(完整版)蘇科版八年級下冊第九章中心對稱圖形章節(jié)知識點§9.1~9.5

1、 0 9.1圖形的旋轉 【知識點總結】 1、 生活中的旋轉 例1 :下列現象中：地下水位逐年下降；傳送帶的移動；方向盤的轉動；水龍頭開關 的轉動；鐘擺的運動；蕩秋千運動.屬于旋轉的有( ) A.2 個 B.3 個 C.4 個 D.5個 2、 旋轉的概念 將圖形繞一個頂點轉動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉，這個定點稱為旋轉中 心，旋轉的角度稱為旋轉角。圖形的旋轉不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形上點的位置。 例2 :如圖所示， ABC繞頂點C順時針方向旋轉某一角度后，得到 A B C。請回答下 列問題： (1) 旋轉中心是哪一點？ 2)旋轉角是哪個角？ (3) 經過旋轉，點A、B分別移

2、動到什么位置？ (4) 找出圖形中所有相等的角和線段。 3、旋轉的性質 一個圖形和它經過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋 轉中心連線所成的角相等。 例3 :四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB延長線上的點，且DE=BF,連接AE、AF、 EF (1 )求證： ADEB ABF； (2) 填空： ABF可以由 ADE繞旋轉中心 _ 點，按順時針方 向旋轉_ 度得到； (3) 若 BC=8, DE=6,求厶AEF的面積. 4、畫旋轉后的圖形 利用圖形的旋轉的性質，可以畫出一個圖形繞某點按照一定的方向旋轉一定角度后的圖形。 基本畫法：將圖形上的一些特殊點與旋

3、轉中心連接，以旋轉中心為圓心，連線段長為半徑畫 圖，按照旋轉的角度來找出對應點，再畫出所有的對應線段。 例4 :如圖，0為 ABC外的一點，求作： ABC繞點0按順時針方向旋轉60。后所得的 A B C。 . A 例 2圖 【典例展示】 題型一確定圖形的旋轉角度 例1:如圖所示，點 A、B C、D、O都在方格紙的格點上，若 COD是由 AOB繞點0按逆時針方向 題型三 生活中的數學問題 旋轉而得，則旋轉的角度為（ ） A.30 B.45 C.90 D.135 題型二 確定圖形的旋轉中心 例2 :如圖，0為正方形ABCD的邊CD的中點，如果正 方形CDEF旋轉后能與正方形ABCD重合，那么圖形所

4、在 的平面上可以作為旋轉中心的點共 個。 例3：如圖，這是一個正面為黑、反面為白的未拼完的拼木盤，給出如下四塊正面為黑、反 面為白的拼木，現欲拼滿拼木盤并使其顏色一致，請問應選擇的拼木是（ ）A. B. D. 題型四 推理說明題 例4:將兩塊大小相同的含 30角的直角三角尺(/ BAC2 B A C =30)按如圖所示的方式放置， 固定三角尺A B C,然后將三角板 ABC繞直角頂點C順時針方向旋轉(旋轉角小于 90)至圖所示 的位置，AB與A C交于點E, AC與A B交于點F, AB與A B相交于點 0. (1) 求證： BCEA B CF; (2) 當旋轉角等于 30時，AB與A B垂直

5、嗎？請說明理由. 題型五有關旋轉的做圖題 C. 例5:在方格紙上按下列要求作圖(如圖)，不用寫作法: (1) 做出“小旗子”向右平移 6格后的圖案； (2) 做出“小旗子”繞點 0按逆時針方向旋轉 90后的圖案。 題型六探究性問題 例6:在厶ABC中，AB=AC/ BAC=x( 0 aBC,BC=6cm 點P、Q分別以A、C點同時出發(fā)， 運動，設運動時間為 題型六探索性問題 例7 :在 ABC中，AB=AC點D在邊BC邊所在的直線上，過點 D作DE/ AC交直線 AB于點E , DF/ AB交 直線AC于點F (1) 當點D在邊BC上時，如圖，求證： DE+DF=AC (2) 當點D在邊BC的

6、延長線上時，如圖；當點 D在邊BC的反向延長線上時，如圖，請分別寫出圖 、圖中DE DF, AC之間的數量關系，不需要證明. (3) 若 AC=6 DE=4,貝U DF= _ 【誤區(qū)警示】 誤點1不能正確把握平行四邊形的條件，導致錯誤 例1 :在四邊形ABCD對角線AC BD相交于點 0,給出下列四組條件： AB/ CD, AD/ BC;AB=CD,AD=BC; AO=CO,BO=DOAB/ CD,AD=BC其中，一定能判定四邊形是平行四邊形的條件有( ) A.1組 B.2 組 C.3 組 D.4 組 誤點2不能正確應用反證法，導致錯誤 例2:用反證法證明命題“三角形中至少有一個內角小于或等于

7、 60 ”的第一步假 設() A.三角形中有一個角小于 60 B. 三角形中沒有一個內角大于 60 C.三角形中每一個內角都大于 60 D. 三角形中沒有一個內角等于 60 9.4矩形、菱形、正方形 【知識點總結】 1、矩形的概念和性質 P以1cm/ s的速度由點 A向點D運動，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B x秒則當x=時，四邊形 ABQP是平行四邊形. 有一角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形也叫做長方形。矩形是特殊的平時行不行，它除了具有平行四 邊形的一切性質外，還具有的性質：矩形的對角線相等，四個角都是直角。 例1:如圖，在矩形 ABCD中，E、F為邊BC上兩點，且BE=CF連接AF、

8、DE交于點0,求證: (1) A ABFA DCE (2) A AOD是等腰三角形 2、判定矩形的條件 (1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形 (2) 三個角是直角的四邊形是矩形 (3) 對角線相等的平行四邊形是矩形 3、平行線之間的距離及其性質 如圖9.4-1，直線a/ b, P為直線a上的任意一點，PQLb，垂足為Q則線段PQ的長度稱為平行線 之間的距離 性質：兩條平行線之間的距離處處相等 例3: (1)如圖，直線a / b, A、B為直線b上的兩點，C、 P為直線a上的兩點，則A ABC的面積與A ABP的面積關系 是 (填“相等”或“不等”) (2)如果P點在直線a上移動，那么無論點

9、P移動到哪個 位置，總有 與 A ABC的面積相等，理由是 _ 4、菱形的概念與性質 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形，它除了 具有平行四邊形的一切性質外，還具有一些特殊的性質：菱形的四條邊相等； 菱形的對角線互相垂直。 例4:如圖，在菱形 ABCD中, AB=3,Z ABC=60，則對角線 AC的長度為( A.12 B.9 C.6 D.3 5、判定菱形的條件 (1) 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形(概念) (2) 四邊相等的四邊形是菱形 例2 :如圖，P為口 ABCD勺邊CD的中點，且 PA=PB求證：四邊形 ABCD為矩 形。 a、b 圖 E C P ) 口例

10、祠 (3) 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形例5:如圖，在口 ABCD中，對角線 AC的垂直平分線與邊 是菱形。 AD BC分別交于點 E、 F,求證：四邊形 AFCE 6、正方形的概念、性質和判定條件 有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是 有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性質。 判定正方形的條件： （1） 有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正 方形（概念） （2） 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 （3） 有一個角是直角的菱形是正方形 例6 :下列說法：有一個角是直角的菱形是正

11、方形；兩條對角 線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形； 四條邊都相等的四邊形是正方形。其中，正確的有（ ） A.1個 B.2 個 C.3 個 D.4 個 【典例展示】 題型一運用相關性質進行解題 例1 :如圖，在矩形 ABCD中，E是AD上的一點，F是邊AB上的一點，EF丄EC,且EF=EC,DE=4cm矩形ABCD 的周長為32cm,求AE的長。 例2 :如圖，在菱形ABCD中, / BAD=80 , AB的垂直平分線交對角線 AC與點F, 垂足為E,連接DF,則/ CDF的度數為（ ） A.50 B.60 C.70 D.80 例3 :已知正方形 ABCD勺邊長為a，兩條對角線

12、 AC BD相交于0點，P是射線AB上的任意一點，過點 P 分別作直線 AC BD的垂線PE PF,垂足分別為 E、F。 （1）如圖，當 P點在線段AB上時，求PE+PF的值. （2）如圖，當 P點在線段AB的延長線上時，求 PE-PF的值. 題型二運用特殊的平行四邊形的判定方法進行解題 例4 :如圖，將口 ABCD勺邊DC延長到點E,使CE=DC連接AE交BC于點閤 F (1) 求證： ABFA ECF； (2) 若/ AFC=N D,連接 AG BE,求證：四邊形 ABEC是矩形. 例5:如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點 A作BC的平行線，交 BE的延長線 于

13、點F，連接CF。 (1) 求證：AF=DC (2) 若AB丄AC試判斷四邊形 ADCF的形狀，并證明你的結論. 例6:如圖，在四邊形 ABCD中, AB=BC對角線BD平分/ ABC P是BD上的一點，過點P作PM丄AD PN丄CD 垂足分別為M N. (1) 求證：/ ADBM CDB (2) 若/ ADC=90，求證：四邊形 MPN醫(yī)正方形. 題型三生活中的數學問題 例7:如何檢驗木工做成的門框是否是矩形？說說你的想法與理由。 圖 例 4圖 題型四體現數學思想的問題25 為 .4 A D D 例2圖 例0例&如圖，在矩形ABCDh AB=8把矩形紙片沿直線 AC折疊，點B落在點E處

14、，AE交DC于點F,若AF cm , 則AD的長為( ) C.6cm A.4cm B.5cm D.7cm 題型五最值問題 例9:正方形的邊長為 8,點M在邊CD上，且DM=2，N是邊AC上的一個動點, 例 8圖 則 DN+MN的最小值 例11:如圖，在 ABC中，D是邊BC上的一點，E是邊AD的中點，過點 的平分線交CE的延長線于點F,且AF=BD連接BF (1) 線段BD與CD有什么數量關系，并說明理由； (2) 當厶ABC滿足什么條件時，四邊形 AFBD是矩形？并說明理由. 【誤區(qū)警示】 誤點1對特殊的平行四邊形的性質、判定條 9.5三角形的中位線 1、三角形中線的概念和性質 連接三角形兩

15、邊重點的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線平行且等于第三邊的一半 例1:如圖，在 ABC中，D E分別是邊 AB AC的中點，/ B=70,則/ ADE= _ 。 2、三角形的中位線與中線的區(qū)別 一例 1圖 (1) 區(qū)別：三角形的中位線平分這個三角形的兩條邊，平行于第三邊，且等于第三邊 的一半，但不經過這個三角形的任何頂點；而三角形的中線只平分這個三角形的一條邊， - 不平行于這個三角形的任何邊，但經過它所平分的邊相對的頂點。 ： (2) 聯系：三角形的一邊上的中線與這邊對應的中位線能夠互相平分。 ；一 例9圖 【知識點總結】 例 1圖 題型六探究性問題 例10:如圖，在 ABC中，0是邊A

16、C上(端點除外)的一個動點，過點 0作直線 MIN/ BC,設MN交/ ACB的平分線于點 E,交/ BCA的外角平分線于點 F,連接AE、 AF.那么當點O運動到何處時，四邊形 AECF是矩形？并證明你的結論. A作BC 【典例展示】 題型一 三角形中位線的簡單應用 例1:如圖，在矩形 ABCD中，對角線AC BD相交于點0,點E、F分別是AO AD的中 點，若 AB=6cm BC=8cm 貝U EF= cm . 題型二構造三角形中位線解題 例2:如圖，在 ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF丄AE于點F, AB=5, AC=2, 求DF的長 例3 :如圖，在四邊形 ABCD中，AD/

17、 BC,點 M N分別是兩條對角線 BD AC的中點，求證： MIN/ BC且 題型三中點四邊形問題 例4:如圖， 在 ABC中，AB=AC點0在厶ABC的內部, 點D、E、F、G分別是邊 AB OB 0C AC的中點。 (1) 求證：四邊形 DEFG是矩形 (2) 若 DE=2 EF=3,求厶ABC的面積 題型四探究性問題 例 5:如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=DC對角線 AC BD交于點 0, AC=BD AC丄BD,點 E、F、G H 分別是 AB BC CD DA的中點 (1) 求證：四邊形 EFGH是正方形； (2) 若AD=2 BC=4,求四邊形 EFGH的面積.3 例 2圖 MN 丄(BC AD