(完整word版)高數(shù)重要知識點

1、1 高等數(shù)學上冊重要知識點 第一章函數(shù)與極限 一.函數(shù)的概念 1 兩個無窮小的比較 設(shè) lim f(x) =O,lim g(x) =0 且 lim 里衛(wèi)=| g(x) (1) l = 0,稱 f (x)是比 g(x)高階的無窮小，記以 f (x) = 0g(x)，稱g(x)是比f(x) 低階的無窮小。 (2) l豐0,稱 f (x)與 g(x)是同階無窮小。 (3) I = 1,稱 f (x)與 g(x)是等價無窮小，記以 f (x) g(x) 2 常見的等價無窮小 當x 0時 sin x x, tan x x, arcsinx x, arccosx x 1- cos x xA2/2 , ex

2、-1 x , In(1 x) x , (1 x)- -1 : x 二求極限的方法 1 兩個準則 準則 1 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在 準則 2.(夾逼定理)設(shè) g(x) f (x) :時未定式二型 QO Q0 連續(xù) n 次施行洛必達法則，有 n(n -1)xn “二”型的未定式，其它的未定式須 0 常見的第二類間斷點有無 6 定理 2.(最大值和最小值定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在這個 區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m。7 定理 3.(介值定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且其最大值和最小值 分別為 M 和 m，則對于介于 m 和 M 之間的任何實數(shù) c

3、,在a,b上至少存在一個 E，使得 f ( E ) = c 推論：如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f (a)與 f (b)異號，則在(a,b) 內(nèi)至少存在一個點E ，使得 f (E) = 0 這個推論也稱為零點定理 第二章導數(shù)與微分 1. 復合函數(shù)運算法則 設(shè) y = f (u)，u =? (x)，如果？(x)在 x 處可導，f (u)在對應(yīng)點 u 處可導，則復合 函數(shù) y = f ? ( x)在 x 處可導，且有 d = dy-=: f( (x) (x) dx du dx 對應(yīng)地dy = f(u)du = f( (x) (x)dx，由于公式dy = f(u)du不管 u 是自變

4、量或中 間變量都成立。因此稱為一階微分形式不變性。 2. 由參數(shù)方程確定函數(shù)的運算法則 設(shè)x =? (t)， y = (t)確定函數(shù) y = y(x) ，其中(t), (t)存在，且 (t)工 0,貝y dy (t) dx 一 (t) 3. 反函數(shù)求導法則 設(shè) y = f (x)的反函數(shù) x = g(y)，兩者皆可導，且 f (x)工 0 4 隱函數(shù)運算法則(可以按照復合函數(shù)理解) 設(shè) y = y(x)是由方程 F(x, y) = 0 所確定，求 y的方法如下： 把 F(x, y) = 0 兩邊的各項對 x 求導，把 y 看作中間變量，用復合函數(shù)求導公式計 算，然后再解出 y的表達式(允許出現(xiàn)

5、 y 變量) 5 對數(shù)求導法則(指數(shù)類型如y二Xs貶) 先兩邊取對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導方法得出導數(shù) y。 對數(shù)求導法主要用于：幕指函數(shù)求導數(shù)多個函數(shù)連乘除或開方求導數(shù) (注意 定義域 P106 例 6) 關(guān)于幕指函數(shù) y = f (x) g (x)常用的一種方法，y = eg(x)ln f(x)這樣就：(t)A3 則 g(y) 1 f(x) 1 f(g(y) 二階導數(shù) :(t) (t)，(t) (t) 8 可以直接用9 復合函數(shù)運算法則進行。 6 可微與可導的關(guān)系 f （x）在X。處可微？ f （x）在X。處可導 7 求 n 階導數(shù)（n 2,正整數(shù)） 先求出y , y,，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫

6、出 y（n）,最后用歸納法證明。有 一些常用的初等函數(shù)的 n 階導數(shù)公式 pW(x) = v(x) 瑕設(shè)心）和、心:）都是用階可導樣(1) x (n) x y =e ,y e (2) x (n) x 、n y = a , y a (ln a) (3) y =sin x, y(n) =sin(x 亍) n 二 y 二 cosx,y(n)二 cos(x 亍) (5) y =1 n x, y(n) =(一1)2(n - 1)!x (4) 兩個畫敬乘積的n階導數(shù)有藥布尼茲公式 ”（訃何r氣訃小匕） t=0 n 10 第三章 微分中值定理與導數(shù)應(yīng)用 一羅爾定理 設(shè)函數(shù) f (x)滿足 (1)在閉區(qū)間a,

7、b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；(3) f (a) = f (b) 則存在E (a,b)，使得 f ( E ) = 0 二 拉格朗日中值定理(證明不等式 P134 9、10) 設(shè)函數(shù) f (x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導； 則存在 E (a,b)，使得 f(b) f(a) = f() b a 推論 1 若 f (x)在(a,b)內(nèi)可導，且 f (x) = 0,則 f (x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。 推論 2 若 f (x) , g(x)在(a,b)內(nèi)皆可導，且 f (x) = g (x)，則在(a,b) 內(nèi) f (x) = g(x)+ c，其中 c

8、為一個常數(shù)。 三柯西中值定理 設(shè)函數(shù) f (x)和 g(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上皆連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可 導；且 g (x)工 0 則存在 E (a,b)使得 f 一 f(a)(a： b) g(b)-g(a) g) (注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形 g( x) = x 時，柯西 中值定理就是拉格朗日中值定理。) 四泰勒公式( 估值求極限(麥克勞林)P145 T10 ) 定理 1.(皮亞諾余項的 n 階泰勒公式) 設(shè) f (x)在 0 x 處有 n 階導數(shù)，則有公式 晉 4 工卷)+今丄一嶺F+A十普扎亠憶找) 對常用的初等函數(shù)如ex,sin x.cos

9、 x.ln( 1 + x)和(1 x= ( a為實常數(shù))等的 n 階泰 勒公式都要熟記。 定理 2 (拉格朗日余項的 n 階泰勒公式) 設(shè) f (x)在包含 0 x 的區(qū)間(a,b)內(nèi)有 n+1 階導數(shù)，在a,b上有 n 階連續(xù)導數(shù)，則對 x 直)=fkj* I，I 疋 e % I+ - ； I 尸 +A +_- I.H - % r 亠 &工.1 a,b，有公式 ， f i n+111 叭 苴中Rn (x) = - (x -兀嚴 川+邛 ,稱為拉格朗日余項 上面展開式稱為以 0 x 為中心的 n 階泰勒公式。 當x=0 時， 也稱為 n 階麥克勞林 公式。其中= 帀f 稱為皮亞諾余項

10、11 導數(shù)的應(yīng)用 一基本知識 設(shè)函數(shù) f (x)在X。處可導，且X。為 f (x)的一個極值點，貝 U f(X0)=O。 我們稱 X 滿足f(Xo)=0的Xo稱為f (x)的駐點，可導函數(shù)的極值點一定是駐點， 反之不然。極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點中進一步去判斷。 極值點判斷方法 第一充分條件 f (X)在Xo的鄰域內(nèi)可導，且f (Xo) = 0，則若當x * Xo時，f (x) 0， 當X Xo時，f(X)： 0，則Xo為極大值點；若當 X ” Xo時，(X)： 0，當 x Xo時，f(X) 0，則Xo為極小值點；若在Xo的兩側(cè)f (x)不變號，則Xo 不是極值點 第二充分

11、條件 f(x) 在 xo 處二階可導，且 f(X。)= 0， f(Xo) = 0，則若 f (xo) v 0， 則Xo為極大值點；若 (X。) 0，則Xo為極小值點 二凹凸性與拐點 1. 凹凸的定義 設(shè) f (x)在區(qū)間 I 上連續(xù)，若對任意不同的兩點 1 2 x , x，恒有 則稱 f(X)在 I 上是凸(凹)的。 在幾何上，曲線 y = f (x)上任意兩點的割線在曲線下(上)面，則 y = f (x) 是凸(凹)的。如果曲線 y = f (x)有切線的話，每一點的切線都在曲線之上(下) 則 y = f (x)是凸(凹)的。 2 拐點的定義 曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。 3 凹凸

12、性的判別和拐點的求法 設(shè)函數(shù) f (x)在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)f(x)， + (碼)+戀)(彳筈 12 如果在(a,b)內(nèi)的每一點 X，恒有f(x) 0，貝 U 曲線 y = f (x)在(a,b)內(nèi)是凹的;13 如果在(a,b)內(nèi)的每一點 x,恒有f(x)v 0,則曲線 y = f (x)在(a,b)內(nèi)是凸的 求曲線 y = f (x)的拐點的方法步驟是： 第一步：求出二階導數(shù)f(x)； 第二步：求出使二階導數(shù)等于零或二階導數(shù)不存在的點 第三步： 對于以上的連續(xù)點， 檢驗各點兩邊二階導數(shù)的符 點就是拐點的橫坐標； 第四步：求出拐點的縱坐標。 四漸近線的求法 I. 垂直漸近線 若 lini

13、 /(x)= * 或 1誕 y(x)=s :XT碑 XT 住一 lx = a為曲線y = fg)的一條垂盛漸近線. 2水平漸近線 若 lim y(x)= b t nR lim /(x) = b XH- 則y = b是曲線y = /(x)的 條水平漸近線。 m 斜漸近線 - hm 門 二訂 工 r ” inn fl.v l- - A JKy JCTY 戒 lim f h = a 護 0 liin /(x)ox = ox + 6是曲線y = /(x)的-條斜漸近線. 五曲率Xi,X2,.Xk ； ，如果符號不同，該 14 設(shè)曲線y = /(x)它在點Af(x. v)處的|N辛一 1 k= ,若kO

14、t則稱R =-為點M(x.v)處 1 +的平 k 的曲率半徑*在M點的法線上*凹向這邊取點 使|妙| =疋”則稱 Q 為曲率中心，比。為圓心R為半 矗的圓周稱為|!ll率闘 第四章不定積分 一基本積分表： Jtgxdx = -ln cos +C Jctgxdx = ln sin x +C Jsecxdx =ln Jcscxdx = In cscxctgx +C dx 2 =sec xdx = tgx C cos x dx csc xdx 二-ctgx C sin x secx tgxdx 二 secx C 15 _ 2 x 2 2 a . x a - x arcs in C 2 2 adx 2

15、 2 a x dx .2 2 x -a dx .2 2 a -x dx 1 x c arctg C a a 1 In 2a 二丄 In 2a a -x cscx ctgxdx 二-cscx C axdx C ln a shxdx = chx C chxdx = shx C a2 -x2 二 arcs in? C dx In cos x2 a2dx 二 x .,x 2 n -2 n _ 2 . _ 2 a2 ln(x x2 a2) C 2 x2 -a2dx 2 2 2 a 丄.2 2 x ax+*x -a 2 - a2x2dx C C x 2 16 換元積分法和分部積分法 換元積分法 (1) 第

16、一類換元法(湊微分)：.f(x) _(x)dx 二 f (u)dJ u(x) (2) 第二類換元法(變量代換)：.f(x)dx 二 f(t) -(t)dt =i(x) 分部積分法 udv 二 uv - vdu 使用分部積分法時被積函數(shù)中誰看作u(x)誰看作v(x)有一定規(guī)律。 記住口訣，反對幕指三為 u(x)，靠前就為u(x)，例如.exarcsinxdx，應(yīng)該是 arcsinx 為u(x)，因為反三角函數(shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。 三有理函數(shù)積分 其中 P(x)和 Q(x)是多項式 簡單有理函數(shù)： 1、“拆 2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等) f(x)二 P(x) (x

17、a)(x b) f(x)二 P(x) (x a)2 b 17 一概念與性質(zhì) 1、 第五章 定積分 b n f (x)dx = lim f( J 人 a 0i=i (10 條) 定義： 性質(zhì)： f(x)dx = - f(x Vx f(x)dx = 0 bKfi (x)+ kifi (x)0 x = *1 r 久 &床 + k2 f2 (x)dx (3 廠 (4) J /(A-)r/x = j / LY + J /Cv)v ( c 也町以在 n5fe 2、 (1) (2) 一 之外) (5)設(shè) a b , /(x) v) 7 x f(x)dx gx)clx (6)設(shè)ov, m /(x) M

18、 (a xb)r 則 mb 7) f (x加 Mb a Ja (7)設(shè) ci b , 則 f /(xM 18 (8)定枳分中值定理 設(shè)在d上連續(xù)，則存在 f(x)dx = f(clb-a) 定義: 我們稱1 j f(xdx為/&)在“上上的枳 分平均值 (9)奇偶函數(shù)的枳分性質(zhì) f(xix = 0 (/奇函數(shù)) Jp 丿&肚二2 f(x)dx ( /偶函數(shù)) (10)周期函數(shù)的枳分性質(zhì) 設(shè)/(x)以丁為周期，。為常數(shù)，則 f Tf(x)dx = fx)dx 3基本定理 x 變上限積分：設(shè)(x)= f f (t)dt ,則(x) = f (x)推廣： d ：(x) f(t)dt

19、二 f(x)(x)- f： (X)： (x) dx -(x) b N-L公式：若 F(x)為 f (x)的一個原函數(shù)，則 J f(x)dx= F(b)- F (a) a 4 定積分的換元積分法和分部積分法19 1.定積分的換元積分法 設(shè)/G）在司上連續(xù)，若變量替換.2 加）滿足 （1）0（在久0（或So）上連續(xù)： (2 ) (a)二 a ,卩(0)= b ,且當 a t p 時, 2.定積分的分部積分法 設(shè)H（“討（兀）在（7,6上連續(xù)，則 J (，店加= 心hx) - J dk加 或(x)dHx) = (;r)v(;r)|：-(才)則 f /&加=f W 20 第六章 定積分的應(yīng)用

20、（一） 平面圖形的面積 b 1、直角坐標：A = J f2(x) - fi(x)dx a 1 o 2 2、極坐標：A 二 2 一 2（二）一 1 C ）d （二） 體積 1、旋轉(zhuǎn)體體積： a） 曲邊梯形y二f （x）, x二a, x二b,x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn) 21 b 2 體的體積：Vx二f （x）dx a b） 曲邊梯形y二f （x）, x二a, x二b, x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn) b 體的體積：Vy二2二xf(x)dx (柱殼法) a b 2、平行截面面積已知的立體：V = A(x)dx (三) 弧長 1、 直角坐標：S If (x 2dx 2、 參數(shù)方程：S =，丨2 *(t)】

21、2dt 極坐標：s = ； Ju】2C)】2dv22 第七章微分方程 概念 1、微分方程： 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)及自變量之間關(guān) 系的方程.階:微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的 階數(shù).23 2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)通解：方程的解中含有任 意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定 了通解中的任意常數(shù)后得到的解. （二）變量可分離的方程 g(y)dy 二 f(x)dx，兩邊積分 g(y)dy 二 f(x)dx （三）齊次型方程 dx “x、 x dx dv 或礦（y），設(shè) r，則?！?y石 （四）一階線性微分方程 2 p（x）廠 Q（x） 用 常數(shù) 變 易 法 或 用 公 式： y=eP(x)dx Q(x)eP(x)dxd