高中數(shù)學(xué)必修一 第4章 4.4 第3課時(shí)　不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異

1、1 / 6 第第 3 課時(shí)課時(shí) 不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的含義(重點(diǎn)) 2區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異(易混點(diǎn)) 3會(huì)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實(shí)際問題(難點(diǎn)) 借助三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特征培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng). 三種函數(shù)模型的性質(zhì) yax(a1) ylogax(a1) ykx(k0) 在(0，)上的增減性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 圖象的變化趨勢(shì) 隨 x增大逐漸近似與 y軸平行 隨 x增大逐漸近似與 x軸平行 保持固定增長(zhǎng)速度 增長(zhǎng)速度 yax(a1)：隨著 x 的增大，y增長(zhǎng)速度

2、越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 ykx(k0)的增長(zhǎng)速度，ylogax(a1)的增長(zhǎng)速度越來越慢； 存在一個(gè) x0，當(dāng) xx0時(shí)，有 axkxlogax 1已知變量 y12x，當(dāng) x減少 1個(gè)單位時(shí)，y的變化情況是( ) ay減少 1 個(gè)單位 by增加 1個(gè)單位 cy減少 2個(gè)單位 dy增加 2 個(gè)單位 c 結(jié)合函數(shù) y12x的變化特征可知 c 正確 2下列函數(shù)中隨 x的增大而增大且速度最快的是( ) 2 / 6 ayex byln x cy2x dyex a 結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象變化趨勢(shì)可知 a正確 3某工廠 8年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量 c 與時(shí)間 t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示 以下四種說法

3、： 前三年產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越快；前三年產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越慢；第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；第三年后產(chǎn)量保持不變 其中說法正確的序號(hào)是_ 結(jié)合圖象可知正確，故填. 幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異 【例 1】 (1)下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是( ) ay2 019x by2019 cylog2 019x dy2 019x (2)下面對(duì)函數(shù) f(x)log12x，g(x)12x與 h(x)2x在區(qū)間(0，)上的遞減情況說法正確的是( ) af(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越慢 bf(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度越來越快 cf(x)

4、遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度不變 df(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越快 (1)a (2)c (1)指數(shù)函數(shù) yax，在 a1時(shí)呈爆炸式增長(zhǎng)，并且隨 a值的增大，增長(zhǎng)速度越快，應(yīng)選 a. 3 / 6 (2)觀察函數(shù) f(x)log12x，g(x)12x與 h(x)2x 在區(qū)間(0，)上的圖象(如圖)可知： 函數(shù) f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢；在區(qū)間(1，)上，遞減較慢，且越來越慢，同樣，函數(shù) g(x)的圖象在區(qū)間(0，)上，遞減較慢，且遞減速度越來越慢；函數(shù) h(x)的圖象遞減速度不變 常見

5、的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn) (1)線性函數(shù)模型 線性函數(shù)模型 ykxb(k0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變. (2)指數(shù)函數(shù)模型 指數(shù)函數(shù)模型 yax(a1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”. (3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 ylogax(a1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長(zhǎng)速度平緩. 1四個(gè)變量 y1，y2，y3，y4隨變量 x變化的數(shù)據(jù)如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.0510

6、6 3.36107 1.07109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 關(guān)于 x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是_ y2 以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從 2開始變化，且都是越來越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量 y2的增長(zhǎng)速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量 y2關(guān)于 x呈指數(shù)型4 / 6 函數(shù)變化故填 y2. 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)模型的比較 【例 2】 函數(shù) f(x)2x和 g(x)2x的圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn) a(x1，y1)，b

7、(x2，y2)，且 x1x2. (1)請(qǐng)指出圖中曲線 c1，c2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)； (2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷 f32與 g32，f(2 019)與 g(2 019)的大小 解 (1)c1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 g(x)2x，c2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 f(x)2x. (2)f(1)g(1)，f(2)g(2) 從圖象上可以看出，當(dāng) 1x2 時(shí)，f(x)g(x)， f32g32； 當(dāng) x2時(shí)，f(x)g(x)， f(2 019)g(2 019) 由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的方法 根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù). 2函數(shù) f(x)

8、lg x，g(x)0.3x1的圖象如圖所示 (1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線 c1，c2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)； (2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì) f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較) 解 (1)c1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 g(x)0.3x1，c2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 f(x)lg x. 5 / 6 (2)當(dāng) xf(x)；當(dāng) x1xg(x)；當(dāng) xx2時(shí)，g(x)f(x)；當(dāng) xx1或 xx2時(shí)，f(x)g(x) 直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng) 對(duì)于直線 ykxb(k0)、指數(shù)函數(shù) yax(a1)、對(duì)數(shù)函數(shù) ylogbx(b1)，當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長(zhǎng)得快，一次函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得

9、快，并且直線上升，其增長(zhǎng)量固定不變. 1思考辨析 (1)函數(shù) y2x比 y2x增長(zhǎng)的速度更快些( ) (2)當(dāng) a1，n0 時(shí)，在區(qū)間(0，)上，對(duì)任意的 x，總有 logaxkxax成立( ) (3)函數(shù) ylog12x衰減的速度越來越慢( ) 答案 (1) (2) (3) 2下列函數(shù)中，隨 x 的增大，增長(zhǎng)速度最快的是( ) ay1 byx cy3x dylog3x c 結(jié)合函數(shù) y1，yx，y3x及 ylog3x 的圖象可知(圖略)，隨著 x的增大，增長(zhǎng)速度最快的是 y3x. 3某人投資 x元，獲利 y元，有以下三種方案甲：y0.2x，乙：ylog2x100，丙：y1.005x，則投資 500元，1 000元，1 500元時(shí)，應(yīng)分別選擇_方案 乙、甲、丙 將投資數(shù)分別代入甲、乙、