(完整版)求數列通項公式的十種方法,例題答案詳解

1、求數列通項公式的十一種方法(方法全，例子全，歸納細)總述：一利用遞推關系式求數列通項的 11 種方法：累加法、累乘法、待定系數法、階差法(逐差法) 、迭代法、對數變換法、倒數變換法、 換元法(目的是去遞推關系式中出現的根號) 、數學歸納法、不動點法(遞推式是一個數列通項的分式表達式) 、 特征根法二。四種基本數列：等差數列、等比數列、等和數列、等積數列及其廣義形式。等差數列、 等比數列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數列通項公式的最基本方法。三 求數列通項的方法的基本思路是： 把所求數列通過變形， 代換轉化為等差數列或等比數 列。四求數列通項的基本方法是：累加法和累乘法。 五數

2、列的本質是一個函數，其定義域是自然數集的一個函數。、累加法1適用于： an 1 an f (n) 這是廣義的等差數列 累加法是最基本的二個方法之一。2若 an 1 an f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLan 1 an f ( n)n兩邊分別相加得 an 1 a1f (n )例 1 已知數列 an 滿足 an 1an 2n 1，a1 1，求數列 an 的通項公式。解：由 an 1 an 2n 1得 an 1 an 2n 1 則an(anan 1)(an 1an2)L(a3a2)(a2a1)a12(n 1) 1 2(n 2) 1 L (2 2 1) (2

3、 1 1) 1 2(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 1(n 1)n2 (n 1) 12(n 1)(n 1) 12n2所以數列 an 的通項公式為 an n2 。例2 已知數列 an滿足an1 an 2 3n 1，a1 3，求數列 an的通項公式。解法一：由 an 1ann23n1得 an 1ann23n1則an (an an 1)(an 1an 2) L(a3a2)(a2 a1) a1n(2 3n1 1)(23n2 1)L (23211) (2 31 1) 3n12(3n 13n 2L3231)(n 1)33(13n 1)2(n1)313n3n 3n13n3n n1所以 an 3

4、nn1.解法二： an1 3an 2 3 1兩邊除以 3n 1 ，得3ann 11 3ann 32 3n1an 13nan 2n3n 33n 1an3nan 1 ) an 1(an 1an 1an 2)3n 2 )(an 2(3n 2an 3 )3n 3 )a2 a1 a1(32 31 ) 3an3nn31n)1)n22132)3 3232(n 1)33n3n13n 2因此 a3nn2(n3 1)31n(1 3n 1)11 23n12 2 3n1，2則 an 2 n 3n n3評注 ：已知 a1 aananf(n) ，其中f(n)可以是關于 n 的一次函數、二次函數、指數函數、分式函數，求通項

5、 an若f(n) 是關于 n 的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和若f(n)是關于 n 的二次函數，累加后可分組求和若f(n)是關于 n 的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和若f(n)是關于 n 的分式函數，累加后可裂項求和。例 3.已知數列 an 中, an 0 且Sn 2(anan ,求數列 an 的通項公式 .Sn2(a解 :由已知212(SnSnSnnSn1)n1化簡有Sn2 Sn2 1n, 由類型 (1) 有 Sn S1又 S1a1 得 a1 12 n(n 1) Sn ,所以2 ,又 an0 sn2n(n 1)則 an2n(n 1) 2n(n 1)此題也可以用數學歸納法來求解二、

6、累乘法1.適用于： an 1 f (n)an 這是廣義的等比數列累乘法是最基本的二個方法之二。2若 an1 f (n)，則 a2 f (1)，a3 f (2)，L L ，an 1 f(n) ana1a2an兩邊分別相乘得，an 1a1a1f (k)k1例 4 已知數列 an滿足 an12(n 1)5n an，a1 3，求數列 an 的通項公式。解：因為 an 1 2(n 1)5n an， a13 ，所以 an0 ，則 an 1 an2(n 1)5n ，故anan an 1 Lan 1 an 2a3 a2 a1a2 a12(n 1 1)5n 12( n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522

7、(1 1) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1) (n 2) L 2 1 3 n(n 1)3 2n 1 5 2 n!所以數列 an 的通項公式為 an 3 2nn(n 1)52 n!.例 5.設 an 是首項為 1 的正項數列，且221an 1 nan an 1an 0 ( n=1，2， 3，)，則它的通項公式是 an解：已知等式可化為：(an 1an) (n1)an1 nanan 1an0(nN)(n+1) an1 nanannn1anann12時，an 1anan 1a2an 1an 2a1 n 1 a1 = nn2n11 =n評注：本題是關于 an和an 1的二次齊次式

8、，可以通過因式分解(一般情況時用求根公式)得到 an與an 1的更為明顯的關系式，從而求出an.練習.已知 an 1 nan n 1,a11,求數列 an 的通項公式 .答案： an(n 1)! (a1 1) -1.評注：本題解題的關鍵是把原來的遞推關系式an 1 nan n 1, 轉化為an 1 1 n（an 1）,若令bn an 1,則問題進一步轉化為 bn 1 nbn形式，進而應用累乘法求 出數列的通項公式 .三、待定系數法適用于 an 1 qan f（n）基本思路是轉化為等差數列或等比數列，而數列的本質是一個函數，其定義域是自然數集的一 個函數。a)型1形如 an 1 can d,(c

9、 0,其中 a11）若 c=1時，數列 an 為等差數列（2）若 d=0時，數列 an 為等比數列 ;（3）若 c 1且d 0時，數列 an 為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造輔助數列 來求 .待定系數法：設 anc(an)an得 an 1(c 1)因此數列所以 ancan (cd ,所以ancdc1規(guī)律：將遞推關系1) ,與題設 an 1 cancd1,(cc11 構成以 a1(a1an 1d, 比較系數得0）所以有：an c 1 c(an 1cd1)c11 為首項，以 c 為公比的等比數列，cd1)c1n1can (a1即：d ) cn 1d1 c 1can d 化為an 1 c

10、1c(ancd1）,構造成公比為 c的等比數列cd1從而求得通項公式an 1d1ccn 1(a1cd1)c1逐項相減法(階差法) ：有時我們從遞推關系 an1 can d 中把 n換成 n-1有an can 1 d兩式相減有 an 1 an c(an an 1)從而化為公比為 c 的等比數列 an 1 an ,進而求得通項公式 .nan 1 an c (a2 a1) ,再利用類型 (1)即可求得通項公式 .我們看到此方法比較復雜例 6 已知數列 an 中， a1 1,an 2an 1 1(n2) ，求數列 an 的通項公式。解法一： Q an 2an 1 1(n 2),an 1 2(an 1

11、1)又Qa1 1 2, an 1 是首項為 2，公比為 2 的等比數列nan 1 2n ，即 an 2n 1解法二： Q an 2an 11(n 2),an 12an兩式相減得 an1 an 2(an an 1)(n2) ，故數列 an 1 an 是首項為 2，公比為 2的等比數列，再用累加法的練習已知數列 an 中，a12,an 112an1,2 求通項 an 。1 n 1答案： an (21)n1 12形如： a n 1 p ann qn(其中 q 是常數，且 n 0,1)若 p=1 時，即： a n 1anq ，累加即可 .若 p 1 時，即： an 1 pnanq n，求通項方法有以下

12、三種方向：n1i. 兩邊同除以 p .目的是把所求數列構造成等差數列a n 1n1 即： pann qn1p (qp)n,令bnannnbn 1 bnp ，則（qp）nq ,然后類型 1 ，累加求通項 .ii. 兩邊同除以n1. 目的是把所求數列構造成等差數列。即：an 1n1qan n qbn 令annq , 則可化為pbqq . 然后轉化為類型5 來解，iii. 待定系數法：目的是把所求數列構造成等差數列1 p(annp ） . 通過比較系數，求出，轉化為等比數列求通項注意：應用待定系數法時，要求p q，否則待定系數法會失效。例 7 已知數列 an 滿足 an 12an 41 ，求數列 a

13、n 的通項公式。解法一（待定系數法）：設 an13n2(an3n 1) ，比較系數得 1 4, 2 2 ，則數列 an 4 3是首項為 a14 315 ，公比為 2的等比數列，n1所以 an 4 35 2n 1 ，即 an4 3n 15 2n 1解法二（兩邊同除以n1q）：兩邊同時除以n13n 1 得：an 13n 12 an3 3n432 ，下面解法略解法三（兩邊同除以n pn1）：兩邊同時除以2n 1得：an 12n1an2n43 （32） ，下面解法略3形如an 1 pankn（其中 k,b 是常數，且k0)方法 1：逐項相減法階差法）方法 2：待定系數法通過湊配可轉化為(an xny)

14、 p(an 1 x(n1) y)解題基本步驟：1、確定 f (n) =kn+b2、設等比數列 bn (an xn y) ，公比為 p3、列出關系式 (an xn y) p(an 1 x(n 1) y),即bn pbn 14、比較系數求 x,y5、解得數列 (an xn y) 的通項公式6、解得數列 an 的通項公式8 在數列 an 中， a1 1,an 13an 2n,求通項 a n .(逐項相減法)解：， an 1 3an2n,n 2 時， an3an 12(n1)兩式相減得 an 1 an3(anan1)2. 令 bnan 1an, 則 bn3bn 1 2利用類型 5 的方法知 bn5 3

15、n即an 1an5 3n 1 15an再由累加法可得 23n1n亦可聯立an解出532例 9. 在數列 an 中，a132 ,2anan1 6n 3,求通項an待定系數法)解：原遞推式可化為 2(an xny)an 1 x(n1)比較系數可得： x=-6,y=9, 上式即為2bnbn 1所以 bn 是一個等比數列，首項b1a1 6n 992 ,公比為bn92(12)n即：an 6n 9 9 (1) n2an9 (12) n6n 94形如 an 1 pan a n b n c(其中 a,b,c 是常數，且 a 0)基本思路是轉化為等比數列，而數列的本質是一個函數，其定義域是自然數集的一個函數。2

16、 例 10 已知數列 an 滿足 an 1 2an 3n22解： 設 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an4n 5，a1 1，求數列 an 的通項公式。xn2 yn z)比較系數得 x 3,y 10,z 18 ，22所以 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)由 a1 3 12 10 1 18 1 3132 0，得 an3n2 10n 18 0則 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18an 3n2 10n 182 ，故數列 an23n 10n 18 為以2a1 3 12 10 1 18 1 3132為首項，以 2 為公比的等比數

17、列，因此n 4 22 3n 10n 18 。2 n 1an 3n2 10n 18 32 2n 1 ，則 an5.形如 an 2 pan 1 qan 時將 an 作為 f (n) 求解，數列分析：原遞推式可化為an 2 an 1 (p )(an 1 an) 的形式，比較系數可求得an 1an 為等比數列。例 11 已知數列 an 滿足 an 2 5an 1 6an,a1 1,a2 2，求數列 an 的通項公式。解：設 an 2an 1 (5 )(an 1 an )比較系數得3或2 ，不妨取2 ，(取 -3 結果形式可能不同，但本質相同)則 an 2 2an 1 3(an 1 2an)，則 an

18、1 2an 是首項為 4，公比為 3 的等比數列練習 .數列 中，a1 8,a2 2,且滿足 an 2 4an 13an 0,求 an答案： an113n四、迭代法anrpan（其中 p,r 為常數）型例 12 已知數列 an 滿足 an 1a3(n 1)2n，a15 ，求數列an 的通項公式。解：因為 an 13(n 1)2 nan，所以an an3n12a3(n 2) 2an 333(n 2)(n an3 (3n 2)(nanL a3n(n2 1) 2n 23n2n13 32(n 1) n 2(n 2) (n 1)1)n 2(n 3) (n 2) ( n 1)an32(2n 1)n2(n2

19、)(n1)3a11 23LL (n 2) (n 1)n21 2L L (n 3) (n 2) (n 1)3a13n( n 1)1 n! 2 2又 a1 5 ，所以數列 an 的通項公式為 ann(n 1)3n 1 n! 2 25注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。五、對數變換法 適用于 an 1rpan (其中p,r 為常數 ）型p>0， an 0例 14. 設正項數列an 滿足 a11， an2an2 1n2） .求數列 an的通項公式 .解：兩邊取對數得：log a2n 12log a2n 1log a2n1 2(loga2n 11)，a設 bn log 2an

20、1 ，則bn2bn 1bn是以 2 為公比的等比數列，1b1 log 211bn 1 2n 1 2n 1 ，log a22nlog a2n2n 1 1 ， an22，練習數列an中，a11，an2 an 1 （n2），求數列 an的通項公式 .答案：an2 22 n22 2例 15 已知數列 an 滿足 an 1n52 3n an5 ， a1 7，求數列 an 的通項公式。解：因為 an 1 2 3n an5，7 ，所以 an 0， an 1 0 。兩邊取常用對數得lg an 15lg an nlg3lg2設 lg an1 x(n1) y5(lg an xn y)同類型四）比較系數得，xlg3

21、 ,y lg3 lg2416 4由 lg a1lg31lg3lg 2 lg3 lg71lg3lg20，得41644164所以數列 lganlg3nlg3 lg2是以 lg7lg3lg3lg2416 44164則 lg anlg3nlg3 lg2 (lg 7 lg3lg3lg2)5n1，因此41644164lg an(lg7lg3 lg3lg 2)5n 1 lg3n lg3lg24 164 )5 464111n11lg(734316 24)5n 1 lg(3 4 31624)111n11lg(734316 24)5n 15 lg(34 316 24)5n 4n 15n 1 15n 1lg(75n

22、 13 162 4 )5n4n 15n 1 1則 an5n 175n 1316 24。a1為首項，以lg an 4lg3 n lg3 lg2 0，16 45 為公比的等比數列，六、倒數變換法 適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項2a例 16 已知數列 an 滿足 an 1n ,a1 1，求數列 an 的通項公式。n n 1 an 2 1 n1解：求倒數得an 111anan 1an1,2,an 11 1 11 為等差數列，首項 1 1 ，公差為 1 ， an a1 2a11 1 (nan 21),an2n1七、換元法適用于含根式的遞推關系1例 17 已知數列 an 滿足 an 1(1164a

23、n 1 24an ），a1 1，求數列 an 的通項公式。解：令 bn121 24an ，則 an 24(bn1)代入 an 11116(1 4an1 24an )得1 (bn224 n11) 11614214 (bn2 1) bn即 4bn2 12(bn 3)2因為 bn24an0，則 2bn 1bn3，即bn 1 12bn3，2可化為 bn13 21(bn 3) ，所以 bn3是以 b1 3 1 24a11 24 1 3 2 為首項，以 1 為公比的等比數列，因此2bn1 n 1 1 n 2 13 2(21)n1 (12)n 2，則bn (12)n12 3 ，即 124an(21)n 2

24、3 ，得2an2(1)n (1)n 1 。3 4 2 3八、數學歸納法 通過首項和遞推關系式求出數列的前法加以證明。n 項，猜出數列的通項公式，再用數學歸納例 18 已知數列 an滿足 an1 an8(n 1)(2n 1)2 (2n 3)2 ， a18，求數列 an 的通項公式。98(n 1)解：由 an 1 an (2n 1)2(2n 3)28及 a1，得9a18(1 1)8 8 22421(2121)2 (2 13)2992525a3a28(2 1)248348(2221)2(2 23)225254949a4a38(3 1)488480(231)2 (2 33)249498181(2 n

25、1)2 1由此可猜測 an2(2n 1)2面用數學歸納法證明這個結論。1）當 n 1 時，a1(2 1 1)2 1(2 11)28，所以等式成立。92）假設當 n k 時等式成立，ak(2(2kk1)12)21，則當nk 1 時，ak 18(k 1)22(2k 1)2 (2k 3)222 (2 k 1)2 1(2k 3)2ak8(k 1)(2k 1)2 (2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2 (2k 3)2(2k 3)2 12(2k 3)222( k 1) 12 12(k 1) 12由此可知，當 n k 1 時等式也成立。根據（ 1），（ 2）可知，等式對任何

26、 n都成立。九、階差法（逐項相減法）1、遞推公式中既有 Sn ，又有 an分析：把已知關系通過 anS1, nSnSn 1 ,n2轉化為數列 an或 Sn 的遞推關系，然后采用相應的方法求解。例 19 已知數列 an 的各項均為正數，且前n 項和 Sn 滿足 Sn16(an 1)(an 2)，且 a2,a4,a9成等比數列，求數列 an 的通項公式。解：對任意 nN有 Sn(ann 6 n1)(an 2)當n=1 時， S1a11(a1 1)(a162) ，解得 a11 或 a1 2當 n 2 時， Sn 116(an 1 1)(an12) -整理得： (anan 1)(anan 13) 0a

27、n 各項均為正數， an an 13當 a11 時， an3n22 ，此時 a42a2a9 成立當 a12 時， an3n21 ，此時 a42a2a9 不成立，故a1 2 舍去所以an 3n 2練習。已知數列 12an 中 , an 0 且 Sn(an 1)2, 求數列 an答案： SnSn 1an(an 1)2 (an 1 1)22、對無窮遞推數列的通項公式 .an 2n 1例 20 已知數列 an 滿足 a11，an a1 2a23a3L (n1)an 1(n 2) ，求 an 的通項公式。解：因為 an a1 2a2 3a3(n 1)an1(n2)所以 an 1 a1 2a23a3(n

28、1)an 1nan用式式得 an 1nan.則 an 1 (n 1)an(n2)故 an 1an1(n2)所以 ananan 1an 1 an 2L a3 a2a2n(n 1) L 43a2n!2 a2.由ana12a23a3L (n 1)an1(n2)，取n2得a2a12a2，則a2a1，又知 a11，則a2 1，代入得 an 1 3 4 5 L n 2所以， an 的通項公式為 an n!.2十、不動點法目的是 將遞推數列轉化為等比(差)數列的方法D ，使 f (x0) x0成立，則稱 x0 為不動點的定義：函數 f (x) 的定義域為 D，若存在 f(x)x0f ( x)的不動點或稱 (

29、x0, f(x0)為函數 f (x)的不動點。分析：由 f(x) x 求出不動點 x0 ，在遞推公式兩邊同時減去 x0 ，在變形求解。類型一：形如 an 1 qan d例 21 已知數列 an 中， a1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求數列 an 的通項公式。解：遞推關系是對應得遞歸函數為 f (x) 2x 1，由 f (x) x得，不動點為 -1 an 1 1 2(an 1) ，類型二：形如 an 1a an bc an d分析：遞歸函數為1)若有兩個相異的不動點f(x) a x b c x d p,q 時，將遞歸關系式兩邊分別減去不動點p,q，再將兩式相除得an 1 pan 1k

30、 an p ，其中 q an qk aa qpcc ， an a qc(a1q pq)kn 1(a1p pq)(a1 p)kn 1 (a1 q)2)若有兩個相同的不動點p，則將遞歸關 系式兩邊減去 不動點 p，然后 用 1 除， 得1an 1 p1an pk ，其中 k2cad例 22. 設數列 an滿足 a1 2,an 15an 452aann 47,求數列 an的通項公式分析：此類問題常用參數法化等比數列求解解：對等式兩端同時加參數 t, 得：an 15an 4 t (2t 5)an 7t2an 7 2an 7(2t5)an7t 42t 52an 77t 4令t 72tt 45, 解之得

31、t=1,-2an t代入an 1 t (2t 5) 2aann t7得an 11 3 an2an7 , an 1 29 2aann27相除得an 1 1an 1 21 an 1 ,即 an3 an 2an1 是首項為2a1 1a1 21，4公比為的等比數列 ,an 1= 1an 2 431 n解得 an4 3n3n 1 1方法 2：an 1 13 an 12an 7兩邊取倒數得1an 1 12an 73(an1)1) 93(an 1)2(anan3，1令 bn1，an 13bn , 轉化為累加法來求 .例 23已知數列an 滿足 an21an4an24，1a1 4 ，求數列an 的通項公式。解：令21x4x24 ，1得 4x220x 24 0，則 x1 2， x23是函數 f（x）21x 2421x 24 的兩個不4x 1動點。因為24an 121321an4an 121