2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第3講　基本不等式

1、第 3 講基本不等式一、知識梳理1基本不等式： abab2(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當 ab 時取等號(3)其中ab2稱為正數(shù) a，b 的算術平均數(shù)， ab稱為正數(shù) a，b 的幾何平均數(shù)點撥應用基本不等式求最值要注意： “一正、二定、三相等” 忽略某個條件，就會出錯2利用基本不等式求最值已知 x0，y0，則(1)如果積 xy 是定值 p，那么當且僅當 xy 時，xy 有最小值是 2 p(簡記：積定和最小)(2)如果和 xy 是定值 s，那么當且僅當 xy 時，xy 有最大值是s24(簡記：和定積最大)點撥在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本

2、不等式若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致常用結(jié)論幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，br)，當且僅當 ab 時取等號(2)abab22(a，br)，當且僅當 ab 時取等號(3)a2b22ab22(a，br)，當且僅當 ab 時取等號(4)baab2(a，b 同號)，當且僅當 ab 時取等號二、教材衍化1設 x0，y0，且 xy18，則 xy 的最大值為()a80b77c81d82解析：選 cxyxy22182281，當且僅當 xy9 時等號成立，故選 c2若把總長為 20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_解析：設矩形的長為 x m，寬為 y m，則

3、xy10，所以 sxyxy2225，當且僅當 xy5 時取等號答案：25 m2一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù) yx1x的最小值是 2.()(2)abab22成立的條件是 ab0.()(3)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要條件()(4)若 a0，則 a31a2的最小值是 2 a.()答案：(1)(2)(3)(4)二、易錯糾偏常見誤區(qū)|(1)忽視不等式成立的條件 a0 且 b0；(2)忽視定值存在；(3)忽視等號成立的條件1若 x0，則 x1x()a有最小值，且最小值為 2b有最大值，且最大值為 2c有最小值，且最小值為2d有最大值，且最大值為2解析：選 d因

4、為 x0，x1x2 12，當且僅當 x1 時，等號成立，所以 x1x2.2若 x1，則 x4x1的最小值為_解析：x4x1x14x11415.當且僅當 x14x1，即 x3 時等號成立答案：53設 0 x1，則函數(shù) y2x(1x)的最大值為_解析：y2x(1x)2x1x2212.當且僅當 x1x，即 x12時，等號成立答案：12考點一利用基本不等式求最值(基礎型)復習指導|探索并了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題核心素養(yǎng)：邏輯推理角度一通過配湊法求最值(1)已知 0 x1，則 x(43x)取得最大值時 x 的值為_(2)已知 x54，則 f(x)4x214x5的

5、最大值為_【解析】(1)x(43x)13(3x)(43x)133x（43x）2243，當且僅當 3x43x，即 x23時，取等號(2)因為 x0，則 f(x)4x214x5(54x154x)32（54x）154x3231.當且僅當 54x154x，即 x1 時，等號成立故 f(x)4x214x5的最大值為 1.【答案】(1)23(2)1通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為

6、目標；(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提角度二通過常數(shù)代換法求最值已知 a0，b0，ab1，則11a11b 的最小值為_【解析】11a11b 1aba1abb2ba 2ab 52baab 549.當且僅當 ab12時，取等號【答案】9【遷移探究 1】(變問法)若本例中的條件不變，則1a1b的最小值為_解析：因為 a0，b0，ab1，所以1a1babaabb2baab22baab4，即1a1b的最小值為 4，當且僅當 ab12時等號成立答案：4【遷移探究 2】(變條件)若本例條件變?yōu)椋阂阎?a0，b0，4ab4，則11a11b的最小值為_解析：由 4ab4 得 ab41，11a11b

7、1ab4a1ab4b2b4a54ab522ab5b16a14114258114102.當且僅當 4 2a 5b 時取等號答案：114102常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為 1；(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值角度三通過消元法求最值若正數(shù) x，y 滿足 x26xy10，則 x2y 的最小值是()a2 23b23c33d2 33【解析】因為正數(shù) x，y 滿足 x26xy10，所以 y1x26x.由x0，y0，即x0，1x26x0，解得 0 x0，y0，4xx3y3

8、yx4xx3yx3yx124xx3yx3yx1413(當且僅當 x3y 時等號成立)3已知 x0，y0，且 x16yxy，則 xy 的最小值為_解析：已知 x0，y0，且 x16yxy.即16x1y1，則 xy(xy)16x1y 16116yxxy17216yxxy25，當且僅當 x4y20 時等號成立，所以 xy 的最小值為 25.答案：25考點二利用基本不等式解決實際問題(應用型)復習指導|利用基本不等式解決實際問題，關鍵是把實際問題抽象出數(shù)學模型，列出函數(shù)關系，然后利用基本不等式求最值某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位

9、每月的處理量最少為 400 噸，最多為 600 噸，月處理成本 y(元)與月處理量 x(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為 y12x2200 x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為 100 元(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？【解】(1)由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為yx12x80 000 x200212x80 000 x200200，當且僅當12x80 000 x，即 x400 時等號成立，故該單位月處理量為 400 噸時，才能

10、使每噸的平均處理成本最低，最低成本為 200 元(2)不獲利 設該單位每月獲利為 s 元， 則 s100 xy100 x12x2200 x80 00012x2300 x80 00012(x300)235 000，因為 x400，600，所以 s80 000，40000故該單位每月不獲利，需要國家每月至少補貼 40 000 元才能不虧損應用基本不等式解決實際問題的基本步驟(1)理解題意，設出變量，建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題；(2)在定義域內(nèi)，利用基本不等式求出函數(shù)的最值；(3)還原為實際問題，寫出答案某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為 200 平方米的泳池，池的深度

11、為 1 米，池的四周墻壁建造單價為每米 400 元，中間一條隔壁建造單價為每米 100 元，池底建造單價每平方米 60 元(池壁厚忽略不計)，則泳池的長設計為多少米時，可使總造價最低解：設泳池的長為 x 米，則寬為200 x米，總造價 f(x)4002x2200 x100200 x60200800 x225x12 0001 600 x225x12 00036 000(元)，當且僅當 x225x(x0)，即 x15 時等號成立即泳池的長設計為 15 米時，可使總造價最低基礎題組練1(2020安徽省六校聯(lián)考)若正實數(shù) x，y 滿足 xy2，則1xy的最小值為()a1b2c3d4解析：選 a因為正實

12、數(shù) x，y 滿足 xy2，所以 xy（xy）242241，所以1xy1.2若 2x2y1，則 xy 的取值范圍是()a0，2b2，0c2，)d(，2解析：選 d因為 12x2y2 2x2y2 2xy，(當且僅當 2x2y12，即 xy1時等號成立)所以 2xy12，所以 2xy14，得 xy2.3若實數(shù) a，b 滿足1a2b ab，則 ab 的最小值為()a 2b2c2 2d4解析：選 c因為1a2b ab，所以 a0，b0，由 ab1a2b21a2b22ab，所以 ab2 2(當且僅當 b2a 時取等號)，所以 ab 的最小值為 2 2.4(多選)若 a，br，且 ab0，則下列不等式中，恒

13、成立的是()aab2 abb1a1b1abcbaab2da2b22ab解析：選 cd因為 ab0，所以ba0，ab0，所以baab2baab2，當且僅當 ab 時取等號所以選項 c 正確，又 a，br，所以(ab)20，即 a2b22ab 一定成立5已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，則1x13y的最小值是()a2b2 2c4d2 3解析：選 c因為 lg 2xlg 8ylg 2，所以 lg(2x8y)lg 2，所以 2x3y2，所以 x3y1.因為 x0，y0，所以1x13y(x3y)1x13y 23yxx3y223yxx3y4，當且僅當x3y12時取等號，所以1x13y的最小值

14、為 4.故選 c6設 p(x，y)是函數(shù) y2x(x0)圖象上的點，則 xy 的最小值為_解析：因為 x0，所以 y0，且 xy2.由基本不等式得 xy2 xy2 2，當且僅當 xy 時等號成立所以 xy 的最小值為 2 2.答案：2 27函數(shù) yx2x1(x1)的最小值為_解析：因為 yx211x1x11x1x11x12(x1)，所以 y2 120，當且僅當 x0 時，等號成立答案：08 (2020湖南岳陽期末改編)若 a0， b0， 且 a2b40， 則 ab 的最大值為_，1a2b的最小值為_解析：因為 a0，b0，且 a2b40，所以 a2b4，所以 ab12a2b12a2b222，當

15、且僅當 a2b，即 a2，b1 時等號成立，所以 ab 的最大值為 2，因為1a2b1a2b a2b414(52ba2ab)14522ba2ab 94，當且僅當 ab 時等號成立，所以1a2b的最小值為94.答案：2949(1)當 x32時，求函數(shù) yx82x3的最大值；(2)設 0 x2，求函數(shù) y x（42x）的最大值解：(1)y12(2x3)82x33232x2832x 32.當 x0，所以32x2832x232x2832x4，當且僅當32x2832x，即 x12時取等號于是 y43252，故函數(shù)的最大值為52.(2)因為 0 x0，所以 y x（42x） 2 x（2x） 2x2x2 2

16、，當且僅當 x2x，即 x1 時取等號，所以當 x1 時，函數(shù) y x（42x）的最大值為 2.10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求(1)xy 的最小值；(2)xy 的最小值解：(1)由 2x8yxy0，得8x2y1，又 x0，y0，則 18x2y28x2y8xy.得 xy64，當且僅當 x16，y4 時，等號成立所以 xy 的最小值為 64.(2)由 2x8yxy0，得8x2y1，則 xy8x2y (xy)102xy8yx1022xy8yx18.當且僅當 x12，y6 時等號成立，所以 xy 的最小值為 18.綜合題組練1 設 a0， 若關于 x 的不等式 xax15 在(1， )上

17、恒成立， 則 a 的最小值為()a16b9c4d2解析：選 c在(1，)上，xax1(x1)ax112（x1）a（x1）12 a1(當且僅當 x1 a時取等號)由題意知 2 a15，所以 a4.2(2020福建龍巖一模)已知 x0，y0，且1x11y12，則 xy 的最小值為()a3b5c7d9解析：選 c因為 x0，y0.且1x11y12，所以 x1y21x11y (x1y)2(11yx1x1y)2(22yx1x1y)8，當且僅當yx1x1y，即 x3，y4 時取等號，所以 xy7，故 xy 的最小值為 7，故選 c3已知正實數(shù) x，y 滿足 xy1，則 x2y2的最小值為_；若1x4ya

18、恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是_解析：因為 xy1，所以 xyxy2214，所以 x2y2(xy)22xy114212，所以 x2y2的最小值為12.若 a1x4y恒成立，則 a 小于等于1x4y 的最小值，因為1x4y1x4y (xy)5yx4xy52yx4xy9，所以1x4y的最小值為 9，所以 a9，故實數(shù) a 的取值范圍是(，9答案：12(，94(2020洛陽市統(tǒng)考)已知 x0，y0，且1x2y1，則 xyxy 的最小值為_解析： 因為1x2y1， 所以 2xyxy， 所以 xyxy3x2y， 因為 3x2y(3x2y)(1x2y)76xy2yx，且 x0，y0，所以 3x2y74 3，所以 xyxy 的最小值為 74 3.答案：74 35已知 x，y(0，)，x2y2xy.(1)求1x1y的最小值；(2)是否存在 x，y 滿足(x1)(y1)5？并說明理由解：(1)因為1x1yxyxyx2y2xy2xyxy2，當且僅當 xy1 時，等