傅里葉變換的性質(zhì)

1、傅里葉變換的性質(zhì)本質(zhì)就是信號的時域運算關(guān)系在傅里葉變換域中的體現(xiàn)，也是求解信號 傅里葉變換的基本手段。傅里葉變換具有唯一性。 傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi) 在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：1. 了解特性的內(nèi)在聯(lián)系2. 用性質(zhì)求F3. 了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的實用這些性質(zhì)在內(nèi)容和形式上具有某種程度的對稱性。§3.7.1對稱性質(zhì)1 .性質(zhì)茬一塞3 則垣）“ 2磯一前置/（湖偶函教則珂2 神柯）2.意義街（珊Z狀與F何）相同佃T 0則"（0的頻譜函數(shù)形狀與 貝昵狀相同幅度差2應(yīng)例 3-7-1如）“L 前）二 1*2昶）例 3-7-2_72已知現(xiàn)

2、"!= °則一 wkseMYO施 Jt即_ Q -Jggnto）相移全通網(wǎng)綣例 3-7-3A0 = 4（ + 9 一«號）° Jr（®） = £r43 號）*）卜 國岫單¥砰噎4號）/（加）=若嚶=2%則有以呼）“三3度度為方波§3.7.2線性1 .性質(zhì)荀） 一邳何，F(xiàn)"貝小出（1）+七£©4*9）+弓寫（逢） u 土為常數(shù)2.說明這個性質(zhì)雖然簡單，但實際上是應(yīng)用最多的例 3-7-4§3.7.3奇偶虛實性奇偶虛實性實際上在§3.4的傅里葉變換的特殊形式”中已經(jīng)介紹過

3、。i g jon(P -風*，) .證明：由定義可以得到F/e=匚jx-o?-J %=L尸仞演頊-可粗=F(-切軟g",貝成”礦3)2 .若/(gF，則刀(-g礦證明:設(shè)f(t)是實函數(shù)(為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略)F=j /(Oe-iodt = J /(t)aosafdf-jj顯然/t(®) = J /(t)cosafttt -=J /(f)sin£i/df&S）=JC（國）二關(guān)于必的偶函數(shù)x（） = -x（-磯二關(guān)于®的奇函數(shù) F（- fi） = F*（ai）已知同/（-）二研-由）頑-訓,礦3）§3.7.4尺度變換性質(zhì)1. 性質(zhì)

4、：奇3 “四風貝蜘）o宜章）破|非零函敬2. 證明：因為匹/口）卜匚江也尸當a>9,令x=ol#/（）=：匚/（*%當a<0,令死六如=玄£>（中底血=牌冷-專血咕仲）綜合上述兩種情況市何=;隹|3.意義因此高頻分量減少,脈沖持續(xù)時間增加 a倍，信號變化減緩，信號在頻域的頻帶壓縮a幅度上升a倍(2) a>1時域壓縮，頻域擴展a倍持續(xù)時間短，變化加快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。實函數(shù)時頂-）供輒筆此毗偶函數(shù)H小奇函數(shù)#（網(wǎng)

5、 國）二一§3.7.5時移特性性質(zhì)貝典-。w（咖f若玳初=例廣均貝穴 f）皆®卜雙心7幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，相移嵋t例 3-7-8求下圖所示函數(shù)的傅里葉變換。解：引入輔助信號處I如圖由對稱關(guān)系求 和），耳佃）=&何）又因為/爪D財）"""幅頻、相頻特性分別如下圖所示1和況§3.7.6時移+尺度變換1.性質(zhì):舒。"珂位），則門函存）。$（"）=淑）2.證明：（仿II 的證明過程）砒例=匚+阿0當旗曲寸設(shè)叫+方二則 = ,t£t = tfc a a響=“即專3*=!骨廣時，設(shè)-at-b =

6、x mLI,則二亶（血）=尸甘，n 土&虧匚六小戶血例 3-7-9已知/"）令凡3）=就叫項J，初力-5船頻譜密度函數(shù)口方法一：先標度變換，再時延°=r , g ° !4?）=孜（罰_'A = 5,對£0寸移：（向右）-5）X-> -Sa-Js。方法二：先時延再標度變換mm對H宥多5（向右）:/（f-5）«£TSa LI 2對所有劍E縮2：當竺'十兩種方法結(jié)果相同。§3.7.7頻移特性1 .性質(zhì)若 /(gF9)六加心巾-就網(wǎng)J一六加<-> F(fi>4 嗎)2.證明"

7、加呵二口六狎呼-*“：=匚/(貝頊f*dj “(_%)3.說明'更+00)時域f(婢頻域頻譜搬移一 一右移嶺時域禪旅礦*頊域頻閽般移一 一左移嶺4.應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用§3.7.8頻移特性1 .性質(zhì)若為）3則-電J K常數(shù)，注意土號 爪加。-更也嗎）2. 證明F«加呵二口因1七=匚/（如 寸4）3. 說明時域爪師W匕頻域頻譜搬移-一右移嶺時域伽*頊域頻閽般移一 一左移.4.應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用§3.7.9時域微分性質(zhì)/（gF，曲3）一般情況下尸）。頃TF若已知貝ljE（<y） =小劃（如）r幅度乘面g=E扇增加,52. 證明Xv/

8、*r（t） = £二 /*（f） <->j 6?=j &F（a即 a/（0 "'33. 特別注意余下部分再用微分性質(zhì)。如果f（t）中有確定的直流分量，應(yīng)先取出直流分量單獨求傅里變換,u（0 如（御）直流上m/b）余下部初曲=5 - ; 二明= Wg MG) §3.7.10頻域微分性質(zhì)性質(zhì)：部-g則）。5偵（阿凰故dF（&?）/dA>或tg “ (訂 f H例 3-7-6已知爐4）“爪（劍）.求F（21f（。頊解：F(f-2)/(x) =Fjf(r)-2/(f) = j 零袂一宜例 3-7-7求*解：1 o= F(6>

9、),dF() f 1<-> i小字d切,*成淬=成%型§3.7.11時域積分性質(zhì)1.性質(zhì)茬f（£）令則F（O） = OB寸原0）x00寸f（r>frc頑"（）*業(yè)?J&也可以記作=F®+sa（0） 7®2.證明=匚匚/（中（比p"成 =fl川ffl*中-*成卜=匚/M獺司+ 土如= （jT眼）+土"缶）=jr"）F（a）+ F（®） J®二瑚（岫）甌二r /（出頁御）"附）,上=昭。以。）+ L7®其中：（1）變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為處）s（f）（2）交換積分順序 擔后了，即先求時移的單位階躍的信號的傅里葉變換（3）對積分變量丁而言卸為常數(shù)，移到積分外（