A2.3.2平面向量正交分解及坐標(biāo)表示(教、學(xué)案)

1、2. 3.2平面向量正交分解及坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)：(1) 理解平面向量的坐標(biāo)的概念；(2) 掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；(3) 會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：平面向量根本定理：如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)入1,入2使a= g + he(1) 我們把不共線向量 e 1、e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量 a在給出基底ei、e2的條件下進(jìn)行分解；(4) 基底給定時，分解形

2、式惟一 .入1,入2是被a , g , e2唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1 .平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i、j作為基底任作一個向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得1.* Ja xi yj 0OL我們把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作yGa (x, y) 艇戶. 1O#工r其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，O 2式叫做向量的坐標(biāo)表 示.與a相等的向量的坐標(biāo)也為 (x, y).特別地，i (1,0) , j (0,1), 0(0,0).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)0為起點(diǎn)作OA a，那么

3、點(diǎn)A的位置由a唯一確定.設(shè)OA xi yj，那么向量OA的坐標(biāo)(x, y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn) A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)， 每一個平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一 表示.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1 ) 假設(shè) a(xi,yi), b(X2,y2)，貝Va b(xiX2,yiy?), a b(xi X2 ,yi y?)兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差設(shè)基底為i、j，那么a b (穌yi j) (x?iy?j)(Xix?)i (yi y?) j即 a b (xi x2, yi y2)，同理可得 a b(XiX?, yiy?)(2)假設(shè)

4、A(xi,yj , B(X2,y?)，那么 AB x?Xi,y?yi一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)AB= OB OA =( X2, y?) (xi, yi)= (x? xi, y? yi)(3)假設(shè) a (x, y)和實(shí)數(shù)，貝U a ( x, y).實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)設(shè)基底為 i、j，那么 a (xi yj) xi yj，即 a ( x, y)三、講解范例:例 i A(xi, yi), B(x2, y2),求例 2 a =(2 , i), b =(-3 , 4)，求 a+b , a- b ,3a+4b的坐標(biāo).例3平面上三點(diǎn)的坐

5、標(biāo)分別為A(y i1嚴(yán)ab的坐標(biāo).2,1), B( 1,3),C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個頂點(diǎn)解：當(dāng)平行四邊形為 ABCD時，由ABDC 得 Di=(2 ,2)當(dāng)平行四邊形為 ACDB時，得D2=(4 ,6),當(dāng)平行四邊形為 DACB時，得D3=( 6,0)例 4 三個力Fj(3,4),F2(2,5),F3(x,y)的合力F1+ F2 + F3ABCDF3的坐標(biāo).解：由題設(shè)Fi +F2 + F3 =0得:(3，4)+ (2，5)+(x,y)=(0,0)3 2 x0x5即：01- F3 ( 5, 1)4 5 yy四、課堂練習(xí):1假設(shè) M(3,-2)N(-5，-1)且一-

6、1 MP - MN , 2求P點(diǎn)的坐標(biāo)2假設(shè) A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，那么 AB2 BC =.3.：四點(diǎn) A(5, 1), B(3, 4),C(1 , 3),D(5, -3),求證：四邊形是梯形.五、小結(jié)(略)六、課后作業(yè)(略)七、板書設(shè)計(略)八、課后記：232平面向量正交分解及坐標(biāo)表示課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、復(fù)習(xí)回憶：平面向量根本定理:理解：(1)我們把不共線向量 ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的 ；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是 ;(3) 由定理可將任一向量a在給出基底ei、e2的條件下進(jìn)行分解；(4) 基底給定時，分解形式. 即入1,入2是被a , e , e2唯一確定的數(shù)

7、量、提出疑惑:如果在平面直角坐標(biāo)系中選定一組互相垂直的向量作為基低，向量分解情況又會如何呢?課內(nèi)探究學(xué)案一、探究學(xué)習(xí)1. 平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a xi yj1O我們把(x, y)叫做，記作a (x, y)-2O其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，02式叫做 與a相等的向量的坐標(biāo)也為(x, y).特別地，i=, j=,0=.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)0為起點(diǎn)作OA a，那么點(diǎn)A的位置由a唯一確定.設(shè)OA xi yj，那么向量0A的坐

8、標(biāo)(x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)(x, y) 也就是向量0A的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1 )假設(shè) a (xi, yi) , b (x2, y2),那么 a b =, a b兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差設(shè)基底為 i、j，那么 a b (xj yi j) (Xzi y2j) 區(qū) X2)i (yi y2)j 即a b =，同理可得a b =.(2)假設(shè) A(xi,yi) , B(X2,y2)，那么 AB X2 為，y? yi一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)AB

9、= OB OA =( x2，y2) (x1, yi)= .(3)假設(shè) a (x, y)和實(shí)數(shù) ，貝y a ( x, y).實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)設(shè)基底為i、j，那么a (xi yj) xi yj，即a(x, y)、講解范例:例 i A(x1, y1),B(x2,y2),ab的坐標(biāo).44片b：=(-3 , 4)，求 a+ b ,a- b , 3a+4 b的坐標(biāo)例2a=(2, i),例3平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A( 2, i), B( i,3), C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個頂點(diǎn)例4三個力Fl (3,4),EI用J*F2 (2,5),F3 (x

10、, y)的合力 Fi + F2 + F3 = 0 ,求F3的坐標(biāo).三、課堂練習(xí)：1.假設(shè) M(3,-2)N(-5 ,-1)且 MP 1 MN , 求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)2假設(shè) A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，那么 AB 2 BC =.3.：四點(diǎn) A(5 ,1),B(3,4),C(1 ,3),D(5,-3),求證：四邊形 ABCD五、小結(jié)(略)六、課后作業(yè)(略)七、板書設(shè)計(略)課后練習(xí)與提高1、 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A時坐標(biāo)為(2 , 3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6 , 5),那么0A: OB=。2、 向量I a |4,的方向與x軸的正方向的夾角是 30°那么a的坐標(biāo)為3、以下各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底是()A. a (0,0), b (1, 2)IB. *( 1,2), b (5,7)C. *(3,5) b(6,10)ID. a(2, 3)b (4, 6)A.不共線B.相等C.同向4、 向量a ( 2,4) b (1, 2)那么a與b的關(guān)系是()D.反向