高中數(shù)學圓錐曲線橢圓教案蘇教版選修

1、 橢圓【學習目標】1. 掌握橢圓的標準方程，會求橢圓的標準方程；2. 掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題；3. 了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。B級要求【自學評價】1.橢圓的定義與方程橢圓定義：2橢圓的標準方程：焦點在x軸上的方程：，焦點在y軸上的方程：3橢圓的簡單幾何性質(zhì)：方程圖像焦點范圍對稱性頂點長短軸準線離心率 4平面內(nèi)有兩定點A、B及動點P，設(shè)命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點P的軌跡是以AB為焦點的橢圓”，那么甲是乙成立的 （填“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，非充分非必要條件”之一）。5已知橢圓

2、過點(3,0),則橢圓的標準方程為 。6橢圓的長軸長為4，橢圓中心到其準線的距離為，則橢圓的標準方程為 。7如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是 。【真題解析】(2008·江蘇卷) 在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 本題主要考查過圓外一點圓的切線知識、橢圓的離心率，考查運算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力。【精題演練】 例1. 求下列橢圓的標準方程（1）已知橢圓的焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過。（2）與橢圓有相同焦點，且過點。（3）橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為。

3、說明根據(jù)已知條件求橢圓方程時，有以下步驟：（1）定位，有條件確定中心，焦點所在坐標軸（即長軸所在坐標軸），從而確定所求方程為橢圓的標準方程，如無法確定焦點所在的坐標軸，要分焦點在軸上和焦點在軸上兩種情況討論；（2）當根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后，要設(shè)法建立基本量， ，的方程組，然后求出基本量。例2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求的值。 說明1橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況，靈活運用三角形的特殊關(guān)系。2有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。例 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個焦點, 橢圓上存在一點

4、P，使得PF1PF2,求離心率的范圍。點撥： |PF1|，|PF2|為橢圓的焦半徑公式，如能恰當?shù)倪\用，常能簡捷地使問題獲解。例 4. 在平面直角坐標系中，已知圓心在直線上，半徑為的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。（1）求圓C的方程；（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足，求點P的坐標。 說明 1橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動向。2有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。例5. 已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B過F、B、C作P，其中圓心P的坐標為（m，n）（1）當mn>0時，求橢圓離心率的范圍；（2）直線

5、AB與P能否相切？證明你的結(jié)論 說明 1此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識，要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構(gòu)造關(guān)于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍2第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與P相切，則有AB2AF×AC，易由橢圓中的關(guān)系推出矛盾【要點整合】1. 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遺忘定位確定焦點所在坐標軸。2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì)，深刻理解橢圓中幾何量、等之間的關(guān)系并應(yīng)用于解題。3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)

6、化為關(guān)于（或)的一元二次方程，設(shè)出交點坐標，借助根與系數(shù)的關(guān)系進行整體化簡；對于中點弦及對稱問題運用“點差法”可減少運算量。4.橢圓的兩個定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地，遇到動點到兩頂點的距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第一定義；遇到一個動點到一定直線距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第二定義。 5友情提醒：（1）運用橢圓定義時注意橢圓第一定義的限制條件（兩定點間的距離小于定長）。（2）橢圓的標準方程有兩種情形，要防止遺漏。（3）討論直線與橢圓相交時，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，通過圖形的直觀性的幫助解題，最后要檢驗橢圓是否與直線相交。橢圓【學習目標】1. 掌握橢圓的標準方程，會求橢圓的標準方程；2. 掌握橢圓

7、的簡單幾何性質(zhì)，能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題；3. 了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。B級要求【自學評價】1.橢圓的定義與方程橢圓定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長2a（2a|F1F2|）的點的軌跡。平面內(nèi)到定點F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（e（0，1）的點的軌跡。2橢圓的標準方程：焦點在x軸上的方程：，焦點在y軸上的方程：（ab0）。3橢圓的簡單幾何性質(zhì)：方程圖像焦點 范圍 對稱性橢圓關(guān)于y軸、x軸和原點都對稱頂點 長短軸長軸: A1A2 長軸長 短軸：B1B2短軸長 準線離心率 4平面內(nèi)有兩定點A、B及動點P，設(shè)命題甲是

8、：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點P的軌跡是以AB為焦點的橢圓”，那么甲是乙成立的必要不充分條件（填“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，非充分非必要條件”之一）。5已知橢圓過點(3,0),則橢圓的標準方程為 或 。6橢圓的長軸長為4，橢圓中心到其準線的距離為，則橢圓的標準方程為或。7如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是0k1?！菊骖}解析】(2008·江蘇卷) 在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 本題主要考查過圓外一點圓的切線知識、橢圓的離心率，考查運算求解能力、

9、數(shù)形結(jié)合能力?！窘狻吭O(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以O(shè)AP 是等腰直角三角形，故，解得。答案：【精題演練】 1. 求下列橢圓的標準方程（1）已知橢圓的焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過。（2）與橢圓有相同焦點，且過點。（3）橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為。解：（1）當焦點在軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為（），又M(3,2)在橢圓上，由題意，得 ，橢圓的標準方程為當焦點在軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為（），又M(3,2)在橢圓上，由題意，得 ，橢圓的標準方程為綜上述橢圓的標準方程為或。（2）橢圓的焦點為 ， 設(shè)所求橢圓的標準方程為（），由題意，得 ， 橢圓的標

10、準方程為（3）由題意，設(shè)AB的直線方程為，根據(jù)題意，得橢圓的標準方程為說明根據(jù)已知條件求橢圓方程時，有以下步驟：（1）定位，有條件確定中心，焦點所在坐標軸（即長軸所在坐標軸），從而確定所求方程為橢圓的標準方程，如無法確定焦點所在的坐標軸，要分焦點在軸上和焦點在軸上兩種情況討論；（2）當根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后，要設(shè)法建立基本量， ，的方程組，然后求出基本量。 2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求的值。解：法一：當PF2F1900時，由題意，得，又|PF1|>|PF2| ，當F1PF2900時，同理

11、求得|PF1|4，|PF2|2法二：當PF2F1900時， F2坐標為（，0）， P（） |PF2|， |PF1|2-|PF2|當F1PF2900，設(shè)P()，由題意，得 P（），又|PF1|>|PF2| P（），4，2 說明1橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況，靈活運用三角形的特殊關(guān)系。2有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個焦點, 橢圓上存在一點P，使得PF1PF2,求離心率的范圍。解：設(shè)P()，則F1（-，0），F(xiàn)2（，0），又PF1PF2-1 ，又點撥： |PF1|，|PF2|為橢圓的焦半徑公式，如能恰當?shù)倪\用，常能簡捷地使問題獲解。 4.

12、在平面直角坐標系中，已知圓心在直線上，半徑為的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。（1）求圓C的方程；（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足，求點P的坐標。解：（1）由已知可設(shè)圓心坐標為，得，所以圓心坐標為，所以圓的方程為（2）設(shè)，由已知得，則， 解之得： 說明 1橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動向。2有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。5. 已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B過F、B、C作P，其中圓心P的坐標為（m，n）（1）當mn>0時，求橢圓離心率的范圍；（2）直線AB與P能否相切？證明你的結(jié)論 解：（

13、1）設(shè)F、B、C的坐標分別為（c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為，聯(lián)立方程組，解出，即，即（1b）（bc）>0， b>c 從而即有，又， （2）直線AB與P不能相切由，如果直線AB與P相切，則·1解出c0或2，與0c1矛盾，所以直線AB與P不能相切 說明 1此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識，要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構(gòu)造關(guān)于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍2第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與P相切，則有AB2AF×AC，易由橢圓中的關(guān)系推出矛盾【要點整合

14、】1. 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲，不能遺忘定位確定焦點所在坐標軸。2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì)，深刻理解橢圓中幾何量、等之間的關(guān)系并應(yīng)用于解題。3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于（或)的一元二次方程，設(shè)出交點坐標，借助根與系數(shù)的關(guān)系進行整體化簡；對于中點弦及對稱問題運用“點差法”可減少運算量。4.橢圓的兩個定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地，遇到動點到兩頂點的距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第一定義；遇到一個動點到一定直線距離問題，應(yīng)聯(lián)想橢圓第二定義。 5友情提醒：（1）運用橢圓定義時注意橢圓第一定義的限

15、制條件（兩定點間的距離小于定長）。（2）橢圓的標準方程有兩種情形，要防止遺漏。（3）討論直線與橢圓相交時，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，通過圖形的直觀性的幫助解題，最后要檢驗橢圓是否與直線相交?！灸芰μ嵘?. 已知橢圓上有一點P到右焦點的距離是5，則它到左準線的距離為4。2若橢圓的離心率，則值或。 3（書本P28習題3改編）已知為橢圓的兩個焦點，過作橢圓的弦AB，若的周長為16，橢圓的離心率為，則橢圓的方程為。 4橢圓=1的一個焦點為F1，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是。5若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為。6以橢圓的左焦點為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左

16、準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是。7（書本P32練習5改編）已知橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個等邊三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，求橢圓的方程。解：由題意設(shè)橢圓的半長軸為，半短軸為，半焦距為 橢圓的標準方程為或8 橢圓的焦點為F1,F2，點P為其上的動點，當F1PF2為鈍角時，求P點橫坐標的取值范圍。 解：由題意得，設(shè)P到左焦點F1的距離為，P到右焦點F2的距離為，P()-(-),|PF1|同理得|PF2|又F1PF2為鈍角cosF1PF209（書本P297改編）已知定點A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與

17、直線PB交于點M，當P在圓周上運動時點M的軌跡記為曲線C建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線。PABMl··Oxy解：以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為軸建立平面直角坐標系（如圖），則A(1,0)，B(1,0).設(shè)M(),由題意，得|MP|MA|, |BP|， |MB|+|MA|曲線C是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓，  其方程為10在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且OC=1，OA=a+1(a>1)，點D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以O(shè)D、OC為長、短半軸的橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=x+b與橢圓弧相切，與OA交于點E.（1）求證：；（2）設(shè)直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求直線l的方程；（3）在（2）的條