大學(xué)物理：剛體力學(xué)

1、第四章第四章剛體力學(xué)剛體力學(xué)引言引言物體的形狀和大小不發(fā)生變化，即物體的形狀和大小不發(fā)生變化，即物體內(nèi)任意兩物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離都保持不變點(diǎn)之間的距離都保持不變剛體剛體。說(shuō)明說(shuō)明1) 理想化的力學(xué)模型理想化的力學(xué)模型；2) 任何兩點(diǎn)之間的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變?nèi)魏蝺牲c(diǎn)之間的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變；3)剛體可以看成是無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系剛體可以看成是無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系剛體可以看成一個(gè)包含由大量質(zhì)點(diǎn)、而各個(gè)質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變剛體可以看成一個(gè)包含由大量質(zhì)點(diǎn)、而各個(gè)質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。的質(zhì)點(diǎn)系。復(fù)雜運(yùn)動(dòng)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)= 平動(dòng)平動(dòng)+ 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)d 4-1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體運(yùn)

2、動(dòng)一、剛體運(yùn)動(dòng)1、平動(dòng)、平動(dòng)當(dāng)當(dāng)剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同保持完全相同時(shí)，或者說(shuō)時(shí)，或者說(shuō)剛體剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線于它們的初始位置間的連線時(shí)，時(shí)，剛體的運(yùn)動(dòng)叫作剛體的運(yùn)動(dòng)叫作平動(dòng)平動(dòng)。2、轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體中所有的點(diǎn)都繞同一剛體中所有的點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動(dòng)條直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種，這種運(yùn)動(dòng)稱為運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線。這條直線叫作叫作轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。平動(dòng)是剛體的一種基本運(yùn)動(dòng)形式，剛體做平動(dòng)是剛體的一種基本運(yùn)動(dòng)形式，剛體做平動(dòng)時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同，可用其上平動(dòng)時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同，可用其上任何一

3、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整體的運(yùn)動(dòng)。任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整體的運(yùn)動(dòng)。瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時(shí)間變化轉(zhuǎn)軸隨時(shí)間變化 一般轉(zhuǎn)動(dòng)一般轉(zhuǎn)動(dòng)固定轉(zhuǎn)軸固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時(shí)間變化轉(zhuǎn)軸不隨時(shí)間變化 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)；各質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)；各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的平面垂直于軸線，各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的平面垂直于軸線，圓心在軸線上；圓心在軸線上；各質(zhì)點(diǎn)的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的各質(zhì)點(diǎn)的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相同。角度相同。 OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方參考方向向z3、剛體的一般運(yùn)動(dòng)、剛體的一般運(yùn)動(dòng)一個(gè)汽車輪子在地一個(gè)汽車輪子在地上的滾動(dòng)上的滾動(dòng)A、B、C、各點(diǎn)的各點(diǎn)

4、的運(yùn)動(dòng)都不相同運(yùn)動(dòng)都不相同繞過(guò)o 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)oABCo o輪子的平動(dòng)ABCoABCoABABCCo剛體的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度角位置角位置角速度角速度dtdtt lim0角加速度角加速度220limdtddtdtt pro轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面三、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)三、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果在任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)，角速度當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果在任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)，角速度的增量都是相等的，這種變速轉(zhuǎn)動(dòng)叫做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。的增量都是相等的，這種變速轉(zhuǎn)動(dòng)叫做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。角加速度角加速度 const 角速度角速度 t 0 角位移角位移 20

5、21 tt 角位置角位置 200 21 tt 四、角量與線量的關(guān)系四、角量與線量的關(guān)系 rv 速度速度 rat 切向加速度切向加速度2 ran 法向加速度法向加速度oPvr例題、例題、 一轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子由于摩擦力矩的作用，在一轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子由于摩擦力矩的作用，在5s內(nèi)角速度內(nèi)角速度由由15rad/s 勻減速地降到勻減速地降到10rad/s 。求：。求：(1)角加速度；角加速度；(2)在此在此5s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)；內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)；(3)還需要多少時(shí)間輪子停止轉(zhuǎn)動(dòng)。還需要多少時(shí)間輪子停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解解 根據(jù)題意，角加速度為恒量。根據(jù)題意，角加速度為恒量。(1) 利用公式利用公式2rad/s1515100 t (2)

6、 利用公式利用公式rad5 .62) 1(215102222020 5秒內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)秒內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)圈圈。1014. 325 .6220 N(3) 再利用再利用s101100 0rad/s1000 t例例: 一條纜索繞過(guò)一定滑論拉動(dòng)一升降機(jī)一條纜索繞過(guò)一定滑論拉動(dòng)一升降機(jī),滑滑論半徑為論半徑為 0.5m, 如果升降機(jī)從靜止開始以如果升降機(jī)從靜止開始以(1) 滑輪的角加速度?；喌慕羌铀俣?。(2) 開始上升后開始上升后,5 秒末滑輪的角速度秒末滑輪的角速度(3) 在這在這5 秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。(4) 開始上升后開始上升后,1 秒末滑輪邊緣上秒末滑輪邊緣上 一點(diǎn)的加速度一點(diǎn)的加

7、速度(不打滑不打滑) 。解解: (1) 輪緣上一點(diǎn)的切向加速度與輪緣上一點(diǎn)的切向加速度與 物體的加速度相等物體的加速度相等 ra28.0srad24 . 0sma勻加速上升，求：勻加速上升，求：ar(2)(458 . 0sradt2258 .02121t(3)(4)tanaasradt/8 .022/32.0smran 22t2nsm51.0aaa 合加速度的方向與輪緣切線方向夾角合加速度的方向與輪緣切線方向夾角07 .38arctantnaa)(10 rad6.1N圈ar4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、力矩一、力矩1、引入、引入外力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，與力的大小、方向和

8、作用點(diǎn)的外力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，與力的大小、方向和作用點(diǎn)的位置有關(guān)。位置有關(guān)。力通過(guò)轉(zhuǎn)軸：力通過(guò)轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不改變力離轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)：力離轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)： 容易改變?nèi)菀赘淖兞﹄x轉(zhuǎn)軸近：力離轉(zhuǎn)軸近： 不易改變不易改變2、力對(duì)點(diǎn)的力矩、力對(duì)點(diǎn)的力矩FrM rFO sinFrMrFM3、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩情況情況1：力與軸平行，則力與軸平行，則M=0力對(duì)力對(duì)O點(diǎn)的力矩在通過(guò)點(diǎn)的力矩在通過(guò)O點(diǎn)的軸上的點(diǎn)的軸上的投影稱為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩投影稱為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩情況情況2：剛體所受的外力剛體所受的外力F在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)力臂：力臂：轉(zhuǎn)軸和力的作用線轉(zhuǎn)軸和力的作用線之間的距離之間

9、的距離d稱為力對(duì)轉(zhuǎn)稱為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力臂。軸的力臂。力矩：力矩：力的大小與力臂的力的大小與力臂的乘積，稱為力乘積，稱為力F對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。力矩。M=FdrodF情況情況3：若力若力F不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)與轉(zhuǎn)軸平行的分力與轉(zhuǎn)軸平行的分力F1，在垂直與轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的分力在垂直與轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的分力F2只有分力只有分力F2才對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)有才對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)有影響。影響。4、合力矩、合力矩iiFrM iMMF1F2Fn結(jié)論：結(jié)論：合力矩對(duì)于每個(gè)分力的力矩之和。合力矩對(duì)于每個(gè)分力的力矩之和。5、單位、單位NmoPzprF1FF2二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情況、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)

10、的情況法向力法向力 Fn=man，通過(guò)轉(zhuǎn)軸，力矩為零，通過(guò)轉(zhuǎn)軸，力矩為零切向力切向力 Ft t=mat t=mr 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為 M= Ft t r= mr2 質(zhì)點(diǎn)的角加速度與質(zhì)點(diǎn)所受的力矩成正比質(zhì)點(diǎn)的角加速度與質(zhì)點(diǎn)所受的力矩成正比2、內(nèi)力矩、內(nèi)力矩dff 兩個(gè)內(nèi)力的合力矩為零。兩個(gè)內(nèi)力的合力矩為零。推廣：推廣：剛體的內(nèi)力力矩之和為零。剛體的內(nèi)力力矩之和為零。3、剛體的情況、剛體的情況把剛體看成是由許多質(zhì)點(diǎn)所組把剛體看成是由許多質(zhì)點(diǎn)所組成的，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)成的，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)i，假設(shè)它的質(zhì)，假設(shè)它的質(zhì)量為量為mi，所受的外力為，所受的外力為Fi，內(nèi)力為內(nèi)力為f i，則，則 2iiirmM 其

11、中其中Mi為外力矩和內(nèi)力矩之和。為外力矩和內(nèi)力矩之和。 2iiirmM 合力矩內(nèi)力矩之和外力矩之和合力矩內(nèi)力矩之和外力矩之和=外力矩之和外力矩之和=M 22iiiirmrm 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、定義、定義 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。軸距離平方的乘積之和。2、說(shuō)明、說(shuō)明 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量； 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性； 單位：?jiǎn)挝唬簁gm2 3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布dmrJ2 iiirmJ2若質(zhì)量離散分布若質(zhì)量離散分布 y rix z yi xi

12、 mi ddMJJt剛體定軸剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律故 2iiirmM 可寫為：討論：討論： （4 4）J J 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量不同。動(dòng)慣量不同。 （3 3）J J 和質(zhì)量分布有關(guān)；和質(zhì)量分布有關(guān)；（2 2）M M 的符號(hào)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速的符號(hào)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速 的力矩為正；的力矩為正；ddMJJt 慣性大小的量度；慣性大小的量度； 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)（1 1） M M 一定，一定，J J例例2 2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻圓環(huán)

13、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。RO解：解：222mRdmRdmRJdm例例1 1、求長(zhǎng)為、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，解：取如圖坐標(biāo)，d dm= = d dx12/2222mLdxxJLLC 3/202mLdxxJLA 例例2 2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。面垂直并通過(guò)盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為d dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán), ,rdrdm 2 dr

14、rdmrdJ322 403212RdrrdJJR 2Rm 221mRJ Rrdr例例3 3、內(nèi)半徑為、內(nèi)半徑為R1 1 外半徑為外半徑為R2 2 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的勻質(zhì)中空?qǐng)A柱繞其的勻質(zhì)中空?qǐng)A柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量oo2R1RrrRRmmd2)(d2122 21d2)(22122RRrrrRRmJ )(212122RRm 例例4 4、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的勻質(zhì)薄球殼繞過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣的勻質(zhì)薄球殼繞過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量sinRd在球面取一圓環(huán)帶，半徑在球面取一圓環(huán)帶，半徑 sinRr rRdRmdm 242 dmrJ2 2032sin2 dmR232mR R例例5

15、5、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的勻質(zhì)球體繞過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的勻質(zhì)球體繞過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量MR把球體看作無(wú)數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合把球體看作無(wú)數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合 drrRmdm23434 drrRm233 232rdmdJJ RdrrRm0432252mR 4、幾種剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、幾種剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量垂直于桿的軸通過(guò)桿的中心垂直于桿的軸通過(guò)桿的中心 J=M l 2/12 桿的端點(diǎn)桿的端點(diǎn) J=M l 2/3對(duì)通過(guò)盤心垂直盤面的轉(zhuǎn)軸對(duì)通過(guò)盤心垂直盤面的轉(zhuǎn)軸 J=MR 2/2 5、影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素、影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素剛體的總質(zhì)量；剛體的總質(zhì)量；剛體的質(zhì)量分布；剛體的質(zhì)量分布；轉(zhuǎn)軸位置

16、。轉(zhuǎn)軸位置。例例一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R 的定滑輪上的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為另一端掛一質(zhì)量為m 的物體而下垂。忽略的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度由靜止下落高度h時(shí)的時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：解： RamaTmgm :1對(duì)對(duì)2121 MRJJRTMM：對(duì)對(duì) MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：定軸定軸ORthmv0=0繩繩例例2勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，在水平桌，在水平

17、桌面上繞其中心旋轉(zhuǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤與桌面面上繞其中心旋轉(zhuǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤與桌面之間的摩擦系數(shù)為之間的摩擦系數(shù)為，求圓盤從以角速度，求圓盤從以角速度0旋旋轉(zhuǎn)到靜止需要多少時(shí)間？轉(zhuǎn)到靜止需要多少時(shí)間？ 解：以圓盤為研究對(duì)象，它受重力、桌面的支解：以圓盤為研究對(duì)象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前兩個(gè)力對(duì)中心軸的力矩為零。持力和摩擦力，前兩個(gè)力對(duì)中心軸的力矩為零。 在圓盤上任取一個(gè)細(xì)圓環(huán)，半徑為在圓盤上任取一個(gè)細(xì)圓環(huán)，半徑為r，寬度為，寬度為dr，整個(gè)圓環(huán)所受摩，整個(gè)圓環(huán)所受摩擦力矩等于圓環(huán)上各質(zhì)點(diǎn)所受摩擦力矩之和。由于圓環(huán)上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)擦力矩等于圓環(huán)上各質(zhì)點(diǎn)所受摩擦力矩之和。由于圓環(huán)上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)所

18、受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取0的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)檎较颍瑒t整個(gè)圓環(huán)所受的力矩為正方向，則整個(gè)圓環(huán)所受的力矩為 grdmdM 2222RmrdrrdrRmdSdm drRrmgdM222 整個(gè)圓盤所受的力矩為整個(gè)圓盤所受的力矩為 mgRdrRrmgMR 322022 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得 RgmRmgRJM3421322 角加速度為常量，且與角加速度為常量，且與0的方向相反，表明圓盤作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相反，表明圓盤作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)t 0當(dāng)圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，=0，則得，則得 gRt 4300 4-3 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

19、剛體的動(dòng)能繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能一一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能: :質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能: :剛體是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的剛體是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的, ,第第 小塊質(zhì)元的質(zhì)量小塊質(zhì)元的質(zhì)量 其動(dòng)能：其動(dòng)能：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的總動(dòng)能體的總動(dòng)能: :im Oiirivi221mvEk221iikivmE221ZkJE iirv 22121iinikrmE21221niiirmim二二. .力矩的功力矩的功 力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱力矩對(duì)剛體做功。轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱力矩對(duì)剛體做功。 力力 對(duì)對(duì)P P 點(diǎn)作功：點(diǎn)

20、作功：FrFddAdsF2cosddrs 00 drFrdPdFrdsFsinsin因因MFrsinddMA 0ddMMA力矩作功：力矩作功： 對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。功為零。00 drFrdP三三. .定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理dtdJM外力矩所做元功為：外力矩所做元功為：dJdtdJdddtdJMddA總外力矩對(duì)剛體所作的功為：總外力矩對(duì)剛體所作的功為： 212221212121JJdJMdA則物體在則物體在 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角位移時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角位移 時(shí)時(shí)tdt

21、dd解解 先對(duì)細(xì)棒先對(duì)細(xì)棒OAOA所受的力作所受的力作一分析；重力一分析；重力 作用在棒作用在棒的中心點(diǎn)的中心點(diǎn)C C，方向豎直向下，方向豎直向下；軸和棒之間沒(méi)有摩擦力；軸和棒之間沒(méi)有摩擦力，軸對(duì)棒作用的支承力，軸對(duì)棒作用的支承力 垂直于棒和軸的接觸面且垂直于棒和軸的接觸面且通過(guò)通過(guò)O O點(diǎn)，在棒的下擺過(guò)程點(diǎn)，在棒的下擺過(guò)程中，此力的方向和大小是中，此力的方向和大小是隨時(shí)改變的。隨時(shí)改變的。NG例例 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OA（如圖）（如圖），可繞通過(guò)其一端的光滑軸，可繞通過(guò)其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開始自由下擺，

22、求細(xì)棒擺到豎直今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)其中點(diǎn)位置時(shí)其中點(diǎn)C和端點(diǎn)和端點(diǎn)A的速度。的速度。 GAA O 在棒的下擺過(guò)程中，對(duì)轉(zhuǎn)軸在棒的下擺過(guò)程中，對(duì)轉(zhuǎn)軸O O而言，支撐力而言，支撐力N N通過(guò)通過(guò)O O點(diǎn)，所以支撐力點(diǎn)，所以支撐力N N的力矩等于零，重力的力矩等于零，重力G G的力矩則是的力矩則是變力矩，大小等于變力矩，大小等于mg(l /2) cosmg(l /2) cos ，棒轉(zhuǎn)過(guò)一極小，棒轉(zhuǎn)過(guò)一極小的角位移的角位移d d 時(shí)，重力矩所作的元功是時(shí)，重力矩所作的元功是dlmgdAcos2在使棒從水平位置下擺到豎直位置過(guò)程中，重力在使棒從水平位置下擺到豎直位置過(guò)程中，

23、重力矩所作的功是矩所作的功是2cos220lmgdlmgdAA應(yīng)該指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可應(yīng)該指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力勢(shì)能的差值來(lái)表示。棒在水平位置時(shí)的角用重力勢(shì)能的差值來(lái)表示。棒在水平位置時(shí)的角速度速度 0 00 0，下擺到豎直位置時(shí)的角速度為，下擺到豎直位置時(shí)的角速度為 ，按，按力矩的功和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量的關(guān)系式得力矩的功和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量的關(guān)系式得2212Jlmg由此得由此得Jmgl代入上式得代入上式得因因231mlJ Jg3所以細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)所以細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)A A和中心點(diǎn)和中心點(diǎn)C C的速度的速度分別為分別為gllvA3gllvC3212 G

24、AA O 2212Jlmg由此得由此得Jmgl代入上式得代入上式得因因231mlJ Jg3所以細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)所以細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)A A和中心點(diǎn)和中心點(diǎn)C C的速度的速度分別為分別為gllvA3gllvC3212 GAA O 4.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體上的一個(gè)質(zhì)元?jiǎng)傮w上的一個(gè)質(zhì)元, ,繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為： 2iiirmL 所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為：所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為： )(2 iiiiirmLL剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)

25、軸的角動(dòng)量L,等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積。量和角速度的乘積。 JL miooLrivi2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 dtLdM 得得LddtM 積分得積分得000LLLddtMLLtt 當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定時(shí)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定時(shí)0 0 JJdtMtt 當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化時(shí)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化時(shí)00 0 JJdtMtt 剛體的角動(dòng)量定理：剛體的角動(dòng)量定理：當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時(shí)，作用在剛體當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時(shí)，作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律若剛體所受的合

26、外力矩為零，即若剛體所受的合外力矩為零，即M=0恒恒矢矢量量 J角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)剛體所受的的合外力矩為零，或當(dāng)剛體所受的的合外力矩為零，或者不受合外力的作用，則剛體的角動(dòng)量保持不變。者不受合外力的作用，則剛體的角動(dòng)量保持不變。討論：分兩種情況：討論：分兩種情況：1) 如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；2) 如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生改變，則剛體的角速度隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也發(fā)生如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生改變，則剛體的角速度隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也發(fā)生變化，但二者的乘積不變。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變大時(shí)，角速度變??；變化，但二者的乘積不變。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變大時(shí)，角速度變??；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小時(shí)，角速度變大。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小時(shí)，角速度變大。花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)表演花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)表演剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒的應(yīng)用當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加角速度。當(dāng)落地量、增加角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體、增大時(shí)則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平穩(wěn)