可分離變量的微分方程一階線性微分方程PPT

1、16.2 一一 階階 微微 分分 方方 程程 6.2.2 齊次微分方程齊次微分方程6.2.3 一階線性微分方程一階線性微分方程6.2.1 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)26.2.1 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程一般形式：一般形式：求解步驟：求解步驟： dxxfdyyg)()(其其中中:)(yG和和)(xF是是 yg1和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù). CxFyG )()(分離變量法分離變量法 ygxfdxdy)( (1) 分離變量分離變量 dxxfygdy (2) 兩邊積分兩邊積分(3) 求出

2、積分求出積分目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)3例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy.2為所求通解為所求通解xcey 典型例題典型例題目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)Cxy2ln4例例2 2 求微分方程求微分方程.012的通解的通解 dyxxydx解：解：分離變量，有：分離變量，有：dxxxydy21 兩端積分，得：兩端積分，得：cxyln1ln2 21 xCey 21:xCey

3、 原方程的通解為原方程的通解為即：即：目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)56.2.2 齊次微分方程齊次微分方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即按可分離變量的方程求解按可分離變量的方程求解1 1.定義定義目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)6)(2)(12222xyxyxyyxdxdy 代代入入有有令令它它是

4、是齊齊次次方方程程,.xyu xuudxdu212滿滿足足,2)(22xydydxyx 例例3 3 求微分方程求微分方程解解.01的的特特解解初初始始條條件件 xy方程可化為：方程可化為：目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)7Cxuln21ln21)1ln(212 所求方程的特解為：所求方程的特解為：xxy 22兩邊積分，得：兩邊積分，得：即：即：1)1(2 uCxxyxC )(22通解為：通解為：1,01 Cyx求求出出代代入入上上式式將將初初始始條條件件目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)8)(

5、)(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.6.2.3 一階線性微分方程一階線性微分方程目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)9. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線

6、性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)102. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊方程通解形式非齊方程通解形式與齊方程通解相比與齊方程通解相比:)(xuC 目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指

7、導(dǎo)11常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.),()(xyxu原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函函數(shù)數(shù)作變換作變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)12代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:

8、dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)13.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)14例例2 2 如圖所示，平行與如圖所示，平行與 軸的動(dòng)

9、直線被曲軸的動(dòng)直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)15 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).22(32xxeyx 23xyy 目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目

10、的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)16一、分離變量法步驟一、分離變量法步驟:1.分離變量分離變量;2.兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.小結(jié)小結(jié)1.齊次方程齊次方程2.線性非齊次方程線性非齊次方程)(xyfy ;xuy 令令 dxxPexuy)()(令令二、齊次方程二、齊次方程:目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)17一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方

11、程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .分離變量法分離變量法練練 習(xí)習(xí) 題題目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)18練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. . 二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . . 目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重

12、點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)19一一、 求求下下列列齊齊次次方方程程的的通通解解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二二、 求求下下列列齊齊次次方方程程滿滿足足所所給給初初始始條條件件的的特特解解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三三、化化下下列列方方程程為為齊齊次次方方程程, ,并并求求出出通通解解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .齊次方程齊次方程練練 習(xí)習(xí) 題題目錄目

13、錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)20練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. .目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)21一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2

14、ydxdyxy. . 二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程練練 習(xí)習(xí) 題題目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)22練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . . 二二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. . 目錄目錄后退后退主主頁頁退退出出本節(jié)知識(shí)引入本節(jié)目的與要求本節(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)23本節(jié)的學(xué)習(xí)目的與要求本節(jié)的學(xué)習(xí)目的與要求 1了解一階微分方程的概念； 2熟練掌握可分離變量的微分方程的求解； 3掌握一階齊次微分方程的概念及其解法；4. 掌握一階線性微分方程的概念及