2022年2022年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)39：線段、角的相等關(guān)系

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,細(xì)心整編吐血舉薦、 如如有用請(qǐng)打賞支持,感謝不盡！初 中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（39） 線段.角的相等關(guān)系一.內(nèi)容提要證明線段.角的相等,在直線形中,最常用的方法為找全等三角形或等腰三角形,如沒(méi)有現(xiàn)成的,就要引幫助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形；構(gòu)造全等三角形, 要充分利用已知條件中的對(duì)應(yīng)相等關(guān)系,添引幫助線要有利于增加對(duì)應(yīng)相等的元素,要留意總結(jié)幫助線的規(guī)律,觀看兩個(gè)三角形全等時(shí)的一般位置特點(diǎn)（如翻轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn).平移等）一. 證明兩條線段相等常用的定理1. 在同一個(gè)三角形中,證明等角對(duì)等邊；2. 在兩個(gè)三角形中,證明全等；3. 在平行線圖形中

2、應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)用平行線等分線段定理精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4. 運(yùn)用比例式證明相等：如xyaa就 x=y； 如 xyy 就 x=yx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5. 應(yīng)用等量代換.等式性質(zhì)二. 證明兩個(gè)角相等常用的定理1. 在同一個(gè)三角形中,證明等邊對(duì)等角；2. 在兩個(gè)三角形中,證明全等或相像；3. 在平行線圖形中用平行四邊形的對(duì)角相等行線的同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等邊分別相互平行（或垂直）的兩個(gè)銳角（或兩個(gè)鈍角）相等角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等用等量代換.等式性質(zhì)二.例題例 1. 證明等腰梯形的判定定理“同一底上兩個(gè)角相等的梯形為等腰梯形” 已知

3、：梯形 abcd中, ab cd, a b求證： adbc下面供應(yīng)三種基本證法：1. 把 bc.ad集中到同一個(gè)三角形,證它等腰三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載幫助線為：過(guò)點(diǎn)d 作 debc,我們稱它為“平移”bcde為平行四邊形,可證dae為等腰三角形2. 以 bc.ad為對(duì)應(yīng)邊,構(gòu)造兩個(gè)全等三角形,為增加對(duì)應(yīng)相等的元素,幫助線為：作兩條高cm和 dn,依據(jù)夾在平行線間的平行線段相等,可用角角邊證全等；3. 由 a b,可造等腰三角形,運(yùn)用比例式性質(zhì)證明,幫助線為：分別延長(zhǎng)ad和 bc交于 p； pdcdcdcaebanmbab例 2. 已知：在梯形abcd中, ab

4、cd,ac和 bd相交于 o、ad.bc的延長(zhǎng)線相交于p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證： po平分 ab證明：設(shè) po延長(zhǎng)線交 ab于 e,交 cd于 fab cdpdfc o精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 dfpf cf cf co df 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ae×得pebe dfcfaeaocfdfbeaeb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ae 2be 2ae2 be2ae0,be0ae be,即 po平分 ab例 3. 已知： abc中, ac3ab, af

5、為 a 的平分線, 過(guò)點(diǎn) c 作 cd af,d 為垂足求證： ad被 bc平分a證明：以 ad為軸作 adc的對(duì)稱三角形adeb那么 de dc,aeac 3ab, be2abgf取 be的中點(diǎn) g,連結(jié) dgec就 dgbc, abbgdaffd,即 ad被 bc平分例 4. 已知：在 abc中,分別以ab.ac為斜邊作等腰直角三角形abm,和 can,p 為邊 bc的中點(diǎn)求證： pm pn證明：取 ab中點(diǎn) q,ac中點(diǎn) ra連結(jié) pq,pr,mq, nrqrmbpc n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pqac,pq1 ac nr2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

6、下載prab,pr mqpqm prn（兩邊分別垂直） pqm nrp,pmpn例 5. 已知：四邊形abcd中 adbc,e,f 分別為 ab.cd的中點(diǎn),延長(zhǎng) ad, bc和 ef 的延長(zhǎng)線分別交于g,h求證： age bheh證明：連結(jié) ac,取 ac的中點(diǎn) p,連結(jié) pe,pfgpe為 abc的中位線,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pebc,pe1 bc,c2f精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同理 pfad, pf1 add2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 pef bhe, pfe agekeaadbc, pepf, pef pfeba

7、ge bhe例 6. 已知： abc中, art,點(diǎn) o為正方形 bcde對(duì)角線的交點(diǎn)求證： ao為 a 的平分線證明：過(guò)點(diǎn) o作 of oa交 ac的延長(zhǎng)線于 fa abc, fco都為 aco的補(bǔ)角 abc fcocb aob, foc都為 aoc的余角faob focod又 oboce abo fcoao fo,f oaf45ao為 a 的平分線（ fco為 abc繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90 后的位置）又證： bac boc180acb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a,b,o,c 四點(diǎn)共圓,過(guò) aboc四點(diǎn)作幫助圓,在這個(gè)圓中 弦 ob 弦 oc 弧 ob 弧 oc圓周角 bao o

8、ac即ao為 a 的平分線三.練習(xí) 391. 在等邊 abc的邊 ab, bc,ca上分別截取adbecf,連結(jié) ae,bf, cd它們兩兩相交于p,q, r,就 pqr也為等邊三角形2. 已知：如圖abac, adae求證： af平分 bac3. 如圖 p,q,r為等邊三角形abc三邊的中點(diǎn), m為 bc上的任意點(diǎn), 以 pm為一邊作等邊三角形pmn,就 rn qm4. 如圖 abd, bce都為等邊三角形,adef為平行四邊形,就caf也為等邊三角形aaedendf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lprfzat精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

9、資料 - - - 歡迎下載bcbqmcbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5. 四邊形 abcd中, acbd, e, f 分別為 ad,bc的中點(diǎn),求證： ef 和 ac,bd相交所成的兩個(gè)銳角相等6. 銳角三角形abc中,以 ab,ac為邊作兩個(gè)正方形abde,acfg,高 ah的延長(zhǎng)線交eg于 m,求證： memg, am 1 bc27. abc的 c rt, a30,以 ab,ac為邊向形外作等邊三角形abd,ace,求證de被 ab平分8. 等腰直角三角形abc中, art, be為中線, ad be交 bc于 d,交 be于 f,求證： aeb dec9. 等腰直角三

10、角形abc中, art, ad bc,且 bd bc,設(shè) bd和 ac相交于 e,求證 cd ce精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10. abc中, ad為高,如 abdcacbd,就 abac11. d, e 分別在等邊三角形abc的邊 ba,bc的延長(zhǎng)線上, ad be求證 dc de12. 正方形 abcd中, e, f 分別在 bc,cd上且 eaf45 , ah為 aef 的高,求證ah ab13. 梯形 abcd中, abcd, mnab交 ad于 m,交 bc于 n交 ac于 e,交 bd于 f 就 me nf14. 正方形 abcd中, e, f 為 ab延長(zhǎng)線上的兩個(gè)點(diǎn),bebc,bf bd,df交 bc于 g,交 ce于 h 求證： ch cb,hghf練習(xí) 39 參考答案：1.先 abe bcf cad, 2. 三次全等, 3. 證 pqm prn4. abc dbe, bac daf bde def60 1801.取 cd的中點(diǎn) m,連結(jié) me, mf6.eam abh5. 作 abd的高 df,證 bdf bac6. 作斜邊上高,找全等三角形7. 求