高二下學(xué)期空間角及距離測試題

1、必修二復(fù)習(xí)提綱（含練習(xí)）一幾何體的認識1. 棱柱:兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體稱為棱柱2. 棱錐: 有一面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐3. 棱臺: 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺1.有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？分析：如圖18所示，此幾何體有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形，很明顯這個幾何體不是棱柱，因此說有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.圖18 由此看，判斷一個幾何體是否是棱柱，關(guān)

2、鍵是緊扣棱柱的3個本質(zhì)特征：有兩個面互相平行；其余各面都是四邊形；每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.這3個特征缺一不可，圖18所示的幾何體不具備特征.2.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？剖析：如圖19所示，將正方體ABCDA1B1C1D1截去兩個三棱錐AA1B1D1和CB1C1D1，得如圖20所示的幾何體. 圖19 圖20 圖20所示的幾何體有一個面ABCD是四邊形，其余各面都是三角形的幾何體，很明顯這個幾何體不是棱錐，因此說有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐.由此看，判斷一個幾何體是否是棱錐，關(guān)鍵是緊扣棱錐的3個本質(zhì)特征：有一個面是多邊形；其余各

3、面都是三角形；這些三角形面有一個公共頂點.這3個特征缺一不可，圖18所示的幾何體不具備特征.3. 下列幾何體是臺體的是（ ）圖2活動：學(xué)生回顧臺體的結(jié)構(gòu)特征.分析：A中的“側(cè)棱”沒有相交于一點，所以A不是臺體；B中的幾何體沒有兩個平行的面，所以B不是臺體；很明顯C是棱錐，D是臺體.答案：D點評：本題主要考查臺體的結(jié)構(gòu)特征.像這樣的概念辨析題，主要是依靠對簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征的準確把握.例1. （2007寧夏模擬，理6）長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為（ ）A. B. C. D.活動：解決空間幾何體表面上兩點間最短線路問題，一般都是將空間幾何體表面展

4、開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點間線段長，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.解：如圖3，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1.圖3如圖4所示，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開,圖4則有AC1=，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時的最短距離是；如圖5所示，將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,則有AC1=，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是；圖5如圖6所示，將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開,圖6則有AC1=，即經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是.由于，所以由A到C1在正方體表面上的最短距離為.答案：C點

5、評：本題主要考查空間幾何體的簡單運算及轉(zhuǎn)化思想.求表面上最短距離可把圖形展成平面圖形.4.如圖23，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA1=4.M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點為N，求P點的位置.圖23分析：把三棱錐展開后放在平面上，通過列方程解應(yīng)用題來求出P到C點的距離,即確定了P點的位置.解：如圖24所示，把正三棱錐展開后，設(shè)CP=x,圖24根據(jù)已知可得方程22+（3+x)2=29.解得x=2.所以P點的位置在離C點距離為2的地方.二中心投影與平行投影例2.如圖12甲所示，在正方體ABCDA1B1C1D

6、1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影可能是圖12乙中的_. 甲 乙圖12活動：要畫出四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點A、G、F、E在每個面上的投影，再順次連接即得到在該面上的投影，并且在兩個平行平面上的投影是相同的.分析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖12乙（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖12乙（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是圖12乙（3）.答案：（1）（2）（3）點評：本題主要考查平行投影和空間想象能力.畫出一個圖形在一個平面上的投影的關(guān)

7、鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點，如頂點等，畫出這些關(guān)鍵點的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影.如果對平行投影理解不充分，做該類題目容易出現(xiàn)不知所措的情形，避免出現(xiàn)這種情況的方法是依據(jù)平行投影的含義，借助于空間想象來完成.5 .變式訓(xùn)練 如圖13(1)所示，E、F分別為正方體面ADDA、面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的各個面上的投影可能是圖13(2)的_. (1) (2)圖13分析：四邊形BFDE在正方體ABCDABCD的面ADDA、面BCCB上的投影是C；在面DCCD上的投影是B；同理，在面ABBA、面ABCD、面ABCD上的投影也全是B.答案：B C6. 兩條相交直線的平行投

8、影是（ D ）A.兩條相交直線 B.一條直線 C.兩條平行直線 D.兩條相交直線或一條直線三空間幾何體的直觀圖例3. 如圖7所示，梯形ABCD中，ABCD，AB=4 cm，CD=2 cm，DAB=30°，AD=3 cm，試畫出它的直觀圖.圖7活動：利用斜二測畫法作該梯形的直觀圖，要注意在斜二測畫法中，要有一些平行于原坐標軸的線段才好按部就班地作圖，所以先在原坐標系中過作出該點在x軸的垂足，則對應(yīng)地可以作出線段的直觀圖，進而作出整個梯形的直觀圖.解：步驟是：（1）如圖8所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標系xOy.如圖9所示，畫出對應(yīng)的x軸，y

9、軸，使xAy=45°.（2）如圖8所示，過D點作DEx軸，垂足為E.在x軸上取AB=AB=4 cm，AE=AE=cm 2.598 cm；過E作EDy軸，使ED=，再過點D作DCx軸，且使DC=CD=2 cm. 圖8 圖9 圖10（3）連接AD、BC、CD，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖10所示，則四邊形ABCD就是所求作的直觀圖.7 .一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ）A. B. C. D.分析：平面圖形是上底長為1，下底長為，高為2的直角梯形.計算得面積為.答案：D8. 若一個三角形，采用斜二

10、測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原來三角形面積的（ ）A.倍 B.2倍 C.倍 D.倍分析：直觀圖也是三角形，并且有一條公共邊，但是這條公共邊上的高發(fā)生變化.直觀圖中公共邊上的高是原三角形中公共邊上高的，則直觀圖的面積是原來三角形面積的倍.答案：A四空間幾何體的三視圖，表面積與體積1. 柱體，椎體，臺體體積公式：V柱體=Sh V錐體= V臺體=h (S,S分別為上、下底面積，h為臺體的高).2. 球表面積，體積公式：S=4R2, V=例4 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC（圖6），求它的表面積.圖6活動：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體SABC的四個面是全等

11、的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過點S作SDBC，交BC于點D.因為BC=a,SD=,所以SSBC=BC·SD=.因此，四面體SABC的表面積S=4×.點評：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓(xùn)練9 .已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長為l，因為圓柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長為，由題意得圓錐的高為，又圓錐的底面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長l=，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得S

12、圓錐側(cè)=rl=·r·10 .圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6和4的矩形，則圓柱的全面積為_.分析：圓柱的側(cè)面積S側(cè)=6×4=242.以邊長為6的邊為軸時，4為圓柱底面圓周長，所以2r=4，即r=2.所以S底=4.所以S全=242+8.以4所在邊為軸時，6為圓柱底面圓周長，所以2r=6,即r=3.所以S底=9.所以S全=242+18.答案：242+8或242+1811 .圓臺的兩個底面半徑分別為2、4，截得這個圓臺的圓錐的高為6，則這個圓臺的體積是_.分析：設(shè)這個圓臺的高為h，畫出圓臺的軸截面，可得，解得h=3，所以這個圓臺的體積是(22+2×4+42)

13、5;3=28.答案：2812 .圖20是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點.現(xiàn)在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?圖20分析：因為鋸掉的是正方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3. 三棱錐的底面是RtAGF，即FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點，所以AF=AG=.所以AGF的面積為.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點，所以AH=.所以鋸掉的部分的體積為.又因,所以

14、鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.13 .（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是_.分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得解得r=，所以圓錐的底面積為r2=.圖21答案：14 .如圖22，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖23，這時水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_. 圖22 圖23分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，則V=SABCh.又圖23中水組成了一個直四棱柱，其底面積為，高度為2a，則V=·2a，h=.答案：15.

15、（2005全國高考卷，理5）如圖4（1）所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EFAB，EF=2，則該多面體的體積為（ ）A. B. C. D. (1) (2)圖4分析：如圖4(2)所示，過B作BGEF于G，連接CG，則CGEF，BF=1，BCG中，BG=，BC邊上的高為，而SBCG=×1×=,VFBCG=.同理過A作AHEF于H，則有VEAHD=，顯然BCGADH為三棱柱，VBCGADH=×1=，則由圖4(2)可知VADEBCF=VFBCG +VEAHD+VBCGADH=.答案：A點評：本題求幾何體體積的方法

16、稱為割補法，經(jīng)常應(yīng)用這種方法求多面體體積.割補法對空間想象能力的要求很高且割補法的目的是化不規(guī)則為規(guī)則.因此可以說割補法是一種綜合的方法，這和我們高考的理念和命題原則是相通的，高考題中出現(xiàn)這樣的問題也是很正常的，所以這將是高考對立體幾何這部分知識命題的方向.16（2008廣東）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A點評：本題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。17、（2008江蘇模擬）由

17、大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個數(shù)是 俯視圖左視圖主視圖解：以俯視圖為主，因為主視圖左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個幾何體的正方體木塊數(shù)的個數(shù)為5個。點評：從三視圖到確定幾何體，應(yīng)根據(jù)主視圖和俯視圖情況分析，再結(jié)合左視圖的情況定出幾何體，最后便可得出這個立體體組合的小正方體個數(shù)。18.（2007廣東佛山一模，理4）如圖6所示，一個簡單空間幾何體的三視圖其正視圖與側(cè)視圖是邊長為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，則其體積是（ ）圖6A. B. C. D.分析：根據(jù)三視圖可知該幾何體是正四棱錐，且底面積

18、是4，高為正視圖等邊三角形的高，所以體積為.答案：B19 （2007山東煙臺高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（ ）圖11A.1 B. C. D.活動：讓學(xué)生將三視圖還原為實物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PAAB，PAAC，ABAC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個幾何體的體積為V=.圖12答案：D點評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面

19、積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標高考的熱點，應(yīng)引起重視.20.（2007山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8）若一個正三棱柱的三視圖如圖13所示，則這個正三棱柱的表面積為（ ）圖13A. B. C. D.分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為，正三棱柱的高為2，則底面等邊三角形的邊長為4，所以該正三棱柱的表面積為3×4×2+2××4×=24+.圖14答案：C21.已知某個幾何體的三視圖如圖24，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是（ ）圖24A. cm3 B.cm3

20、C.2 000 cm3 D.4 000 cm3分析：該幾何體是四棱錐，并且長為20 cm的一條側(cè)棱垂直于底面，所以四棱錐的高為20 cm,底面是邊長為20 cm的正方形（如俯視圖），所以底面積是20×20=400 cm2，所以該幾何體的體積是×400×20=cm3.答案：B例5. （2006廣東高考，12）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_.分析：畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對角線，所以球的半徑R=，則該球的表面積為S=4R2=27.答案：27點評：本題主要考查簡單的組合體和球的表面積.球的表面積和體積都是半徑R的函數(shù).對于和球有

21、關(guān)的問題，通?？梢栽谳S截面中建立關(guān)系.畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練22.（2006全國高考卷，理7）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ）A.16 B.20 C.24 D.32分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面邊長為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=，所以球的表面積為S=4R2=24.答案：C23.（2007天津高考，理12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為_.分析：長方體的對角線為，則球的半徑為,則球的表面積為4()2=14.答案：

22、1424.（2007北京西城抽樣，文11）若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，則球的表面積是_.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為=5，所以球的表面積是4×52=100.答案：10025.（2007海南高考，文11）已知三棱錐SABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=,則球的體積與三棱錐體積之比是（ ）A. B.2 C.3 D.4分析：由題意得SO=r為三棱錐的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面積是×2r×r=r2,所以三棱

23、錐體積是，又球的體積為，則球的體積與三棱錐體積之比是4.答案：D點評：面積和體積往往涉及空間距離，而新課標對空間距離不作要求，因此在高考試題中其難度很低，屬于容易題，2007年新課標高考試題就體現(xiàn)了這一點.高考試題中通?？疾榍颉⑷忮F、四棱錐、長方體、正方體等這些簡單幾何體或它們的組合體的面積或體積的計算.我們應(yīng)高度重視這方面的應(yīng)用.五 平面1.對平面的理解: 無限延展性, 不可度量性2. 公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個平面位置的依據(jù)之一. 除公理2外，

24、確定平面的依據(jù)還有：(1)直線與直線外一點.(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.其作用是：其一它是判定兩個平面是否相交的依據(jù)，只要兩個平面有一個公共點，就可以判定這兩個平面必相交于過這點的一條直線；其二它可以判定點在直線上，點是兩個平面的公共點，線是這兩個平面的公共交線，則這點在交線上圖1例6、如圖1，在空間四邊形ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且，則（）（A）EF與GH互相平行（B）EF與GH異面（C）EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上（D）EF

25、與GH的交點M一定在直線AC上解：依題意，可得EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因為EHBD，故EHFG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點為M，因為點M在EF上，故點M在平面ACB上，同理，點M在平面ACD上，即點M是平面ACB與平面ACD的交點，而AC是這兩個平面的交線，由公理3可知，點M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上。選（D）。點評：本題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用，證明共線問題。利用四個公理來證明共點、共線的問題是立體幾何中的一個難點。26.在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C與面DBC1交于O點，AC、BD交于M，如圖23.

26、圖23求證：C1、O、M三點共線.證明：C1、O、M平面BDC1,又C1、O、M平面A1ACC1,由公理3，C1、O、M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上,C1、O、M三點共線.六.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系空間的兩條直線的三種位置關(guān)系：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°求異面直線夾角方法: 一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法求解公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 符號表示為：ab,bcac.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.27在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、

27、F分別是AA1、AB的中點，試判斷下列各對線段所在直線的位置關(guān)系：圖10（1）AB與CC1；（2）A1B1與DC；（3）A1C與D1B；（4）DC與BD1；（5）D1E與CF.解：（1）C平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,AB與CC1異面.（2）A1B1AB，ABDC，A1B1DC.（3）A1D1B1C1，B1C1BC，A1D1BC，則A1、B、C、D1在同一平面內(nèi).A1C與D1B相交.（4）B平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,DC與BD1異面.（5）如圖10，CF與DA的延長線交于G，連接D1G，AFDC，F(xiàn)為AB中點，A為DG的中點.又A

28、EDD1，GD1過AA1的中點E.直線D1E與CF相交.點評：兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行（或重合）.兩條直線相交，總可以找到它們的交點.作圖時用實點標出.兩條直線異面，有時看上去像平行（如圖中的EB與A1C），有時看上去像相交（如圖中的DC與D1B）.所以要仔細觀察，培養(yǎng)空間想象能力，尤其要學(xué)會兩條直線異面判定的方法.例7 如圖11，點A是BCD所在平面外一點，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點，且EF=AD，求異面直線AD和BC所成的角.圖11解：設(shè)G是AC中點，連接EG、FG.因E、F分別是AB、CD中點，故EGBC且EG=，F(xiàn)GAD，且FG=.由異面直線

29、所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即EGF為所求.由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得EGF=90°.點評：本題的平移點是AC中點G，按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在EFG中求角.通常在出現(xiàn)線段中點時，常取另一線段中點，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系.28.（2008全國二10）已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（ ）ABCD解：連接AC、BD交于O，連接OE，因OESD.所以AEO為異面直線SD與AE所成的角。設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在AEO中，OE1,A

30、O，AE=，于是，故選C。點評：求異面直線所成的角，一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法或正、余弦定理求解。七、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1. 直線與平面平行的定義：如果直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平行.直線與平面的三種位置關(guān)系.：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.2. 直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.符號語言為：.3. 直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行. 這個定理用符號語言可表示為：例8 設(shè)P、Q是邊長為a

31、的正方體AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如圖8,（1）證明PQ平面AA1B1B；（2）求線段PQ的長.圖8(1)證法一：取AA1,A1B1的中點M,N,連接MN,NQ,MP,MPAD,MP=,NQA1D1,NQ=,MPND且MP=ND.四邊形PQNM為平行四邊形.PQMN.MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,PQ面AA1B1B.證法二：連接AD1,AB1,在AB1D1中,顯然P,Q分別是AD1,D1B1的中點,PQAB1,且PQ=.PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,PQ面AA1B1B.(2)解:方法一:PQ=MN=.方法二：PQ=.例9.如圖8,E、H分別是空間四

32、邊形ABCD的邊AB、AD的中點，平面過EH分別交BC、CD于F、G.求證：EHFG.圖8證明：連接EH.E、H分別是AB、AD的中點,EHBD.又BD面BCD，EH面BCD,EH面BCD.又EH、面BCD=FG,EHFG.點評：見到線面平行，先過這條直線作一個平面找交線，則直線與交線平行.29.如圖12，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CDAB.圖12（1）求證：EFGH是矩形；（2）設(shè)DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面積.(1)證明：CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCD=EF,CDEF.同理HGCD,EFHG.

33、同理HEGF，四邊形EFGH為平行四邊形.由CDEF，HEAB，HEF為CD和AB所成的角.又CDAB，HEEF.四邊形EFGH為矩形.（2）解：由（1）可知在BCD中EFCD，DE=m，EB=n,.又CD=a,EF=.由HEAB,.又AB=b,HE=.又四邊形EFGH為矩形,S矩形EFGH=HE·EF=.點評：線面平行問題是平行問題的重點，有著廣泛應(yīng)用.30.下面給出四個命題，其中正確命題的個數(shù)是( )若a、b，則ab 若a，b，則ab 若ab，b，則a 若ab，b，則aA.0 B.1 C.2 D.4答案：A31.下列命題中，正確的是( )A.如果直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線成異面直線

34、，則lB.如果直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則lC.如果直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線成異面直線，則lD.如果一條直線與一個平面平行，則該直線平行于這個平面內(nèi)的所有直線E.如果一條直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則這條直線與這個平面平行答案：C八、平面與平面平行的判定、性質(zhì)1.平面的兩種位置關(guān)系：如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行若=,則.如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交若=AB,則與相交.圖12.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.若a，b，ab=A,且a,b，則.利用判定定理證明兩個平面平行，必須具備：()有兩條直線平行于另一個平面;

35、()這兩條直線必須相交.3. 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.ab. 應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點是：過某些點或直線作一個平面.例10 已知正方體ABCDA1B1C1D1，如圖9,求證：平面AB1D1平面BDC1.圖9活動：學(xué)生自己思考或討論，再寫出正確的答案.教師在學(xué)生中巡視學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,并及時評價.證明：ABCDA1B1C1D1為正方體，D1C1A1B1,D1C1=A1B1.又ABA1B1,AB=A1B1,D1C1AB,D1C1=AB.四邊形ABC1D1為平行四邊形.AD1BC1.又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1

36、，BC1平面AB1D1.同理，BD平面AB1D1.又BDBC1=B，平面AB1D1平面BDC1.32.已知：a、b是異面直線，a平面,b平面，a，b.求證：.證明：如圖13,在b上任取點P，顯然Pa.于是a和點P確定平面，且與有公共點P.圖13設(shè)=a，a，aa.a.這樣內(nèi)相交直線a和b都平行于，九.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.直線與平面垂直的定義: 一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，這條直線和這個平面互相垂直.2. 直線和平面垂直的判定定理: 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面. 符號語言表示為：l. 3. 直線和平面所成的角:平面的一條斜線和它在

37、這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角. 直線與平面所成角的范圍是0°90°求直線和平面所成的角的方法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。4. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理: 垂直于同一個平面的兩條直線平行例11 如圖9,在正方體ABCDA1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.圖9活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.解：連接BC1交B1C于點O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a，因為A1B1B1C1,A1B1B1B,所以A1B1平面BCC1B1.所

38、以A1B1BC1.又因為BC1B1C，所以BC1平面A1B1CD.所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,BA1O=30°.因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.例12 （2007山東高考,文20）如圖11(1)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.(1)(1)求證：D1CAC1；（2）設(shè)E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說明理由.（1）證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中

39、，連接C1D，如圖11(2).(2)DC=DD1，四邊形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1=D,AD平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1.ADD1C.AD、DC1平面ADC1，且ADDC1=D,D1C平面ADC1.又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解：連接AD1、AE，如圖11(3).(3)圖11設(shè)AD1A1D=M,BDAE=N,連接MN，平面AD1E平面A1BD=MN，要使D1E平面A1BD，需使MND1E，又M是AD1的中點，N是AE的中點.又易知ABNEDN，AB=DE,即E是DC的中點.綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD

40、.33. 在正方體ABCDA1B1C1D1，G為CC1的中點，O為底面ABCD的中心.求證：A1O平面GBD.圖12證明：BDA1O.又A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,A1O2+OG2=A1G2.A1OOG.又BDOG=O,A1O平面GBD.34. 如圖16，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,點D是AB的中點.圖16（1）求證：ACBC1;（2）求證：AC1平面CDB1；（1）證明：在ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,ABC為直

41、角三角形.ACCB.又CC1面ABC,AC面ABC,ACCC1.AC面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,ACBC1.（2）證明：連接B1C交BC1于E，則E為BC1的中點，連接DE,則在ABC1中,DEAC1.又DE面CDB1,則AC1面B1CD.十.平面與平面垂直的判定1.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.2. 二面角的平面角的概念: 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角0°180°

42、二面角求法：“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。3.兩個平面垂直的判定定理: 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：. . 應(yīng)用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.4. 兩個平面垂直的性質(zhì)定理: 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.AB. 例13. 如圖7,O在平面內(nèi)，AB是O的直徑，PA，C為圓周上不同于A、B的任意一點.圖7求證：平面PAC平面PBC.證

43、明：設(shè)O所在平面為,由已知條件，PA,BC,PABC.C為圓周上不同于A、B的任意一點,AB是O的直徑,BCAC.又PA與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，BC平面PAC.BC平面PBC,平面PAC平面PBC.35. 如圖8，把等腰RtABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至ABD的位置，使CD=AC，圖8（1）求證：平面ABD平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明：(證法一):由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中點.OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(證法二):取AB中點O，連接OD、OC,則有

44、ODAB，OCAB，即COD是二面角CABD的平面角.設(shè)AC=a，則OC=OD=,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形，即COD=90°.二面角是直二面角，即平面ABD平面ABC.（2）解:取BD的中點E，連接CE、OE、OC,BCD為正三角形，CEBD.又BOD為等腰直角三角形,OEBD.OEC為二面角CBDA的平面角.同（1）可證OC平面ABD.OCOE.COE為直角三角形.設(shè)BC=a，則CE=，OE=，cosOEC=.點評：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線.36. 如圖12，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.（1）求證：MN平面PAD；（2）求證：MNCD；（3）若二面角PDCA=45°，求證：MN平面PDC. 圖12 圖13證明：如圖13所示,（1）取PD的中點Q，連接AQ、NQ,則QNDC,AMDC,QNAM.四邊形AMNQ是平行四邊形.MNAQ.又MN平面PAD,AQ平面PAD,MN平面PAD.（2）PA平面ABCD，PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.又AQ平面PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.（3）由（2）知，CD平面PAD,CDAD,CDPD.PDA是二面角PDCA的平面角.PDA=45°.又PA平面ABCD,PAAD.AQPD.又MNAQ,MNCD.又M