函數(shù)思想貫穿高中數(shù)學(xué)初探

1、    函數(shù)思想貫穿高中數(shù)學(xué)初探    丘文宣g633 a2095-3089（2018）21-0076-01函數(shù)是高中數(shù)學(xué)第一個(gè)比較抽象，難理解的概念之一。它描述了自然界中量的依存關(guān)系，通過(guò)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間的數(shù)量關(guān)系，反映了一個(gè)量隨著另一個(gè)量變化而變化之規(guī)律。函數(shù)的思想方法就是提取問(wèn)題的數(shù)學(xué)本征，建立函數(shù)關(guān)系，并利用函數(shù)的性質(zhì)研究、解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。函數(shù)是一門(mén)應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)工具，因此它也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。其重要性不僅僅體現(xiàn)在自然科學(xué)、體現(xiàn)在工程技術(shù)上，也逐漸廣泛地體現(xiàn)在人文社會(huì)科學(xué)上：世界萬(wàn)物之間的聯(lián)系與變化都有可能以各種

2、不同的函數(shù)作為它們的數(shù)學(xué)模型?？v觀整個(gè)中學(xué)教學(xué)內(nèi)容，函數(shù)的思想便如一根紅線(xiàn)把中學(xué)教學(xué)的各個(gè)分支緊緊地連在了一起，構(gòu)成有機(jī)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。它幾乎貫串于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，無(wú)論是不等式，還是數(shù)列，無(wú)論是三角函數(shù)，還是集合，都可以看到它的影子。一些看來(lái)與函數(shù)風(fēng)馬牛不相及的問(wèn)題，我們?nèi)粲煤瘮?shù)的思想去思考，往往可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，突破思維死角，進(jìn)而解決問(wèn)題.下試舉幾例，供有意者饗之。一、函數(shù)思想在集合相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用例1：已知集合，n=y|y=3x2+1，xr，則mn=。析：此題主要考察集合n中元素為y，即二次函數(shù)y=3x2+1的值域?yàn)?1，+，可知答案為x|x>1。已知全集為i=r，a=x|x2-3x+20

3、，b=x|x2-2ax+a0，ar，且 ，求a取值范圍。析：此題主要考察二次函數(shù)y=x2-2ax+a0解集的情況。解：當(dāng)<0即0當(dāng)=0時(shí)，a=0或a=1。若a=0，則x=0，不滿(mǎn)足題意。若a=1，則x=1，滿(mǎn)足題意。當(dāng)>0時(shí)，兩個(gè)解必須在1，2內(nèi)綜上所述，0在集合相關(guān)問(wèn)題中，一元二次不等式、一元二次方程的題目隨處可見(jiàn)，它們相互轉(zhuǎn)化，許多時(shí)候都需求出一元二次不等式解集的情況，難度雖不高，但往往會(huì)因考慮問(wèn)題不全面而失分，應(yīng)引起重視。二、函數(shù)思想在證明不等式中的應(yīng)用例2：設(shè)a，br，求證：析：直接采用不等式變換去證明還是比較不容易的。然而觀察題目特點(diǎn)，可以把不等式兩邊看成函數(shù)的兩個(gè)值，因

4、此可否構(gòu)造函數(shù)，而后應(yīng)用該函數(shù)的單調(diào)性求解呢？令，由易知：f（x）在區(qū)間（-1，+）上是增函數(shù)，因?yàn)?|a+b|a|+|b|，所以f（|a+b|）f（|a|+|b|）巧妙極了！直接繞開(kāi)了繁瑣的變形與計(jì)算，整個(gè)解題過(guò)程顯得非常簡(jiǎn)潔。不但使學(xué)生拓寬了眼界，提高了能力；而且?guī)?lái)了一種心情上的驚奇與精神上的震撼，使他們深深的體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇妙，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例3：1993年全國(guó)高考理（29） 已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、。證明：如果|<2，|<2，那么2|a|<4+b析：作一次函數(shù) +=-a，=b， ，取x1=2（+ ）-（4+）=-（2-）（2-

5、）<0，x2=2（+）+（4+）=（2+）（2+）>0，則有f（x1）=-1，f（x2）=1。由f（x）的單調(diào)性知-1=f（x1）<f（0）< p>又|b|=|<4，4+b>0，2|a|<4+b。函數(shù)的思想在歷年的高考題中，一直是必須考察的重點(diǎn)之一。而考慮到不等式與函數(shù)的特殊關(guān)系，我們必須對(duì)這種題型加以足夠的重視。本題通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)，巧妙的將不等式問(wèn)題化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，整個(gè)問(wèn)題得以輕松解決。三、函數(shù)思想在數(shù)列相關(guān)問(wèn)題中的體現(xiàn)與應(yīng)用例4：設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知a3=12，s12>0，s13<0。（1）求公差d的取值范圍

6、；（2）指出s1，s2，s12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由?！痉治觥款}（1）根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于公差d的不等式組求出d的取值范圍；題（2）求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，其求法比較多，總的思路有如下2種：一是通項(xiàng)研究法，即當(dāng)d<0時(shí)，求出使得an>0且an+1<0的n值；當(dāng)d>0時(shí)，求出使得an<0且an+1>0的n值；二是前n項(xiàng)和 研究法，即列出 的表達(dá)式（當(dāng)d0時(shí)，它是關(guān)于n的二次函數(shù)），求表達(dá)式的最大（?。┲?。解不等式組得：- （2）解法一：由d<0，得a1>a2>a3>>a12>a13。因此，若在1n12中存在自然數(shù)n

7、，使得an>0，an+1<0，則sn就是s1，s2s12中的最大值。由于s12=6（a6+a7）>0，s13=13a7<0，所以a6>-a7>0，a7<0，故s6最大。解法二：當(dāng)- 解法三：由d<0，得a1>a2>a3>>a12>a13。因此，若在1n12中存在自然數(shù)n，使得an>0，an+1<0，則sn就是s1，s2s12中的最大值。故s6最大?！驹u(píng)注】 本題考查等差數(shù)列、不等式等知識(shí)，利用解不等式及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求sn的最大值，這是函數(shù)思想在數(shù)列中的一大表現(xiàn)。四、函數(shù)思想在三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)

8、用例5：已知函數(shù)f（x）=-sin2x+sinx+a，當(dāng)f（x）=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍。析：由f（x）=0得-sin2x+sinx+a=0，那么根據(jù)該等式如何求a的取值范圍呢？當(dāng)然可以換元，設(shè)t=sinx，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程-t2+t+a=0在-1，1上的根的分布問(wèn)題。但是，總是覺(jué)得太麻煩了，經(jīng)深思后，覺(jué)得可以先作如下變形：分離a得：如果把a(bǔ)看成是x的函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域。因?yàn)閟inx-1，1，所以故當(dāng)時(shí)，f（x）=0有實(shí)數(shù)解。問(wèn)題輕松解決。當(dāng)然，函數(shù)思想還涉及到其他方面：比如立體幾何、解析幾何等。高考中對(duì)函數(shù)思想的考查，大都與其它知識(shí)相結(jié)合，以綜合題形式出現(xiàn)，在平時(shí)得教學(xué)