思維點(diǎn)撥：相交線與平行線

1、思維點(diǎn)撥：相交線與平行線【例1】已知，如圖，直線AB、CD相交于O，OE平分BOD且AOE=150°，你能求出AOC的度數(shù)嗎？【思考與分析】觀察圖形我們可知，AOE與BOE是鄰補(bǔ)角，所以BOE的度數(shù)可求，又由OE是BOD的角平分線可求得 BOD=2BOE，而AOC與BOD是對(duì)頂角，故AOC可求.解： AB是直線（已知），    AOE與BOE 是鄰補(bǔ)角（鄰補(bǔ)角定義）.    AOE+BOE=180°（補(bǔ)角定義）.   又AOE=150°（已知），    B

2、OE=180°-AOE=180°150°=30°（等式性質(zhì)）.    OE平分BOD（已知），    BOD=2BOE（角平分線定義）.    即 BOD=2×30°60°.    AOC與BOD是對(duì)頂角（由圖可知），    AOCBOD（對(duì)頂角相等）.    AOC60°.反思：在思考過(guò)程中抓住角平分線DE與各個(gè)角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.&

3、#160; 【例2】 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OEAB于點(diǎn)O，OF平分AOE，1=15°30，則下列結(jié)論中不正確的是（      ）.    A.2=45°              B.1=3    C.AOD與1互為補(bǔ)角         D.1的余

4、角等于75°30        思考與解: OEAB，AOE=90°.    OF平分AOE，       1與3是對(duì)頂角，1=3.B正確.    AOD與1互為補(bǔ)角.C正確.    1=15°30，1的余角=90°-15°30=74°30.D不正確.故選D.【小結(jié)】我們?cè)谧鲞@類選擇題時(shí)，首先把題中條件與圖形一一對(duì)應(yīng)，然后看每個(gè)結(jié)論是否與

5、條件沖突.【例3】已知，如圖，直線AB、CD互相垂直，垂足為O，直線EF過(guò)點(diǎn)O，DOF32°，你能求出AOE的度數(shù)嗎？   【思考與分析】我們由ABCD可知AOC90°，因此，AOE與EOC 互余.又因?yàn)镋OC與DOF是對(duì)頂角，于是EOC=32°，于是AOE可求. 解法一：直線CD與EF交于O（已知），   EOC=DOF （對(duì)頂角相等）.   DOF32°（已知），      EOC=32°（等量代換）.   AB

6、、CD互相垂直（已知），     AOC90°（垂直定義）.     AOE+EOC=90°.     AOE=90°-EOC=90°-32°=58°.  解法二：直線AB、CD互相垂直（已知），      BOD90°（垂直定義）.      BOF+DOF=90°.      DOF32

7、6;（已知），      BOF=90°-DOF=58°.    直線AB與直線EF交于點(diǎn)O（已知），    AOE=BOF（對(duì)頂角相等）.    AOE58°.     反思：第一種解法先用對(duì)頂角后用互余，第二種解法先用互余后用對(duì)頂角，我們?cè)谄綍r(shí)做題時(shí)也應(yīng)該多想多做，多角度分析解決問(wèn)題.【例4】 如圖3，直線AB與CD相交于點(diǎn)F，EFCD，則AFE與DFB之間的關(guān)系是_.  

8、      【思考與分析】我們由所給的條件EFCD，得CFE=90°，也就是說(shuō)AFEAFC=90°，又根據(jù)對(duì)頂角相等，得AFCDFB，所以AFEDFB=90° .本題也可利用平角的定義來(lái)解，即由 AFEDFBEFD=180°，又因?yàn)镋FD=90°，所以AFEDFB=90°.    解： AFE與DFB互為余角（或AFEDFB=90°）.    【小結(jié)】這類題目的特點(diǎn)是有條件而無(wú)結(jié)論，要從所給的條件出發(fā)，通過(guò)分析、比較、猜想，尋

9、找多種解法和結(jié)論，再進(jìn)行說(shuō)理證明.這類題目具有較強(qiáng)的探索性，思維空間較大且靈活，突破了死記概念的傳統(tǒng)模式.【例5】 平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（      ）對(duì).    A. 4對(duì)   B. 8對(duì)    C. 12對(duì)   D. 16對(duì)    【思考與解】我們可將原圖分解為八個(gè)“三線八角”即“直線AB和CD 被直線EF所截”、“直線AB和CD 被直線GH所截”、“直線EF和GH被直線

10、AB所截”、“直線EF和GH被直線CD所截”、“直線AB和EF被直線GH所截”、“直線EF和CD 被直線GH所截”、“直線AB和GH被直線EF所截”、“直線GH和CD 被直線EF所截”.每一個(gè)“三線八角”都有兩對(duì)同旁內(nèi)角，故原圖中共有16對(duì)，因此選擇D.    【小結(jié)】解這類問(wèn)題，關(guān)鍵是如何用圖形分解法把圖形分成若干個(gè)“三線八角”. 【例題】（1）如圖1，在ABC中，ABC=90°， A=50°，BDAC，則CBD的度數(shù)是           &

11、#176;.        （2）已知：如圖2，直線ABCD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，BEF的平分線與DFE 的平分線相交于點(diǎn)P你能說(shuō)明P=90°嗎？        （3）如圖3，已知ABCD，C=75°，A=25°，則E的度數(shù)為        .         【思考與解】（1）解法一：由題意

12、我們知BDAC.所以ABD+BAC=180°.所以CBD=180°-50°-90°=40°.    解法二：由題意我們知C=90°-A=90°-50°=40°.    又因?yàn)锽DAC.  所以CBD=C=40°.    （2）因?yàn)锳BCD.     所以根據(jù)平行線的性質(zhì)得：BEF+EFD=180°.    又因?yàn)镋P、FP分別平

13、分BEF和EFD.        所以P=180°-（1+2）= 180°-90°=90°.    （3）因?yàn)锳BCD.  所以BFE=C=75°.    所以AFE=180°-BFE= 180°-75°=105°.    所以E=180°-A-AFE=180°-25°-105°=50° 

14、   反思：我們?cè)谧鲞@類題的時(shí)候，一定要想是不是這樣做最簡(jiǎn)單，是不是只有這一種解法？【例6】如圖1，如果B1=250°，那么D    .    【思考與分析】我們通過(guò)觀察圖形，由B1=250°可得ABDC、ADBC，再利用其性質(zhì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得D的度數(shù).    解：因?yàn)锽1，所以ABDC，    所以BBCD=180°，BCD=130°.    又因?yàn)锽2，所以ADBC， &#

15、160;  所以BCDD=180°，D=50°.    反思：我們解題時(shí)用的是同旁內(nèi)角互補(bǔ).還可以利用D1B50°.也可以利用D2B50°.大家可以試一試.            【例7】如圖2，直線l1、l2分別與直線l3、l4相交，1與3互余，3的余角與2互補(bǔ)，4125°，則3       .    思考與解：因?yàn)?與3互余

16、，3的余角與2互補(bǔ)，    所以12180°.    所以l1l2.    所以35180°455°.    反思：我們難以理解的是為什么12180°？我們可由題意列式1390°，90°32180°.兩個(gè)式子相加可得12180°.在解決有關(guān)平行問(wèn)題的時(shí)候，有時(shí)需要添加必要的輔助線，而添加平行線作為輔助線，更是解決此類問(wèn)題好的幫手.下面舉幾例說(shuō)明.    【例8】如圖1

17、所示，直線ab，ACF50°，ABE28°，求A的大小.    【思考與分析】要求A的大小，關(guān)鍵是確定輔助線的位置.于是我們會(huì)想到過(guò)點(diǎn)A作ADb，這樣利用平行線的知識(shí)即可求解.    解：過(guò)點(diǎn)A作ADb，則DACACF50°.    又因?yàn)閍b，    所以ADa.    所以DABABE28°.    所以BACDACDAB50°28°22°，即

18、A的大小是22°.    反思：在解題時(shí)我們做ADb，那么是不是必須要做輔助線呢？我們繼續(xù)思考：A在ABG中，ABE也在ABG中且等于28°，那么只要求出AGB的度數(shù)，就可求A的度數(shù).    【例9】如圖2，ABCD，EO與FO相交于點(diǎn)O，試猜想AEO、EOF、CFO之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.    【思考與分析】由于BEO、EOF、DFO三個(gè)角的位置較散，設(shè)法通過(guò)輔助線使之相對(duì)集中，我們可以考慮ABCD，可以過(guò)點(diǎn)O作MNAB，這樣即可找到三個(gè)角之間的關(guān)系了.由此猜想AEO+CFO+EOF=360°.    解：過(guò)點(diǎn)O作MNAB.    因?yàn)锳BCD，    所以CDMN.    所以AEO+EOM=180°，MOF+CFO=180°.    所以AEO+CFO+EOF=AEO+