2021年中考代數(shù)綜合第11講：以二次函數(shù)為主導(dǎo)的直角三角形的存在性問題

1、2021年中考代數(shù)綜合第11講：以二次函數(shù)為主導(dǎo)的直角三角形的存在性問題【案例賞析】1. 如圖，拋物線y= 工:與 x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交 a 4于點(diǎn)C.(1) 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2) 設(shè)D為拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng) ACD的面積等于 ACB的面積時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3) 假設(shè)直線I過點(diǎn)E (4, 0), M為直線I上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線 I的解析式.2. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y= a (x+1) 2+c (a> 0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為M，假設(shè)直

2、線MC的函數(shù)表達(dá)式為y =kx- 3，與x軸的交點(diǎn)為N,且cos/ BCO ='-(1) 求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2) 求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并在所給坐標(biāo)系中畫出該拋物線；(3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn) P,使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以 NC為一條直角邊的直角三角形？假設(shè)存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.11 1 -丄li 1Q1X-3. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y= k (x2+x- 1)的圖象交于點(diǎn) A (1, k)和點(diǎn) B (- 1,- k).(1) 當(dāng)k =- 2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；(2) 要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求

3、 k應(yīng)滿足的條件以及 x 的取值范圍；(3) 設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為0,當(dāng)厶ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求 k的 值.【專題突破】4. 如圖(1),拋物線y= x2+x- 4與y軸交于點(diǎn)A, E ( 0, b)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E的 直線y= x+b與拋物線交于點(diǎn) B、C.(1) 求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)b = 0時(shí)(如圖(2), ABE與厶ACE的面積大小關(guān)系如何？當(dāng) b>- 4時(shí)，上 述關(guān)系還成立嗎，為什么？(3) 是否存在這樣的b，使得 BOC是以BC為斜邊的直角三角形？假設(shè)存在，求出b;5. 如圖，拋物線y= ax2- 2ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn) C (0, - 2),

4、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 與x軸交于A、B兩點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式.(2) 連接AC , E為直線AC上一點(diǎn)，當(dāng) AOCAEB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和座的值.AB(3) 點(diǎn)F (0, y)是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)y為何值時(shí)，丄二FC+BF的值最小.并求出這個(gè)5最小值.(4) 點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H,當(dāng)FC+BF取最小值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)0,使厶QHF是直角三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理6. 如圖1,拋物線y= ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn) A (- 2, 0), B (6, 0),與y軸交于點(diǎn) C, 頂點(diǎn)為D，直線AD交y軸于點(diǎn)E.(1) 求拋物線的解析式.(

5、2) 如圖2,將厶AOE沿直線AD平移得到厶N(yùn)MP .當(dāng)點(diǎn)M落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).在 NMP移動(dòng)過程中，存在點(diǎn)M使厶MBD為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).7. 如圖，拋物線y = ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A (- 3, 0)和點(diǎn)B (1, 0),交y軸于點(diǎn)C.(1) 求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1, 0),點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP 面積的最大值.(3) 點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)，使厶MNO為等腰直P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1) 求拋物線解析式；(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， P

6、AB的面積最大？(3) 過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段 AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PE/ x軸交拋物線于點(diǎn)E, 連接DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn) P使厶PDE為等腰直角三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；假設(shè)9. 如圖，拋物線 y= ax2+bx-2 (a豐0 )與x軸交于A (- 3, 0), B (1, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=- x與該拋物線交于 E, F兩點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式.(2) P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH丄EF于點(diǎn)H，求PH的最大值.(3) 以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，OC上是否存在點(diǎn) M，使得 BCM是以CM為直角邊的直角三角形？假設(shè)存在，直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)

7、不存在，說明理由.10. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y= ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0, 6),與 x 軸交于點(diǎn) B (- 2, 0), C (6, 0).(1) 直接寫出拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；(2) 如圖2，連接AB, AC,設(shè)點(diǎn)P ( m, n)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且 在對(duì)稱軸右側(cè)，過點(diǎn) P作PD丄AC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PG / AB交AC于 點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G .設(shè)線段DG的長(zhǎng)為d,求d與m的函數(shù)關(guān)系式，并注明 m的取值 范圍；(3) 在(2 )的條件下，假設(shè) PDG的面積為 ，1仃丨 求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 設(shè)M為直線AP上一動(dòng)點(diǎn)，

8、連接 OM交直線AC于點(diǎn)S,那么點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，在拋物線上是否存在點(diǎn) R,使得 ARS為等腰直角三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)R的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.A/1 jSi x1 0D G x圖I【參考答案】1. 如圖，拋物線y= 八 一一 :與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交84于點(diǎn)C.(1) 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2) 設(shè)D為拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)ACD的面積等于 ACB的面積時(shí), 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3) 假設(shè)直線I過點(diǎn)E(4，0)，M為直線I上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線I的解析式.(1) A、B點(diǎn)為拋物線與x

9、軸交點(diǎn)，令y= 0，解一元二次方程即可.(2) 根據(jù)題意求出 ACD中AC邊上的高，設(shè)為h.在坐標(biāo)平面內(nèi)，作 AC的平行線， 平行線之間的距離等于 h.根據(jù)等底等高面積相等，可知平行線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的D點(diǎn)從一次函數(shù)的觀點(diǎn)來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成因此先求出直線 AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式， 從而求得D點(diǎn)坐標(biāo)注意：這樣的平行線有兩條，如答圖 1所示.(3) 本問關(guān)鍵是理解“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)的含義.因?yàn)檫^A、B點(diǎn)作x軸的垂線，其與直線 I的兩個(gè)交點(diǎn)均可以與 A、B點(diǎn)構(gòu)成直角 三角形，這樣已經(jīng)有符合題意

10、的兩個(gè)直角三角形；第三個(gè)直角三角形從直線與圓的位置 關(guān)系方面考慮，以 AB為直徑作圓，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，根據(jù)圓周角定理，切點(diǎn)與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.從而問題得解.注意：這樣的切線有兩條，如答圖2所示.方法二：(1) 略.(2) 利用三角形面積公式，水平底與鉛垂高乘積的一半得出D點(diǎn)的坐標(biāo).(3) 以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，OF與直線I相切，通過連接切點(diǎn)，利用三角函數(shù)可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線I的解析式，注意兩種情況，以防漏解.(1) 令 y= 0，即【解答】方法 解: 解得 Xi=- 4, X2= 2,-二二.的對(duì)稱軸是直線 A、B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 A (- 4, 0 )

11、、B (2, 0).(2)拋物線y=即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1 ,& ACB=KAB?OC= 9,在 Rt AOC 中，AC =Q亡 +0C '= J以十3 ' = 5,設(shè)厶ACD中AC邊上的高為h,那么有AC?h= 9,解得h - .25如答圖1,在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC,且到AC的距離=h =.，這樣的直線有 25條，分別是11和|2，那么直線與對(duì)稱軸X=- 1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)1 QD .設(shè)I1交y軸于E,過C作CF丄11于F，貝U CF = h=，0), C (0, 3)坐標(biāo)代入,5得到駕冋解得b=3直線AC解析式為y = x+3 .直線11可以看做直線 AC

12、向下平移CE長(zhǎng)度單位個(gè)長(zhǎng)度單位)而形成的,直線11的解析式為12CE =CF.CP.5siaZCEFsinZQCA'45設(shè)直線AC的解析式為y= kx+b，將A (- 4,3 =924那么Di的縱坐標(biāo)為'- 1)4二 Di (- 1 ,).同理，直線AC向上平移丄個(gè)長(zhǎng)度單位得到12，可求得D2 ( - 1, 綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：Di (- 1, 一黑),D2 (- 1 , -).44(3) 如答圖2,以AB為直徑作O F，圓心為F .過E點(diǎn)作O F的切線，這樣的切線有 2 條.連接FM，過M作MN丄x軸于點(diǎn)N.A (- 4, 0), B (2, 0), F (- 1, 0)

13、, O F 半徑 FM = FB =3.又T E ( 4, 0),在 Rt MEF 中，ME =sin/ MFE =,cos/ MFE =在 Rt FMN 中，MN = MF?sin/ MFE = 3X125,FN =M點(diǎn)坐標(biāo)為(,貝U ON =MF?cos/ MFE = 3X)12直線 l 過 M, ) , E (4, 0),'5 '設(shè)直線I的解析式為y= kx+b，那么有“亍彷丁，解得，所以直線l的解析式為y=jlx+3 .44，>=3同理，可以求得另一條切線的解析式為綜上所述，直線I的解析式為y=y= >- 3.4Ix+3 或 y= x -43.方法二:(1)

14、略. FE = 5,設(shè)D (- 1 , t),過點(diǎn)D作x軸的垂線，交AC與H ,/ A(-4, 0), C (0, 3),QIac: y=+3 , H (- 1, 一)，44Saadc=(c耳I D*-Hy | ABx OC = 9, Dy=-D1 (- 1,9號(hào)，D2 (- 1，27)(3)以A、B、M為頂點(diǎn)所作直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，O F與直線l相切，設(shè)切點(diǎn)為M,連接FM , 那么 FM 丄 I，在 Rt EFM 中，F(xiàn)M = 3, FE = 5 ,4 EM= 4, tan/ MFE =,3 sin/ MFE = ±, cos/ MFE =,55/ FM = 3 , My=

15、FM X sin/MFE= 3XMx=FMX cos/ MFE - OF = 3X35即 M(f 二),E (4 , 0),直線l還可以是:T-3【點(diǎn)評(píng)】此題解題關(guān)鍵是二次函數(shù)、一次函數(shù)以及圓等知識(shí)的綜合運(yùn)用難點(diǎn)在于第(3)問中對(duì)于“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)條件的理解，這可以從直線與圓的位置關(guān)系方面入手解決.此題難度較大，需要同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫穿、靈活運(yùn)用.2. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線 y= a (x+1) 2+c (a> 0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為M，假設(shè)直線MC的函數(shù)表達(dá)式為y =kx- 3，與x軸的交

16、點(diǎn)為N,且 cos/ BCO =(1) 求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2) 求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并在所給坐標(biāo)系中畫出該拋物線;(3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn) P,使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以 NC為一條直角邊 的直角三角形？假設(shè)存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】(1)利用一次函數(shù) y= kx-3求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2) 利用cos/ BCO=-先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式，并畫出| 10圖象；(3) 分兩種情況討論： N為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用直線 MC和直線DN的解析式求出兩個(gè) 點(diǎn)P的坐標(biāo)；C為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用兩個(gè)等腰直角三角形求出點(diǎn)A就是符合條件的點(diǎn) P.【解答】 解

17、 (1)在y = kx- 3中，當(dāng)x= 0時(shí)，y =- 3,點(diǎn) C (0,- 3),(2) 點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，結(jié)合題意知，點(diǎn)B在x軸的右半軸，連接 BC,在 Rt BOC 中，T cos/ BCO =匹=丄，BC BC又 cos/ BCO=旳 10,10 BC=_!, OB=J肚匚0嚴(yán)=(何)f = 1，- B (1, 0),點(diǎn) B (1, 0)、C (0, - 3)在拋物線 y = a ( x+1) 2+c 上，qia+c="3拋物線的解析式為：y=( x+1) 2- 4 = x2+2x - 3,拋物線如圖1所示；假設(shè)存在符合條件的點(diǎn) P,那么可能有下面兩種情況:假設(shè)PN為另一條

18、直角邊，那么點(diǎn) N為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn) N作直線MN的垂線，交y軸于點(diǎn) D，交拋物線于點(diǎn) P,點(diǎn)M (- 1,- 4)在直線 MC上，- 4=- k- 3, 即卩 k= 1,直線MC的函數(shù)表達(dá)式為 y= x - 3,當(dāng) y= 0 時(shí)得 x= 3,. N (3, 0),OC = ON= 3,./ CNO = 45°,/ DNO = 90°- 45°= 45°,OD = ON= 3,. D ( 0, 3),設(shè)直線ND的函數(shù)表達(dá)式為 y= mx+n,由嚴(yán)如丸解得|n=3直線 ND的函數(shù)表達(dá)式為 y =- x+3,設(shè)P (x,- x+3),代入拋物線的解析式得:-x

19、+3 = x2+2x- 3 , x2+3x - 6= 0 ,-3-V33xi刈=債,x肓'2 ，9-V339W331-2'吋2滿足條件的點(diǎn)為Pi (-3+<332r z-3-V33P2 (假設(shè)PC是另一直角邊，那么點(diǎn) C為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn) C作直線CN的垂線，交拋物線于點(diǎn)P ,點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn) A的坐標(biāo)是(-3, 0),連接AC,/ OA= OC,./ OCA= 45°,又/ OCN = 45°,/ ACN= 90° ,點(diǎn)A就是所求的點(diǎn) P,- p3 (- 3, 0),綜上所述：在拋物線上存在滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)，分別是:2),P

20、3 (- 3，0 )【點(diǎn)評(píng)】此題前兩問比擬簡(jiǎn)單，結(jié)合圖象考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，并與一次函數(shù)和三角函數(shù)有機(jī)地結(jié)合；第三問較為復(fù)雜，有分類討論的思想，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還考查了利用函數(shù)求與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；要注意利用函數(shù)的解析式來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，綜合性較強(qiáng).(1, k)3. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y = k (x2+x- 1)的圖象交于點(diǎn) A和點(diǎn) B (- 1,- k).(1) 當(dāng)k =- 2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；(2) 要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求 k應(yīng)滿足的條件以及 x 的取值范圍；(3) 設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為 0,當(dāng)厶ABQ是以

21、AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求 k的 值.【分析】方法一：(1) 當(dāng)k =- 2時(shí)，即可求得點(diǎn) A的坐標(biāo)，然后設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，禾憫x待定系數(shù)法即可求得答案；(2) 由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是 y隨著x的增大而增大，可得 kv 0，又由二次函數(shù)y =k (x2+x- 1)的對(duì)稱軸為x=-，可得XV -時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大；(3) 由厶ABQ是以AB為斜邊的直角三角形， A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得0Q = OA = OB,又由Q (-k),即可得=-，繼而求得答案.方法二:(1) 略.(2) 根據(jù)反比例函數(shù)及二次函數(shù)的增減性得出k及

22、x的取值范圍.(3) 設(shè)參數(shù)Q點(diǎn)坐標(biāo)，由于 AB為斜邊，得出 AQ垂直BQ，利用黃金法那么二列式便可 求解.(4) 列出A, B, C三點(diǎn)參數(shù)坐標(biāo)，利用黃金法那么二列式便可求解.【解答】方法一： 解：(1)當(dāng) k=- 2 時(shí)，A (1, - 2),/ A在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y= 代入A (1 , - 2)得：-2 =十， 解得：m =- 2,反比例函數(shù)的解析式為:(2) 要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大， kv 0,二次函數(shù) y= k (x2+x- 1) = k (x+二)2-，對(duì)稱軸為：直線 x=-丄，242要使二次函數(shù)y= k (x2+x - 1)滿

23、足上述條件，在kv 0的情況下，x必須在對(duì)稱軸的左邊,即xv-二時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大，綜上所述，kv 0且XV-£；(3) 由(2)可得：Q (-丄，-二k), ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，(如圖是其中的一種 情況)原點(diǎn)0平分AB, - 0Q = 0A= OB ,作 BD 丄 OC, QC 丄 0C,方法(1) 略.略.(3)拋物線的頂點(diǎn)),A (1, k), B (- 1,- k), ABQ是以AB為斜邊的直角三角形, AQ 丄 BQ,-KaqX Kbq=- 1 ,16 k 4方法二追加第(4)問：點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且 C點(diǎn)坐標(biāo)為(2k,

24、 0),當(dāng)厶ABC是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求K的值.(4) ABC是以AB為斜邊的直角三角形， AC丄 BC,KacX Kbc= 1,A (1, k), B ( 1, k) , C (2k , 0), k-0-k-0"l-2k -l-2k 3k2= 1 ,kJ1O°k X¥【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4. 如圖(1),拋物線y= x2+x- 4與y軸交于點(diǎn)A, E ( 0, b)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E的 直線y= x+b與拋物

25、線交于點(diǎn) B、C.(1) 求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)b = 0時(shí)(如圖(2), ABE與厶ACE的面積大小關(guān)系如何？當(dāng) b>- 4時(shí)，上 述關(guān)系還成立嗎，為什么？(3) 是否存在這樣的b，使得 BOC是以BC為斜邊的直角三角形？假設(shè)存在，求出b;【分析】(1)知道拋物線的解析式，要求與y軸的交點(diǎn)，令 x = 0就能求得.(2) 當(dāng)b = 0時(shí)，直線為y= x，聯(lián)立兩方程式解得交點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積公式分別求出兩三角形的面積.當(dāng) b>- 4時(shí)，仍然聯(lián)立方程解坐標(biāo)，作 BF丄y軸，CG丄y軸，垂足 分別為F、G，解得BF和CG的值，再由面積公式求面積值.(3) 由 BF = CG，/ B

26、EF = / CEG，/ BFE = / CGE = 90°，可證 BEF CEG，可知BE = CE，即E為BC的中點(diǎn)，當(dāng) 0E = CE時(shí)， OBC為直角三角形，解三角形得到答案.【解答】解: 1將x = 0,代入拋物線解析式，得點(diǎn) A的坐標(biāo)為0,- 4,2當(dāng)b = 0時(shí)，直線為y= x, B、C的坐標(biāo)分別為-2，- 2 2亠邂嶺X424,尬冷- SABE= Sa ACE.當(dāng)b >- 4時(shí)，仍有 Sa ABE = Sa ACE成立.理由如下解得七二亠血再y2=-Vb+4-故B、C的坐標(biāo)分別為- '托噸 -、托厲4+b, &十4,丁4十4+b,作BF丄y軸，C

27、G丄y軸，垂足分別為 F、G,那么亠上一I而厶ABE和厶ACE是同底的兩個(gè)三角形,- Saabe= Saace.(3) 存在這樣的b,/ BF = CG，/ BEF = / CEG,Z BFE = Z CGE = 90°, BEFBA CEG , BE= CE,即E為BC的中點(diǎn),當(dāng) OE = CE 時(shí)，OE =此時(shí) OBC為直角三角形."nil . I I :-, W 訂；：，而 OE = |b|,解得 bi = 4, b2 =- 2,當(dāng)b= 4或-2時(shí)， OBC為直角三角形.是一道綜合性很強(qiáng)的習(xí)題，做題需要細(xì)心.),5. 如圖，拋物線y= ax2- 2ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)

28、 C (0, - 2),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,與x軸交于A、B兩點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式.(2)連接AC , E為直線AC上一點(diǎn)，當(dāng) AOCAEB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和AEAB的值.(3)點(diǎn)F (0, y)是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) y為何值時(shí),-FC+BF的值最小.并求出這個(gè)最小值.(4)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H,當(dāng)+ BF取最小值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)0,使厶QHF是直角三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】(1)將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解;(2)當(dāng)厶 AOCAEB 時(shí),2=尋，求出yE=，由AOC saeb得：里即可求解；AC AB V5(

29、3) 如圖2，連接BF，過點(diǎn)F作FG丄AC于G,當(dāng)折線段BFG與BE重合時(shí)，取得最 小值，即可求解；(4) 當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，由 Rt QHM s Rt FQM得：QM2 = HM ?FM ;當(dāng)點(diǎn)H 為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) H ( 0, 2),那么點(diǎn)Q (1, 2);當(dāng)點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得：點(diǎn)Q "，號(hào)【解答】解：(i)由題可列方程組：，解得7 24拋物線解析式為：y= x2 - x-2;R-JR-J(2)由題，/ AOC= 90°, AC=7, AB = 4,設(shè)直線AC的解析式為：y= kx+b，那么kZ,解得：fk-2b=-2直線 AC的解析式為：y=- 2x- 2;

30、-SAOC = 1 ,S AEB =當(dāng)厶AOCs AEB時(shí)L/.r叭-片AcJ圉116 TX |yE|= ,AB = 4,貝 V yE=-那么點(diǎn)E ；由厶AOCs AEB得:一 .- ;AB 53如圖2,連接BF，過點(diǎn)F作FG丄AC于G ,貝U FG = CFsin / FCG =5+ BF = GF + BF > BE,當(dāng)折線段BFG與BE重合時(shí)，取得最小值,由2可知/ ABE=Z ACO2BE= ABcosZ ABE = ABcosZ ACO= 4 X -|y|= OBta n Z ABE= OBta nZ ACO= 3X.當(dāng) y=即點(diǎn)F 0,-亠，-J-CF + BF有最小值為25

31、4當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)如圖3:由3易得 F 0 ,-：-,£過點(diǎn)設(shè) Q (1, m),Q作QM丄y軸于點(diǎn)M .貝U Rt QHM s Rt FQM QM2= HM?FM ,12 = 2 - m m+-解得：m= r盂,4那么點(diǎn) Q 1, U 或1,'AA當(dāng)點(diǎn)H為直角頂點(diǎn)時(shí)：點(diǎn) H 0，2，那么點(diǎn) Q 1，2；當(dāng)點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)時(shí)：同理可得：點(diǎn)Q 1- 土；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：1, 丫二或1,或Q 1, 2或Q 1,-一.442【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、點(diǎn)的對(duì)稱性、三角形相似、圖形的面積計(jì)算等，其中4,要注意分類求解，防止遺漏.6. 如圖1,拋物線y=

32、ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn) A - 2, 0, B 6, 0,與y軸交于點(diǎn) C, 頂點(diǎn)為D，直線AD交y軸于點(diǎn)E.1求拋物線的解析式.2如圖2,將厶AOE沿直線AD平移得到厶N(yùn)MP . 當(dāng)點(diǎn)M落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo). 在 NMP移動(dòng)過程中，存在點(diǎn)M使厶MBD為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).1JV圖112【分析】(1)拋物線的表達(dá)式為：y= a (x+2) (x-6) = a (x2- 4x- 12)= ax2- 4ax-12a，即：-12a= 6，即可求解；(2) 將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解)；分/ BMD為直角、/ MBD為 直角、/ MDB為直角三種情

33、況，分別求解即可.【解答】 解 (1)拋物線的表達(dá)式為：y= a (x+2) (x- 6)= a (x2- 4x- 12)= ax2- 4ax-12a,即：-12a = 6,解得：a=-丄，故拋物線的表達(dá)式為：y=- 7X2+2x+6 ,令 y= 0,解得：x= 4 或-2,故點(diǎn) A (- 2, 0),函數(shù)的對(duì)稱軸為：x= 2，故點(diǎn)D ( 2, 8);(2)將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y= mx+ n得：* "口如，解得：口 ,A-a._I j|故直線AD的表達(dá)式為：y = 2x+4,設(shè)點(diǎn) N (n, 2n+4),MN = OA= 2,那么點(diǎn) M (n+2, 2n+4), 將

34、點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：2n+4 =寺(n+2) 2+2 (n+2) +6 ,解得：n=- 2± 2:，故點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2 :，4 ."：)或(-2 :，- 4；); 點(diǎn)M (n+2, 2n+4),點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為(6, 0)、(2, 8),那么 BD2=( 6- 2) 2+82, MB2=( n-4) 2+ (2n+4) 2, MD2= n2+ (2n - 4) 2,當(dāng)/ BMD為直角時(shí)，由勾股定理得：(6 - 2) 2+82=( n- 4) 2+ (2n+4) 2+n2+ (2n - 4) 2,解得：nH5當(dāng)/ MBD為直角時(shí)，同理可得：n=- 4, 當(dāng)/

35、 MDB為直角時(shí),同理可得：n=二o故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(-2, - 4 )或(丄丄，)或)或(-,33555軸-4阿)5【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、勾股定理的運(yùn)用等，其中(2)，要注意分類求解，防止遺漏.7. 如圖，拋物線y = ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A (- 3, 0)和點(diǎn)B (1, 0),交y軸于點(diǎn)C.(1) 求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1, 0),點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP面積的最大值.(3) 點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)，使厶MNO為等腰直N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.角三角形，且/

36、MNO為直角？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)【分析】(1)拋物線的表達(dá)式為：y= a (x+3) (x- 1) = a (x2+2x- 3)= ax2+2ax- 3a,即-3a= 2,即可求解;(2) S四邊形 ADCP= SAPO+SxCPO - SaODC，即可求解；(3) 分點(diǎn)N在x軸上方、點(diǎn) N在x軸下方兩種情況，分別求解.【解答】解：(1)拋物線的表達(dá)式為：y= a (x+3) (x - 1 )= a (x2+2x- 3) = ax2+2ax-3a,即-3a = 2,解得：a=-故拋物線的表達(dá)式為：y=- =x2-丄x+2,33那么點(diǎn)C (0, 2),函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=- 1;一一-x+2

37、)3XAOX yp+ X OCX |xp|-咅X CO X ODX 2X(- x)- *乂 2X =-x2 - 3x+2,- 1v 0,故S有最大值，當(dāng)x=5, S的最大值為亠.3存在，理由: MNO為等腰直角三角形，且/ MNO為直角時(shí)，點(diǎn) N的位置如下列圖所示:當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，點(diǎn)N的位置為Ni、N2，Ni 的情況 MiNiO：12 a設(shè)點(diǎn)Ni的坐標(biāo)為x，石x2-石x+2,貝V MiE = x+1 ,過點(diǎn)Ni作x軸的垂線交 x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn) Mi作x軸的平行線交 NiF于點(diǎn)E,/ FNiO + Z MiNiE = 90°,/ MiNiE+Z EMiNi= 90°,./

38、 EMiNi=Z FNiO ,/ MiENi=Z NiFO = 90° , ONi = MiNi,2+2,解得：x =舍去負(fù)值， MiNiEA NiOF (AAS), / MiE = NiF,即：x+i =那么點(diǎn)Ni 土逗仝魚4N2的情況M2N2O ):同理可得：點(diǎn)-1-V73-37344N2 ();當(dāng)點(diǎn)N在同理可得：點(diǎn)x軸下方時(shí)，點(diǎn) N的位置為N3、N4,円亠岳N3、N4的坐標(biāo)分別為:-7V73-3734 ,4綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或)4-3-V73亠岳44(-lW73-VT3)、(r_丿；仝魚或也亟441厶亠或【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性

39、質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中3，要注意分類求解，防止遺漏.8. ：如圖，拋物線y = ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B -3,0,C 1,0,點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).1求拋物線解析式；2 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， PAB的面積最大？3 過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段 AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PE/ x軸交拋物線于點(diǎn)E,連接DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn) P使厶PDE為等腰直角三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)【分析】1用待定系數(shù)法即可求拋物線解析式.2設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)P作PF / y軸交AB于點(diǎn)F，求直線AB解析式，即能用t表示點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而表示 PF的長(zhǎng).把 PAB分成 PAF與

40、厶PBF求面積和，即得到厶PAB面積與t的函數(shù)關(guān)系，配方即得到 t為何值時(shí)， PAB面積最大，進(jìn)而求得此時(shí)點(diǎn) P坐標(biāo).3設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,即能用t表示PD的長(zhǎng).根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn) P、E關(guān)于拋物線對(duì) 稱軸對(duì)稱，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得用 t表示點(diǎn)E橫坐標(biāo)，進(jìn)而用t表示PE的長(zhǎng)注意點(diǎn)P、E左右位置不確定，需分類討論.由于 PDE要成為等腰直角三角形，/ DPE = 90°,所以PD = PE,把含t的式子代入求值即得到點(diǎn) P坐標(biāo).【解答】解(1)：拋物線y=ax2+bx+3過點(diǎn)B (- 3, 0), C (1, 0)a+b+3-O拋物線解析式為解得:b=-2y=- x2- 2x+3(2)過點(diǎn)P

41、作PH丄x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)FT x= 0 時(shí)，y=- x2 - 2x+3 = 3 A (0, 3)直線 AB解析式為y= x+3點(diǎn)P在線段AB上方拋物線上設(shè) P (t,- t2- 2t+3) (- 3 v t v 0) F (t, t+3) PF =- t2- 2t+3 -(t+3)=- t2 - 3t Spab= Sapaf+Spbf= 2pF?0H+ 2pF?BH = PF?OB=纟(-t2 - 3t)=-孚(t+)2 2 2 2 2 22+瑪點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為(- A ), PAB面積最大24(3) 存在點(diǎn)P使厶PDE為等腰直角三角形設(shè) P (t,- t2- 2t+3) (- 3 v

42、t v 0),貝 U D (t , t+3) PD =- t2- 2t+3 -(t+3 )=- t2- 3tT拋物線 y=- x2- 2x+3 =-( x+1) 2+4對(duì)稱軸為直線 x=- 1T PE / x軸交拋物線于點(diǎn)E yE= yp ,即點(diǎn)E、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱Xe= 2 xp =- 2 t二 PE= |Xe xp|= | 2 2t| PDE為等腰直角三角形，/ DPE = 90 ° PD = PE 當(dāng)3v t <- 1 時(shí)，PE =- 2 2t- t2- 3t=- 2 2t解得：b= 1 舍去，t2=- 2 P 2, 3 當(dāng)1v t v 0 時(shí)，PE= 2+2t- t2-

43、 3t= 2+2t解得：tl =仝蟲，t2=-去阿舍去 P吒/T-5+3V172，2綜上所述，點(diǎn) P坐標(biāo)為-2, 3或 f，"宀時(shí)使 PDE為等腰直角2 2三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求二次函數(shù)最值，等腰直角三角形的性質(zhì), 中點(diǎn)坐標(biāo)公式，一元二次方程的解法分類討論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意討論求得的解是否 符合分類條件，是否需要舍去.9. 如圖，拋物線 y= ax2+bx-2 (a豐0 )與x軸交于A (- 3, 0), B (1, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=- x與該拋物線交于 E, F兩點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式.(2) P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

44、作PH丄EF于點(diǎn)H，求PH的最大值.(3) 以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，OC上是否存在點(diǎn) M，使得 BCM是以CM為直角邊的直角三角形？假設(shè)存在，直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；(2) 先判斷出過點(diǎn)P平行于直線EF的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，PH最大，再求 出此直線I的解析式，即可得出結(jié)論；(3) 分兩種情況： 當(dāng)/ BMC = 90°時(shí)，先求出 BM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出 BD , DM 1的長(zhǎng), 再構(gòu)造出相似三角形即可得出結(jié)論；當(dāng)/ BCM = 90°時(shí)，利用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)M3的坐標(biāo)，最后用對(duì)稱的性質(zhì)得出點(diǎn)M4的坐標(biāo)，

45、即可得出結(jié)論.【解答】 解(1)：拋物線y= ax2+bx- 2 (a工0)與x軸交于A (- 3, 0), B (1, 0)兩點(diǎn),r9a-3b-2=S、a+b-2=0拋物線的解析式為炸二x2-Lx-2 ；2如圖1,過點(diǎn)P作直線I，使I / EF，過點(diǎn)0作0P'丄I,當(dāng)直線I與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),PH最大，等于0P',直線EF的解析式為y=- x,設(shè)直線I的解析式為y=- x+m，拋物線的解析式為2 .1 y=n +X- 2,、,2聯(lián)立化簡(jiǎn)得,37x - 2 - m = 0,x( 2 - m)= 0,:1,I 的解析式為 y=- x97-，令 y = 0,貝U x=- M -

46、士， 0，0M =在 Rt OP'M 中，OP'=：上48.PH最大=-：(3) 當(dāng)/ CMB = 90°時(shí)，如圖 2, BM是O O的切線，TO C 半徑為 1, B (1 , 0),BM2/y 軸，/ CBM2 =/ BCO, M2 (1,- 2), BM2= 2,T BM1與BM2是OC的切線， BM1= BM2= 2，/ CBM1=Z CBM2, / CBM1=Z BCO , BD = CD , 在 Rt BOD 中，OD2+OB2= BD2, OD2+1 =( 2 - OD) 2, ODr bd4， DMi = -過點(diǎn)Mi作MiQ丄y軸， M1Q/ x 軸，

47、 BODMiQD ,"I廠_屮，35.1 二 JT 譏亍丁4MiQ 十, b6當(dāng)/ BCM = 90°時(shí)，如圖 3, / OCM3+ / OCB = 90°,/ OCB+ / OBC= 90°, / OCM 3=Z OBC ,在 Rt BOC 中，OB= i, OC = 2,nr tan/ OBC=竺=2,OB tan/ OCM 3 = 2,過點(diǎn)M3作M3H丄y軸于H , 在 Rt CHM3 中，CM3= i,設(shè) CH = m,貝U M3H = 2m,根據(jù)勾股定理得，m2+ (2m) 2= i,m=255. M3 (-蘭逅二 M3H = 2m =,0H=

48、0C-CH=2-Vs5-2),5而點(diǎn)M4與M3關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,2),即：滿足條件的點(diǎn)-)或 (1,5-2).【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行線的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出相似三角形是解此題的關(guān)鍵.10. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y= ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0, 6),與 x 軸交于點(diǎn) B (- 2, 0), C (6, 0).(1) 直接寫出拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；(2) 如圖2，連接AB, AC,設(shè)點(diǎn)P ( m, n)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且 在對(duì)稱軸右側(cè)，過點(diǎn) P作PD丄AC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PG / AB交AC于 點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G .設(shè)線段DG的長(zhǎng)為d,求d與m的函數(shù)關(guān)系式，并注明 m的取值 范圍；(3) 在(2 )的條件下，假設(shè) PDG的面積為 =,1 Q I 求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 設(shè)M為直線AP上一動(dòng)點(diǎn)，連接 OM交直線AC于點(diǎn)S,那么點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，在拋物線上是否存在點(diǎn) R,使得 ARS為等腰直角三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)R的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.解析式用配方法或公式求得對(duì)稱軸.2 過點(diǎn)P作PH丄x軸于點(diǎn)H ,由PD丄AD于點(diǎn)E易證/ PDH = 45° ,故DH = PH = n.由PG/ AB易證 PGHABO，利