| AB| AC|過 ABC的 _.答案內(nèi)心 ABACABACABAC解析由條件，得 OP OA | |，即 AP

10、| | | |，而 和 分別表ABACABAC| AB| AC| ， 的單位向量，故，即 示平行于AB AC 平分平分，所以點(diǎn)P的軌跡必AB ACBACAPBAC| AB| AC|過 ABC的內(nèi)心 .思維升華向量與平面幾何綜合問題的解法(1) 坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.(2) 基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解 . ABACABAC 1跟蹤訓(xùn)練 (1)在 ABC 中，已知向量 AB與 AC滿足 ·BC 0，且 · 2，|

11、 AB| AC| AB|AC|則 ABC為 _三角形 .答案等邊 ABACABAC解析 ， 分別為平行于 AB， AC的單位向量，由平行四邊形法則可知為| AB| AC| AB| AC|BAC的平分線 . 因?yàn)锳BACAB AC.· BC 0，所以 BAC的平分線垂直于 BC，所以|AB|AC|11ABACABAC又 · | |·cos BAC2，所以 cos BAC 2，又 0< BAC<，故 BAC| AB| AC|ABAC 3 ，所以 ABC為等邊三角形 .(2) 如圖，在平行四邊形 ABCD中， AB 1，AD 2，點(diǎn) E， F， G， H分別

12、是 AB， BC，CD， AD邊上的中點(diǎn)，則 EF· FG GH· HE _.答案32解析取 HF中點(diǎn) O，22則 EF·FG EF·EH EO OH 1 1 23，2422GH· HE GH· GFGO OH 1 1 23，24 3因此 EF· FG GH· HE 2.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用典例 (1)，k) ，且 A，B，C三點(diǎn)共線，當(dāng)k<0 時(shí)，已知向量 OA ( k, 12)，OB (4,5)，OC (10若 k 為直線的斜率，則過點(diǎn) (2 ， 1) 的直線方程為 _.答案2x y 3 0解析

13、k，7) ， AB OB OA (4 (6 ，5) ，且 ，BC OCOBkABBC (4 k)( k 5) 6× 70，解得 k 2 或 k 11.由 k<0 可知 k 2，則過點(diǎn) (2 ， 1) 且斜率為 2 的直線方程為y 1 2( x2) ，即 2xy 3 0.x2y2(2) 若點(diǎn) O和點(diǎn) F 分別為橢圓4 3 1 的中心和左焦點(diǎn)， 點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)， 則 OP·FP的最大值為 _.答案6解析由題意，得F( 1,0)，設(shè) P( x0， y0) ，222x0y02x0則有 4 3 1，解得 y0 314 ，因?yàn)?(x0 1，0) ， (x0，y0) ，

14、FPyOP22 00220x0x00 y0 x0310x所以 OP· FP x ( x 1)x44 x 3，對應(yīng)的拋物線的對稱軸方程為22 2，因?yàn)?2 x0 2，故當(dāng) x02 時(shí)， OP·FP取得最大值4236.思維升華向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用(1) 載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題 .(2) 工具作用：利用 ab? a·b 0( a， b 為非零向量 ) ， a b? a b( b 0) ，可解決垂直、

15、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法 .跟蹤訓(xùn)練 (1)在平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l ：x ky 1 0 與圓 C： x2 y2 4相交于，兩點(diǎn)， ，若點(diǎn)在圓C上，則實(shí)數(shù)k_.A BOM OA OBM答案0解析 設(shè) AB的中點(diǎn)為 D，則有 OM OA OB2OD，|2| 2(R為圓C的半徑)，OMOD R| OD| 1.|0 0 1|由點(diǎn)到直線的距離公式，得1，解得 k 0.2k 12x2(2)(2017 ·江蘇灌云中學(xué)質(zhì)檢) 設(shè) F1， F2 為橢圓 y 1 的左、右焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于 P，

16、 Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PFQF面積最大時(shí)， PF· PF的值為 _.1212答案 2解析由題意得 ca2 b2 3，又 S四邊形 2S PFF1PF1QF2 2× × F1F2· h( h 為 P 點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值) ，1 22所以當(dāng) h b 1 時(shí)， S四邊形PF1QF2 取得最大值，此時(shí) | PF1| |PF2| 2，且 F1PF2 120° .°所以 PF·PF | PF|PF| · cos 12012121 2×2× 2 2.題型三向量的其他應(yīng)用命題點(diǎn) 1向量在不等式中的應(yīng)用典例 已知在 R

17、t 9， ABC 6， 為線段上的點(diǎn)，且CA中， 90°， ··ABCCABACSPABCP x| CA|CB y· ，則 xy 的最大值為 _.| CB|答案3解析在 Rt ABC中，由 AB· AC 9，得 AB· AC·cos A 9，由面積為6，得 AB· AC·sinA12，4由以上兩式解得tanA 3，43所以 sinA 5， cos A 5，所以 AB· AC 15，所以 AB 5， AC 3， BC 4.xy又 P 為線段 AB上的點(diǎn)，且 CP 3·CA 4·

18、CB，xyxy故 34 1 23· 4，即 xy 3，當(dāng)且僅當(dāng) x13y ，即 x， y 2 時(shí)取等號 .3422命題點(diǎn) 2向量在解三角形中的應(yīng)用典例 在中，角， ，C的對邊分別是a， ，若 20 1512 0，則ABCABCABb caBC bCAcAB最小角的正弦值等于_.答案35解析 20 1512 0，aBCbCAcAB 20a( AC AB)15bCA 12cAB 0， (20 a15b) AC (12 c20a) AB0，與不共線，AC AB420 15 0，b 3a，ab解得 ABC最小角為角 A，12c 20a0，5c 3a，1622522b2 c2a29 a 9 a

19、 a4 cosA2bc2× 4a×5a 5，33 sin3A .5跟蹤訓(xùn)練(1)函數(shù)y sin() 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，分別是最高點(diǎn)、最x M N低點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 OM· ON 0，則函數(shù) f ( x) 的最小正周期是 _.答案31解析由圖象可知， M 2， 1 ， N( xN， 1) ，1， 1N1 N所以 OM· ON 2·(x ， 1) 2x 1 0，解得 xN 2，所以函數(shù) f ( x) 的最小正周期是 2×122 3.(2) 如圖，在矩形 ABCD中， AB2，AD 1，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 DC，BC邊上的動(dòng)

20、點(diǎn)，且滿足EF 1，則 AE· AF的最大值為 _.答案41解析取 EF的中點(diǎn) M，則 M點(diǎn)的軌跡是以C點(diǎn)為圓心， 2為半徑的圓的四分之一( 在矩形內(nèi)的四分之一 ) ， 2222而 ·( AEAF) ( AE AF) 4AM FE 21 221 21 4，AE AF44AM424當(dāng)且僅當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)， (· ) max 4.MBCAEAF1. 在中， ( ) ·|2，則的形狀一定是 _三角形 .ABCBCBAACACABC答案直角解析2由 ( BCBA) · AC |AC|，得 0，·( )ACBCBAAC即 AC·(BC B

21、ACA) 0,2 AC· BA 0， ACBA， A90° .又根據(jù)已知條件不能得到 | |，ABAC故 ABC一定是直角三角形 .2. 已知向量 m (1 ，cos ) ，n (sin ， 2) ，且 mn，則 sin 2 6cos2 的值為 _.答案2解析由題意可得 m·nsin 2cos 0，22sincos 6cos2 則 tan 2，所以 sin 2 6cos sin 2cos 22tan 62. tan2 1 11S3. 在 ABC中， D為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AD AB AC，則 BCDS _.32 ABD答案13解析如圖， 由已知得點(diǎn) D在

22、ABC中與 AB平行的中位線上， 且在靠近 BC邊的三等分點(diǎn)處，從而有S ABD21S ABC， S ACD 31S ABC，S111，23 S 6SBCD1ABC ABCS1所以 BCDS .3 ABD4.(2017 ·江蘇如皋中學(xué)月考 ) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 (3 ， 1) ， (0,2)，若OAOB 的值為 _.OC AB， AC OB，則實(shí)數(shù)答案2解析在平面直角坐標(biāo)系xOy中，(3， 1)，OA，OB (0,2)， AB ( 3,3)設(shè) C( x， y) ，則 AC ( x 3， y 1) ， OCAB， AC OB， 3x 3y 0， ( x 3，y 1) (0

23、,2 ) ，x 3 0， y 1 2，解得x ，2.y3x y，x2y25. 已知 F1，F(xiàn)2 分別為橢圓 C： 9 8 1 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) E是橢圓 C上的動(dòng)點(diǎn)，則 EF1· EF2的最大值、最小值分別為_.答案8,7解析由題意可知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F ( 1,0)， F (1,0) ，設(shè) E( x， y)( 3 x122221 88 23) ，則 EF ( 1 x， y) ，EF (1 x， y) ，所以 EF·EF x 1y x9x1212x29 7，所以當(dāng) x 0 時(shí)， EF1· EF2有最小值7，當(dāng) x±3時(shí)， EF1·EF

24、2有最大值 8.22cos x 16. 若直線 ax y 0( a 0) 與函數(shù) f ( x) 2 x 的圖象交于不同的兩點(diǎn) A，B，且點(diǎn) C(6,0) ， ln 2 x若點(diǎn)( ，) 滿足 ，則 _.D m nDA DB CDm n答案22cos 2( x) 12cos 2x 1解析因?yàn)?f ( x) 2 x2 x f ( x) ，且直線 ax y0 過坐標(biāo)原點(diǎn)，ln2 xln2 x所以直線與函數(shù)2cos 2x 1ABAf ( x) 2 x 的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)A， B 關(guān)于原點(diǎn)對稱，即 x x 0，y ln2 xBAABB xAy 0，又 DA( x m， y n) ，DB ( x m， y n)，CD ( m 6， n) ，由 DA DB CD，得 m xB m m6， yA n yBn n，解得 m 2，n 0，所以 m n 2.7. 在菱形 ABCD中，若 AC4，則 CA· AB _.答案 8解析設(shè) CAB ， AB BC a，由余弦定理得a2 16 a2 8acos ， acos 2， CA·AB 4× a× cos( ) 4acos 8.8. 已知 | a| 2| b| ，| b| 0，且關(guān)于 x 的方程 x2 | a| x a·b0 有兩個(gè)相等的實(shí)根，則向量a 與 b 的