2022屆高考數學解題方法微專題（11）含exlnx與x的組合函數的解題策略

1、- 1 - / 5 微專題微專題(十一十一) 含含 ex，ln x 與與 x 的組合函數的解題策略的組合函數的解題策略 近幾年高考壓軸題常以 x 與 ex，ln x 組合的函數為基礎來命制，將基本初等函數的概念，圖象與性質糅合在一起，發(fā)揮導數的工具作用，應用導數研究函數性質、證明相關不等式(或比較大小)、求參數的取值范圍(或最值)預計今后高考試題除了延續(xù)往年的命題形式，還會更著眼于知識點的巧妙組合，注重對函數與方程、轉化與化歸、分類整合和數形結合等思想的靈活運用，突出對數學思維能力和數學核心素養(yǎng)的考查 策略一 分離參數，設而不求 例 1 已知函數 f(x)ln x，h(x)ax(ar) (1)

2、若函數 f(x)的圖象與 h(x)的圖象無公共點，求實數 a 的取值范圍； (2)是否存在實數 m，使得對任意的 x12， ，都有 yf(x)mx的圖象在 g(x)exx的圖象下方？若存在，請求出整數 m的最大值；若不存在，請說明理由 解析：(1)函數 f(x)的圖象與 h(x)的圖象無公共點，等價于方程ln xxa 在(0，)上無解， 令 t(x)ln xx，則 t(x)1ln xx2，令 t(x)0，得 xe. 隨著 x 的變化，t(x)，t(x)的變化如下表所示 x (0，e) e (e，) t(x) 0 t(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 因為 xe 是函數 t(x)唯一的極值點，所

3、以 t(x)maxt(e)1e，故要使方程ln xxa 在(0，)上無解，需滿足 a1e，故實數 a 的取值范圍為1e， . (2)假設存在實數 m滿足題意，則不等式 ln xmxexx對任意的 x12， 恒成立， 即 mexxln x 對任意的 x12， 恒成立 令 v(x)exxln x，則 v(x)exln x1， 令 (x)exln x1，則 (x)ex1x. 易知 (x)在12， 上單調遞增，1212e20 且 (x)的圖象在12，1 上連續(xù)， 所以存在唯一的 x012，1 ，使得 (x0)0，即0ex1x00，則 x0ln x0. 當 x12，x0時，(x)單調遞減； 當 x(x0

4、，)時，(x)單調遞增 則 (x)在 xx0處取得最小值，且最小值為 (x0)0exln x011x0 x012x01x0110， 所以 v(x)0，即 v(x)在12， 上單調遞增， 所以 m12e12ln1212e12ln 21.995 29， - 2 - / 5 故存在整數 m滿足題意，且 m的最大值為 1. 名師點評 本題分離參數后導數零點不可求，且不能通過觀察得到，此時往往可以采用設而不求的方法在第(2)小問中，通過虛設零點 x0得到 x0ln x0，將0exln x01 轉化為普通代數式1x0 x01，然后使用基本不等式求出最值，同時消掉 x0，即借助 (x0)0 作整體代換，采取

5、設而不求的方法，達到化簡并求解的目的 變式練 1 證明 exln x2. 策略二 分離 ln x 與 ex 例 2 已知函數 f(x)ax2xln x. (1)若函數 f(x)在(0，)上單調遞增，求實數 a的取值范圍； (2)若 ae，證明：當 x0 時，f(x)0 時，f(x)0，即 2aln x1x恒成立 令 g(x)ln x1x(x0)，則 g(x)ln xx2， 易知 g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，則 g(x)maxg(1)1， 所以 2a1，即 a12. 故實數 a 的取值范圍是12， . (2)證明：若 ae，要證 f(x)xex1e， 只需證 exln

6、xex1ex，即 exex0)，則 h(x)ex1ex2， 易知 h(x)在0，1e上單調遞減，在1e， 上單調遞增，則 h(x)minh1e0， 所以 ln x1ex0. - 3 - / 5 再令 (x)exex，則 (x)eex， 易知 (x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減， 則 (x)max(1)0，所以 exex0. 因為 h(x)與 (x)不同時為 0，所以 exex1 時，不等式f(x)e12ex1(x1)(xex1). 策略三 借助 exx1和 ln xx1 進行放縮 例 3 已知函數 f(x)exa. (1)若函數 f(x)的圖象與直線 l：yx1 相切，求 a的

7、值； (2)若 f(x)ln x0 恒成立，求整數 a 的最大值 解析：(1)f(x)ex，因為函數 f(x)的圖象與直線 yx1 相切， 所以令 f(x)1，即 ex1，得 x0，即 f(0)1， 解得 a2. (2)現證明 exx1，設 f(x)exx1， 則 f(x)ex1，令 f(x)0，則 x0， 當 x(0，)時，f(x)0，當 x(，0)時，f(x)ln x， 當 a2 時，ln x0 恒成立 當 a3 時，存在 x，使 exaln x 不恒成立 綜上，整數 a 的最大值為 2. 名師點評 利用 exx1，ln xx1 可將超越函數轉化為一次函數，有效地降低了試題的難度 變式練

8、3 已知函數 f(x)ex，g(x)ln(xa)b. (1)若函數 f(x)與 g(x)的圖象在點(0,1)處有相同的切線，求 a，b 的值； (2)當 b0 時，f(x)g(x)0 恒成立，求整數 a 的最大值 - 4 - / 5 微專題微專題(十一十一) 變式練 1 證明：設 f(x)exln x(x0)，則 f(x)ex1x， 令 h(x)f(x)，h(x)ex1x20， f(x)在(0，)上是增函數， 又 f12 e20， 函數 f(x)在12，1 上存在極小值點 x0且0ex01x，即 x0ln0 x. f(x0)01x0 x2， 故 f(x)2，即 exln x2. 變式練 2 解

9、析：(1)f(x)1aln xx2， 曲線 yf(x)在點(e，f(e)處的切線斜率為ae2. 又切線與直線 e2xye0 垂直， 可得 f(e)1e2，所以ae21e2， a1，所以 f(x)1ln xx， f(x)ln xx2(x0)， 當 0 x0，f(x)為增函數； 當 x1 時，f(x)0，f(x)為減函數 所以 x1 是函數 f(x)的極大值點 又 f(x)在(m，m1)上存在極值， 所以 m1m1，即 0m2ex1(x1)(xex1)變形為1e1(x1)(ln x1)x2ex1xex1分別構造函數 g(x)(x1)(ln x1)x和 h(x)2ex1xex1， 則 g(x)xln xx2，令 (x)xln x， 則 (x)11xx1x. 因為 x1，所以 (x)0，所以 (x)在(1，)上是增函數，所以 (x)(1)10，所以 g(x)0，所以 g(x)在(1，)上是增函數，所以 x1 時，g(x)g(1)2，故g(x)e12e1，h(x)2ex1(1ex)(xex1)2，x1，1ex0.h(x)1- 5 - / 5 時，h(x)h(x)，即f(x)e12ex1(x1)(xex1). 變式練 3 解析：(1)因為函數 f(x)和 g(x)的圖象在點(0,1)處有相同的切線， 所以 f(