醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)：2_2 函數(shù)的極限

1、)()()()( )()(aFbFdxxfabfafbfba數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group第二章 一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限及其連續(xù)性及其連續(xù)性 第一節(jié) 函數(shù)函數(shù) 第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 2021年12月6日星期一數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2第二節(jié) 函數(shù)的極限 一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限 三、極限的四則運算三、極限的四則運算四、兩個重要的極限及其應(yīng)用四、兩個重要的極限及其應(yīng)用五、無窮

2、小量及其性質(zhì)五、無窮小量及其性質(zhì)數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3引例：柯赫雪花曲線引例：柯赫雪花曲線n=4n=3n=2n=1nnPP)34(3, 41周長：周長：nnSS)94(1203343,331面積：面積：一、數(shù)列的極限數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 4數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 5例例1,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn

3、1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 6Dnn 多次注射情況下體內(nèi)藥物濃度：第次注多次注射情況下體內(nèi)藥物濃度：第次注射后體內(nèi)藥量分布圖。如果持續(xù)下去體射后體內(nèi)藥量分布圖。如果持續(xù)下去體內(nèi)藥物量將穩(wěn)恒在某一水平上內(nèi)藥物量將穩(wěn)恒在某一水平上數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 7收斂數(shù)列的基本性質(zhì)：數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioi

4、nformatics Group 823baab22abnabax證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時, 有2banx性質(zhì)性質(zhì)1. 收斂數(shù)列的極限必唯一收斂數(shù)列的極限必唯一.使當(dāng) n N1 時, 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時, ,max21NNN 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics &am

5、p; Bioinformatics Group 9性質(zhì)性質(zhì)2. 有極限的數(shù)列必定為有界數(shù)列有極限的數(shù)列必定為有界數(shù)列.證證: 設(shè),limaxnn取,1,N則當(dāng)Nn 時, 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 102、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限, )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xx

6、x)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種形式:1、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :二、函數(shù)的極限數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 111、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 12數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 13數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformat

7、ics Group 142、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 15數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 16數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 17例例4. 設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時)(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因為)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(li

8、m0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 18三、極限的四則運算數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 19思考及練習(xí)思考及練習(xí)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解:

9、原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 203. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021則原式 =22011limttt111lim20tt 0t數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 211sinlim. 10 xxx四、兩個重要的極限及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bi

10、oinformatics Group 221sincosxxx圓扇形AOB的面積1sinlim. 10 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 23例例5. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例6. 求.arc

11、sinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 24nnnRcossinlim2Rn例例7. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例8. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathemat

12、ics & Bioinformatics Group 252.exxx)1(lim12000400060008000100002.71702.71752.71802.7185 圖圖 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形. .隨隨x x的增加函數(shù)值單調(diào)增的增加函數(shù)值單調(diào)增加但總的趨勢不超過加但總的趨勢不超過3 3數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 262.exxx)1(lim1證證: 當(dāng)0 x時, 設(shè), 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limn

13、nn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 27當(dāng)x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時, 令數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 28例例9. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim

14、1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx則 原式111)1 (limexxx數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 29limx例例10. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 30五、無窮小量及其性質(zhì)數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 31數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 32數(shù)學(xué)與生物信息