周末培優(yōu)(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用)

1、周末培優(yōu)（導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用）2017-03-23一、選擇題 ( 本大題共6 小題，共 30.0 分 )1. 已知函數(shù) f（ x） =kx， g（ x） =，若關(guān)于x 的方程 f（ x） =g（ x），在區(qū)間 ，e 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是（）A.，）B. （，C.（0，）D.（，+）2. 已知函數(shù) f（ x） =ex（x- b）（ bR）若存在 x ， 2 ，使得 f（x） +xf（ x） 0，則實(shí)數(shù) b 的取值范圍是（）A. （- ，）B. （- ，）C.（-， ）D.（，+）3. 已知函數(shù)fxyx3-3x2+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（， 0）對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)（t（ ）的圖象與函數(shù)=1， ）僅能作曲

2、線y fxt的取值范圍是（）=（ ）的一條切線，則實(shí)數(shù)A. （-3 ，-2 ）B.-3 ，-2C. （ - ， -3 ）（ -2 ，+）D. （ - ， -3 ）-2 ，+）fx）是函數(shù)fx0，+）上的導(dǎo)函數(shù)，滿足，則4.設(shè) '（ ）定義在（下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.5. 已知奇函數(shù)fx）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f（xxf（），當(dāng) 0 時(shí)有222（ -2） 0 的解集為（）（ x） +xf（ x） x，則不等式（ x+2014） f（ x+2014）+4fA. （ - ， -2012 ）B. （ -2016 ， -2012 ）C. （ - ， -2016 ）D

3、. （ -2016 ， 0）x+ayx2a6. 已知曲線y e與的取值范圍為（）=（ -1 ） 恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)A. （- ，ln2+3）B.（- ， 2ln2-3 ）2C. （ 2ln2-3 ，+）D.（ 2ln2+3，+）二、填空題 ( 本大題共4 小題，共 20.0分 )7. 已知函數(shù) y=ex 與函數(shù) y=lnx 的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱，請(qǐng)根據(jù)這一結(jié)論求：lnxdx=_ 8.= _f xx3-3x2xmmm的取值范圍為9.若（） =2-12+3 在區(qū)間 ，+4 上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)_ 10. 已知函數(shù) f（ x） =有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，則a 的取值范圍是_ 三、解答題

4、( 本大題共5 小題，共 60.0 分 )11. 已知函數(shù)f（ x） =x3+x-16 （ 1）求滿足斜率為 4 的曲線的切線方程；（ 2）求曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 2， -6 ）處的切線的方程；（ 3）直線 l 為曲線 y=f（ x）的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l 的方程f x） =ax2 lnxa12. 已知函數(shù) （-， R（）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程；（）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù) f（ x）在區(qū)間（0， e 上的最小值為，若存在，求出 a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由13. 已知函數(shù)fx） =lnx+a（， Ra時(shí)，試比較f x）與 1 的大?。?/p>

5、（ 1）當(dāng) =2（ 2）求證：lnn+ +n*（+1）（ N）14. 已知函數(shù) f（ x）=ex（ ax+2）（ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， aR為常數(shù)）對(duì)于函數(shù) g（ x），h（ x），若存在常數(shù) k，b，對(duì)于任意 x R，不等式 g（ x） kx+b h（x）都成立，則稱直線 y=kx+b 是函數(shù) g（ x）， h（ x）的分界線（）若a=-1 ，求 f（ x）的極值；（）討論函數(shù)f（ x）的單調(diào)性；（）設(shè) a=2，試探究函數(shù) g（ x） =- x2+4x+2 與函數(shù) f （ x）是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說(shuō)明理由15. 已知函數(shù)f（ x） =x- alnx-（）

6、當(dāng)a- b=1，a 1 時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（）當(dāng)bafx在區(qū)間 2 ， 4 上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值=-1 ， 4時(shí)，不等式（ ）-范圍周末培優(yōu)（導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用）答案和解析【解析】1. 解：由 f（ x） =g（ x）， kx=，k， =令 h（ x） =，方程 f（ x）=g（ x）在區(qū)間 ， e 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解， h（ x）在 ， e 內(nèi)的圖象與直線y=k 有兩個(gè)交點(diǎn)hx）=， （hxx=，令 （ ） =0，則當(dāng) x ， 內(nèi) h（ x） 0，當(dāng) x， e 內(nèi) h（ x） 0，當(dāng) x=， h（ x） =，當(dāng) x=e 時(shí)， h（ e） =，當(dāng) x= ， h（ x）=- e2，故當(dāng) k，

7、）時(shí)，該方程有兩個(gè)解故選： A將方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值；通過(guò)對(duì)k 與函數(shù) h（ x）的極值的大小關(guān)系的討論得到結(jié)論本題考查通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)2. 解： f（x） =ex（ x- b）， f（ x） =ex（ x- b+1），若存在xf x）xfx，2 ，使得 （+（ ） 0，則若存在x ， 2 ，使得ex（x bxexx b-）+（ - +1） 0，即 b在 ， 2 恒成立，令gxx（） =， ，2，則gx 0，（ ）=g（ x）在 ， 2遞增， g（ x） 最大值 =g（ 2） = ，故 b，故

8、選：A求出f（ x），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b在 ，2恒成立，令g（x） =， x，2 ，求出 b 的范圍即可本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題3.解：函數(shù)f（ x）的圖象與函數(shù)y=x3-3 x2+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（， 0）對(duì)稱，設(shè)（ x， y）為 y=f（ x）圖象上的點(diǎn)，其對(duì)稱點(diǎn)為（1- x， - y），且在函數(shù)y=x3-3 x2 +2 的圖象上，可得 - y=（1- x） 3-3 （ 1- x） 2+2，即為 y=f（ x） =（ x-1 ） 3+3（ 1- x） 2-2 ，設(shè)切點(diǎn)為（m nnm3+3（1-m2-2，），則 =（-1）fxfxx2+6（x-1 ）

9、 =3（ x2-1 ），（ ）的導(dǎo)數(shù)為（ ）=3（ -1 ）可得切線的方程為y- n=3（m2-1）（ x- m），2代入點(diǎn)（ 1， t），可得 t- n=3（ m -1 ）（ 1- m），23化簡(jiǎn)可得t+3=3m -2 m ，由 g（ m） =3m2-2 m3，g（ m） =6m-6 m2=6m（ 1- m），當(dāng) 0 m 1 時(shí)， g（ m） 0，g（ m）遞增； 當(dāng) m 0 或 m 1 時(shí)，g（ m） 0，g（ m）遞減則 g（ m）在 m=0 處取得極小值 0，在 m=1 處取得極大值 1，由過(guò)點(diǎn)（ 1， t）僅能作曲線 y=f（ x）的一條切線，可得 t+3=3m2-2 m3 只有一解

10、，則 t+3 1 或 t+30，tt-3解得 -2或故選： Cx yy f xx yy x3x2由對(duì)稱性可得 （ ， ）為=（ ）圖象上的點(diǎn)， 其對(duì)稱點(diǎn)為 （1-，-），且在函數(shù)= -3+2的圖象上，代入可得f（ x）的解析式，設(shè)出切點(diǎn)（m， n），求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，代入點(diǎn)（1， t），化簡(jiǎn)整理可得t+3=3m2-2 m3，g mm2-2m3tm2m3只有一解，由 （ ）=3，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，由題意可得+3=3-2則 t+3 1 或 t+30，解不等式即可得到所求范圍本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理能力

11、，屬于中檔題fxf x，4. 解：' （ ）是函數(shù)（ ）定義在（ 0，+）上的導(dǎo)函數(shù)，滿足可得，22（ x）= 0，令 g（ x） =xf（ x），則 g（ x） =x f（ x） +2xf函數(shù) g（x）在 R 上單調(diào)遞增2 g（ 2）=4f（ 2） g（ e） =e f（ e） g（3） =9f（ 3），故選： B構(gòu)造 g（ x） =x2f（x），利用其單調(diào)性即可推出結(jié)果本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，正確構(gòu)造 g（ x）=x2 f（ x）和熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究和的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵5. 解：由 2f（ x） +xf（ x） x2，（ x 0）；23得： 2xf（ x） +x f（ x）

12、x23 0；即 x f（x） x令 F（ x） =x2 f（ x）；則當(dāng) x 0 時(shí)， F' （x） 0，即 F（ x）在（ 0，+）上是減函數(shù)， f（ x）為奇函數(shù)，2F（ x） =x f（ x）為奇函數(shù)，F(xiàn)（ x）在（ - ， 0）上是減函數(shù)，F(xiàn)（ x+2014） =（ x+2014） 2f（ x+2014）， F（ -2 ） =4f（ -2 ）；即不等式等價(jià)為 F（x+2014） +F（ -2 ） 0；即 F（ x+2014） -F （ -2 ）=F（ 2）， x+20142， x -2012 ；原不等式的解集是（ - ， -2012 ）故選： A構(gòu)造函數(shù)22F（ x） =x f

13、（ x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由（x+2014） f（ x+2014）+4f（ -2 ） 0 轉(zhuǎn)化為 F（ x+2014） -F （ -2 ） =F（ 2），解得即可本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系， 兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的求法， 而構(gòu)造函數(shù)是解本題的關(guān)鍵6. 解： y=（ x-1 ） 2 的導(dǎo)數(shù) y=2（ x-1 ）， y=ex+a 的導(dǎo)數(shù)為 y=ex+a，設(shè)與曲線 y=ex+a 相切的切點(diǎn)為（ m， n），y=（ x-1 ） 2 相切的切點(diǎn)為（ s， t），則有公共切線斜率為m+a=，2（ s-1 ） =e又 t=（ s-1 ） 2， n=em+a，即有2（s） =，-1即為s m

14、-1 ，-=即有 m=（ s 1），則有 em+a=2（s-1），即為 a=ln2（ s-1 ） -（ s 1），令 f（ s） =ln2（ s-1 ） -（ s1），則 f（ s） =，當(dāng) s 3 時(shí)， f（ s） 0，f（s）遞減，當(dāng) 1 s 3 時(shí)， f（ s） 0， f（ s）遞增即有 s=3 處 f （ s）取得極大值，也為最大值，且為2ln2-3 ，由恰好存在兩條公切線，即s 有兩解，可得 a 的范圍是 a2ln 2-3 故選 B分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，可得msa lnssf s lns）=（ 1），則有=2（ -1 ）-（

15、 1），令 （ ）=2（ -1-sa的范圍（ 1），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題7. 解：如圖，=2ln2- eln 2+e0=2ln2-1 故答案為： 2ln2-1 由對(duì)稱性化：lnxdx 為，然后求解定積分得答案本題考查定積分，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題8.解：由定積分的性質(zhì)可知：=2dx，定積分的幾何意義可知：dx 表示三角形AOB及扇形 AOC的面積之和，則三角形AOB的面 S1=××=，扇形 AOC的面積 S2=××12=×

16、×12=2dx=2（+） =故答案為：由=2dx，dx 表示三角形AOB及扇形 AOC的面積之和，分別求得其面積.本題考查定義的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于中檔題9. 解： f（ x） =6x2-6 x-12=6 （ x+1）（ x-2 ），令 f（ x） 0，解得： x 2 或 x-1 ，令 f（ x） 0，解得： -1 x 2， f（ x）在（ - ， -1 和2 ，+）上單調(diào)遞增，在-1 ， 2 上單調(diào)遞減，若 f（ x）在 m， m+4 單調(diào)， m+4 -1 或 m2， m -5 或 m2，即 m 的取值范圍是（ - ， - 5 2 ，+），故答案為：（ - ， - 5 2

17、，+）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于 m 的不等式，解出即可本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題10.解：當(dāng)a=0 時(shí)， f（ x） =，此時(shí) f（ x）在（ - ， 0）上不存在極值點(diǎn)，在（ 0，+）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，顯然不成立，當(dāng) a 0 時(shí)，xf xx2ax，對(duì)稱軸，在（ - ， 0）上不存在極值點(diǎn)，若 0，則（） = +若 x 0，則 f（ x） =xlnx- ax2， f' （ x） =lnx+1-2 ax，令g x lnx+1-2axx，即g x）在（ 0，+）上單調(diào)遞（ ） =，（ 0），則（增，

18、 g（ x）有且僅有 1 個(gè)零，即 f' （ x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即 f（ x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，顯然不成立，當(dāng) a 0 時(shí)若 x 0，則 f（ x） =x2+ax，對(duì)稱軸x=- 0，在（ - ， 0）存在 1 個(gè)極值點(diǎn)若 x 0，則 f（ x） =xlnx- ax2， f（ x） =lnx+1-2 ax，令 g（ x） =lnx +1-2 ax，（ x 0），則 g（ x） = -2 a=-由g x） 0可得，由gx可得x，' （ ）0 g（ x）在上單調(diào)遞增，在（， 0）上單調(diào)遞減，則，要讓（ x）=xlnx - ax2 有 2 個(gè)極值點(diǎn)，須讓max 0，即 g（ x） m

19、ax=- ln2a 0，g（ x） =f'（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即只須讓g（x）解得得綜上所述a 的取值范圍為（0，）故答案為：需要分類討論，當(dāng)a時(shí)，當(dāng)a時(shí)，當(dāng)a時(shí)三種情況，其中當(dāng)a 0，若x=0 0 0 0，則 f（ x）=xlnx- ax2，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g（ x）=lnx+1-2 ax，求出函數(shù) g（x）的最大值，要xxlnxax2有 2 個(gè)極值點(diǎn)，須讓g（x）fxgx讓（ ）=-= '（ ）有兩個(gè)零點(diǎn)，即只須讓（ ）max 0，解得即可本題考查了分段函數(shù)的問(wèn)題，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的分類討論思想化歸思想，屬于中檔題11. 解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ x

20、0， y0），f xx3x-16 的導(dǎo)數(shù)為f（xx2+1，函數(shù) （） =+） =3由已知得f（x0k 切=4，即，解得x0=1 或-1 ，） =切點(diǎn)為（ 1， -14 ）時(shí)，切線方程為：yxxy+14=4（-1），即 4 -18=0 ；切點(diǎn)為（ -1 ， -18 ）時(shí)，切線方程為：y+18=4（x+1），即 4x- y-14=0 ；（ 2）由已知得：切點(diǎn)為（ 2， -6 ），k 切=f' （ 2） =13，則切線方程為 y+6=13（ x-2 ），即 13x- y-32=0 ；（ 3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0， y0），由已知得f'（x0k 切=，且，） =切線方程為： y- y0=

21、k（ x- x0），即，將（ 0， 0）代入得 x0=-2 ， y0=-26 ，求得切線方程為：yxxy+26=13（+2），即 13 -=012. 解：（）當(dāng)af xx2-lnxff（ 1） =1，=1時(shí)， （） =， （ 1）=1，fxf（ 1）處的切線方程為xy函數(shù) （ ）在點(diǎn)（1，- =0fxax2-lnxa=，（）（）=， R，此函數(shù)的定義域?yàn)?（ 0，+），當(dāng) a0時(shí)， f（ x） 0 恒成立， f（ x）在（ 0， e 上是減函數(shù)，當(dāng)x e時(shí)，fxfeae2，=（ ）取得最小值（ ） =-1=解得 a= 0 與 a0矛盾；當(dāng) a 0 時(shí)，令 f（ x）=0，得，在（ 0，）上，

22、f（ x） 0，在（，+）上， f（ x） 0，當(dāng)ea時(shí)，函數(shù)fx）在（ 0，）上是減函數(shù)，在（e ，即（， ）上是增函數(shù)，當(dāng) x=時(shí)， f（ x）取得最小值，令=，得 a=，符合題意當(dāng)e0a時(shí)，函數(shù)f（x）在（e ，即0， 是減函數(shù)，當(dāng)x e時(shí)，fxae2-1= ，=（ ）取得最小值，即解得 a=與 0 a矛盾綜上，存在 a=，使函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0，e 上的最小值為 13. 解：（1）當(dāng) a=2 時(shí)， f（ x） =lnx+，其定義域?yàn)椋?0，+），hxfx） -1=lnx+-1 ，令（）=（hx）=-=， （ h（ x）在（ 0，+）上單調(diào)遞增，當(dāng) x 1 時(shí)， h（ x） h（

23、 1）=0，即 f（ x） 1，當(dāng) 0 x 1 時(shí)， h（ x） h（1） =0，即 f（ x） 1，當(dāng) x=1 時(shí)， h（ x） =h（ 1） =0，即 f（ x） =1，（ 2）由（ 1）可得，當(dāng)x1f x） 1，時(shí)， （即 lnx+1，即 lnx，令 x=，則 ln=， ln2， ln， ln2+ln+ +ln=ln（ n+1）+ +，問(wèn)題得以證明x14. 解：（）若a=-1 ，則 f（ x）=e （ - x+2），當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） 0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng) x 1， f（ x） 0，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng) x=1 時(shí)函數(shù) f（ x）取得極大值f（1） =e；x當(dāng) a 0 時(shí)， f（

24、 x） 0? ax - a-2 ，即 x -1-，函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ -1-，+）上是增函數(shù)，fx） 0，得x -1-，由 （在區(qū)間（ - ， -1-）上是減函數(shù)；當(dāng) a=0 時(shí) f（ x） 0，函數(shù) f（ x）是區(qū)間（ - ， +）上的增函數(shù)；afx） 0?axa即x -1-，當(dāng) 0時(shí)， （- -2fx）在區(qū)間（ - ， -1-）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1- ，+）上是減函數(shù)函數(shù) （x（）當(dāng)a=2 時(shí)， f（ x）=e （ 2x+2），則 - x2+4x+2 kx+mex（ 2x+2）恒成立，令 x=0，則 2 m2，所以 m=2，因此：kx+2 -x2xx2k-4x+4+2 恒成立，即+（） 0恒成立，由0 得到（k-42k） 0：即=4現(xiàn)在只要判斷ex（ 2x+2）4x+2 是否恒成立，設(shè) ? （ x）=ex（ 2x+2） - （ 4x+2），因?yàn)椋?? （ x） =ex（ 2x+4） -4 ，當(dāng) x 0 時(shí)， ex 1， 2x+44， ? （ x） 0，當(dāng) x 0 時(shí)， ex（ 2x+2） 2e