三正則二部網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

1、三正則二部網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)1 引言 在圖論中，圖是由若干給定的頂點以及頂點之間的邊所構(gòu)成 的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關(guān)系， 用頂點代表事物， 用連接兩點的邊表示相應(yīng)兩個事物間具有的關(guān) 系。在組合網(wǎng)絡(luò)理論中， 我們可將網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可抽象為圖。 其 中，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點對應(yīng)著圖中的頂點，而網(wǎng)絡(luò)中的連?則對應(yīng)著圖中的邊。圖中，集合V的元素稱為圖G的頂點，而集合E的元素稱為 圖G的邊。若圖的各邊都沒有方向，稱為無向圖。 若圖若無重邊（即任意兩個頂點間至多只有一條邊），則稱 為簡單圖。若圖的每個頂點的度數(shù)（即其鄰接的邊數(shù)）皆為 n,那么我 們稱其為 n- 正則圖。設(shè)G是無向圖，如果頂點集V

2、可分割成兩個互不相交的子集， 并且圖中的每條邊所關(guān)聯(lián)的兩個頂點分別屬于這兩個不同的頂 點集，則稱G是一個二部圖。本文將借助三正則二部圖， 研究三正則二部網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。 而 文中所涉及的而以上未提及的圖論中常用符號和概念參見 1 。2 主要結(jié)論對任意的簡單圖G若其存在兩條邊，滿足，E (G),令， 那么該變換稱為圖G上的一次開關(guān)變換。若圖G經(jīng)過有限次開關(guān)變換后，得到圖 G，我們就稱G和 G在開關(guān)變換下是連通的。 顯然，開關(guān)變換具有可逆性，圖G 通過有限次開關(guān)變換后，也能得到圖G因此，在開關(guān)變換的意義下，兩個圖連通具有對稱性。對任意2n階三正則二部網(wǎng)絡(luò)G, G的頂點按次序編號并分為 兩部分以及。我們

3、將圖 G的頂點集記為V(G)，邊集記為。定義 1. 記 Jn 為 2n 階三正則二部圖集合。定義 2. 我們定義 2n 階三正則二部圖的標(biāo)準(zhǔn)圖滿足：定理2.若，則對G施加有限次的開關(guān)變換后可得到標(biāo)準(zhǔn)圖， 且每次變換得到的圖仍屬于圖類 Jn。證.由算法1可知，若，我們將G的頂點編號為兩部分以及， 之后逐個考察其是否含有標(biāo)準(zhǔn)圖中的各邊， 若沒有， 則進(jìn)行適當(dāng) 的開關(guān)變換，得到該邊，直到得到標(biāo)準(zhǔn)圖中的所有邊。則對G進(jìn)行有限次開關(guān)變換之后可得到。 又由于每次開關(guān)變換所產(chǎn)生的新 邊仍然連接兩部的頂點，因此每次變換所得到的圖仍屬于圖類 Jn。3 結(jié)語本文將三正則二部網(wǎng)絡(luò)抽象為三正則二部圖， 驗證了任意一 個三正則二部圖經(jīng)過有限次開關(guān)變換都可以轉(zhuǎn)化為我們所定義 的同階標(biāo)準(zhǔn)圖。又根據(jù)開關(guān)變換具有可逆性， 我們知道整個三正 則二部圖類在此開關(guān)變