初中數(shù)學(xué)知識點：三角形的內(nèi)心、外心、中心、重心

1、三角形的四心定義：1、內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點，即內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線交點的原理：經(jīng)圓外一點作圓的兩條切線，這一點及圓心的連線平分兩條切線的夾角(原理：角平分線上點到角兩邊距離相等)。2、外心：是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。3、中心：三角形只有五種心重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心，當(dāng)且僅當(dāng)三角形是正三角形的時候，四心合一心，稱做正三角形的中心。4、重心：重心是三角形三邊中線的交點。三角形的外心的性質(zhì)：1.三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心;2三角形的外接圓有且只

2、有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合;3.銳角三角形的外心在三角形內(nèi);鈍角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心及斜邊的中點重合。在ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.SABC=abc/4R三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：1.三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的內(nèi)心2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r3.r=2S/(a+b+c)4.在RtABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/

3、26.S=(a+b+c)r/2 (r是內(nèi)切圓半徑)三角形的垂心的性質(zhì):1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點上;鈍角三角形的垂心在三角形外。2.三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心。例如在ABC中3. 垂心O關(guān)于三邊的對稱點，均在ABC的外接圓圓上。4.ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一垂心組)。6.ABC，ABO，BCO，ACO的外接圓是等圓。7.在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在

4、直線分別于P、Q，則 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。9.設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。10.銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓及外接圓半徑之和的2倍。11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。12.西姆松(Simson)定理(西姆松線)：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上13.設(shè)銳角ABC內(nèi)有一點P，那么P是垂心的

5、充分必要條件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。14.設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為AEF，BDF，CDE的垂心，則DEFH1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點的切線。三角形的重心的性質(zhì):1.重心到頂點的距離及重心到對邊中點的距離之比為2：1。2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均，即其坐標為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標系橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：(Z1+Z2+Z3)/35.重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。三角形旁心的性質(zhì):1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三