2017年高中數學聯賽一二試及詳解高清word版

1、2017年全國高中數學聯賽A卷一試一、填空題1 .設f(x)是定義在R上的函數，對任意實數x有f(x 3) f(x 4)1.又當0 x 7時，f(x) log2(9 x),則f( 100)的值為.22 .若實數x, y滿足x 2cosy 1 ,貝U x cosy的取值范圍是 .22一x y3 .在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的方程為： 1, F為C的上焦點，A為C的右頂點，P是C上位 910于第一象限內的動點，則四邊形OAPF的面積的最大值為 .4 .若一個三位數中任意兩個相鄰數碼的差不超過1,則稱其為“平穩(wěn)數”.平穩(wěn)數的個數是5 .正三棱錐P ABC中，AB 1, AP 2,過AB的平面

2、將其體積平分，則棱 PC與平面 所成角的余弦值 為.6 .在平面直角坐標系 xOy中，點集K (x,y)x,y1,0,1 .在K中隨機取出三個點，則這三點中存在兩點之間距離為曲的概率為.7 .在 ABC中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點若 A 一, ABC的面積為J3 ,則AM AN的最 3小值為.8 .設兩個嚴格遞增的正整數數列an , bn滿足：a10 b10 2017 ,對任意正整數n ,有an 2 an 1 an，bn 1 2bn ,則a1 n的所有可能值為 .二、解答題、一.，、，2/ 一一1、一一一匚9 .設k, m為實數，不等式 x kx m 1對所有x a, b成立.證明

3、：b a 2V2 .6X2 X310 .設x1, x2,x3是非負頭數，滿足x1x2x31,求(x1 3x25x3)(x1一一)的取小值和取大值352_211.設復數Zi,Z2滿足Re(Zi) 0, Re(Z2) 0,且Re(zi) Re(z2) 2 (其中Re(z)表示復數z的實部)(1)求Re( Z1Z2)的最小值；(2)求乙 2 z2 2 z1 z2的最小值.2017年全國高中數學聯賽A卷二試一.如圖，在 ABC中，AB AC , I為 ABC的內心，以A為圓心，AB為半徑作圓1 ,以I為圓心，舊為半徑作圓2,過點B,I的圓3與1, 2分別交于點P,Q （不同于點B）.設IP與BQ交于點

4、R.證明：BR CR二.設數列an定義為ai1an 1ann, ann,ann, ann,n 1,2,.求滿足ar r3 2017的正整數r的個數.若相鄰連個小方格的顏色不.將33 33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數相等同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數的最小值四.設m,n均是大于1的整數，m n, a1，a2, ,an是n個不超過 m的互不相同的正整數，且 a1，a2, ,an互素. 2.證明：對任息頭數 x,均存在一個i(1 i n),使得|aiX -|x| ,這里|y|表示實數y到與它最近的整數的距離.2017年全國高中數學聯賽A卷一試答案1.

5、解：由條件知，/(工+ 14) = = f(jc)»所以工 + 7)A-1001 = /(-100 + Hx?)= <(-2) = - = -7(5 >I 隼2.答案工：- L 0+1 .犍：由于” 1- 26gh, F - L 3故苫曰61I 1由 UQ4 _ 可知，*C 快 I - v- _- y - lr ：.因此當 x = 時，-J"I1 4'a匚儂有最小值1(這時r可以取二)：當V 6時f g&r有最大值方 (這時J可以取齊),由于:(K +- 1三二宜二某建h 6 +口,從而K C05J的取值范國是-L/+1.3.解：易知加3,0),

6、901).設2的坐標是(3m雙 M中口見狀£ 0. g ,則535“川“$團二；TWhin，' I 二 1，.久uE=(yfioeusf/ I gin#)=0 +/) .2其中丁arrun v'1".當"-小皿后時，四邊形U"產而枳的最大值為處1024.答案！ 75.修士考慮平穩(wěn)數嬴.若b = 04則口 = 1匚丘0/卜有2個平穩(wěn)數.若h = L則nWH,%dO.L2有2x3 = 6個平穩(wěn)數.若之W6工2,則明共獨一1,比占+13有7x3x3 = 63個平穩(wěn)數.若8 = 9,則&cw祗9,有2K2 = 4個平穩(wěn)數.綜上可知平穩(wěn)數的

7、個數是2十6+63 + 4 = 75.8.答案* - Id解:設X與/U的中點分別為陌M.則易證平而廿就是平而門.由中線 長公式知一一（,"所以KM =力/ 一又易知直域尸U在平面n上的射影是直線MK .而CH=I, KC = -,所以8r R4 2U)、人4二/vl j£2 KM fC枚棱尸c與平面口所或免的余弦值為HL106.5. 4答案:-.解:易知K中有q個點，放在K中Rfi機取出三個點的 方式數為C； =14種.將K中的點按右圖標記為其中有8 對點之間的距底為妻.由對稱性，考慮取其,出兩點的情 況，則剩下的一個點有7種取法，這樣有7K8 = 56個三點 細（不計號

8、組中三點的次序1對每個4（? = 1，21，印，犬 中恰有4w4t兩點與之距更為后（這里下標按模g理蜂人因而恰有 V4,4t，4tH=1、2,盼這&個三點組被計了兩次.從而滿足條件的三點蛆個 數為畀-& = 48,進而所求概率為竺=±8477.答案：3 20.解】由條件可知：外,附，向均為正整數且匕<”、.由于其17、% =>力=51M，故九41.2.3.反復運用包的遞推關系知u 口 +門+ 4一 1%匚 I 2ti - >u 立 1一-8。_ +5” （ Im >.r7n1!、3% + 迎=21/ 一】34 - 34H21叩因此2肛三心=&#

9、163; = 5123三2（m（xi34）,W13Z2I-M-8 I h 故有/一/MM Bx2A -26/»（iihx1?Jl另一方面，注意到4<,有55/<344+ 21% 512% 故q I ）Y言小517當方一 I時，分別化為/一？&frmM 34）, 口 <一r無解. 梟當42時，分別化為% = 521。04+修<與二 得到唯一的正整數% 一 1降此時叫一一工。.當八一R時*工,分別化為 7S<niod?4）. u, ：得到唯一的正整數55%一 10,比時力 + 4 - 1工綜上所述，勺+也的所有可能值為1工20.9.證明:于是令區(qū)-次

10、，工乳%目,則1,1.,.4力" 由十一2K知.笑生可愜什.力-24手卜4,故力一"2VL用分 10.鰥：由柯西不等M5+3覆+ 5巧W： +6哼）之（石百=（茍 + % 4- x3 r = I»當天=I, W = 0.與=0時不等式等號成立，故欲求的最小值為L因為（*+3±+ 5七）|工.5+孑）=*-3£+5/心巧一手+ /）<（工.+3甚 *5jcJ+5工10分5 4 k 201< 201當釬X=g1時不等式等號成立,鼓欲求的最大值為上20分11.解之 （1）對* = 1,2*設勺=4W R）.由條件知/=Re（勺）>。

11、, W一式二 Re（zf） = 2 .因此=艮以石+/i）（三+ y：i）=天/-為外=加+2城+ / 一見/ > 帆” | + 2）一抄R 2 .又當馬=%=J5時，Re（再為）= 2.這表明,的最小值為2.5分（2）時Jt = L2,將4對應到平面直角坐標系立方中的點以（%必），記是 片關于"才的對稱點，則外理均位于雙曲線C:-# = 2的右支上.設耳E分別是匚的左、右焦點，易知6（-2。%管Q,o）.根據雙曲線的定義，有怛勾二 |PFj+2把,年典二|次|+2比進而得,+2|十月+ 2卜區(qū)一司=歸+ 2| +歷+2 -卜一司=團|+|明-|叫=4丐+ |曲|+|明-舊用“

12、日15分等號成立當且僅當居位于線段月月上（例如，當%=畛=。+力時，月恰是戶g 的中點工“綜上可知，B + 2|+。2 -鼻一目的最小值為40.20分92017年全國高中數學聯賽A卷二試答案證明：孟接旭，/Ci IQ. PB,吟由于點0在腳匚上.故由二/0,所以上由。二Z7(W.乂 A. L P. 0四點共酬.所以dQB =上，PB ,節(jié)注£IBQ = £IPB. 放 ZRP - Z&R 從而市上依4 .2Mr. IIIB IP,IR 18注意到且為2U班的內心.他俯=/一所以干是3/匚/3 3/rc, ttZ/«C = Z/Cf.2又點尸件圓廠l的孤此上

13、.故，8斤=1851乙1.因此Z= W耐 H* Z/ffC= 21RP + ZKP=上 RPC?bo*-fo(r+ |zj -j ik(t 一：乙4 jt&BR ICR.*io分解:由數列的定義可如=1.小=2. W設對某個整數F之丁行我們證明 對=1上,r - 1*有&,>. = 2r+ f *t > r+ 2/-L ar<( =r -f < r + 21.L對Fin納證明.當 f = I 忖* 由 1 ar = r > r , 由定義* ur =(ir + r = r+ r = 2r >r +1 .： = a,tJ -(r + l>

14、 = 2r-tr + l) = r-1 <r + 2,結i/成立臺"設對某個14F(r-l.成立,則由定義or+iH =0 +(r + 2l) = r-/ + r+2f = 2r+f > r + 2t+l»口 1r.，心=可J一(r + 27 + 1) = 2r+ f -(r+ 21 + l) = F-F - < r + 2/ + 2 即結論對r4l也成立.由政學歸納法如，對所有f=L2"-l成立.特別當/二 F-I時.有0jl! =1 r 從而d31 =。-工 +<3r -2> = Jr -1,若將所有滿足=的正展數r從小到大記為小

15、人.則由上面的結論可知r = l,r： = 2 .20 分1 山此可知,二 l ,； h 一】,“/ H從m?玷仃X I+ 1由于=3期，二二公在12產”中滿足% =F的數r4Udfa共有201g個.為不公飛30分由可初.對每個走mLN“2017,+1一工一2中恰行 T滿足彳州匚人i4.由于/" + 1=+1與均為奇數.而在之I.+L.產”中.奇數 均滿足4人偶數均滿足與其中的得數比奇效少I個.因此滿足外，工3押門 的正整數l的個數為|(37 -2018-1)= 3ai 2019 .40 分15解：記分隔邊的條數為£首先.將方格紙按如圖分成二個區(qū)域.分別染成一10分種顏色.

16、粗線匕均為分隔邊*此時共有56條分隔邊.即4=56.下面證明£356.將方格紙的行從上至下依次記為4,應,.4尸 列從左至右 依次記內瓦.冬,小行4中方格出現的撅色數記為用送）列絳中方格出現的爆 色個數記為加81.三種顏色分別記為G g.對一種顏色勺,設打）是含有勺 色方格的行數與列數之和.記JL若4行含有弓色方格.加4勺）小 否則.類似地定M況6r,勺L于是一（加4耳）=）力（儀4，弓）+鳳&勺） #1Hl jvl=£E（5（A.c）+ 用邑*/）=£ 慨）. I IfT由于染色的方格有，33工=363個.設含有口色方格的行有&個，列有b個.則口

17、色的方格一定在這門行和力列的交叉方格中,因此江之363,從而"（c/ =。+方A 2fab 2 2-363 > 38 .故， 1.2.3.*"*20分由于在行4中有M41種顏色的方格，因此至少有e4J-i條分隔邊 同理在列 當中.至少有打（約）一1條分隔邊.于是F之內-D+±5-1） ff=li=lJ3= （n（4）+ n（fif»-66r=l3=，內（r. ） - 66.>-i30分下而分兩種情形討論.情形1二仃一行或一列全部方格同色.不妨設有一行全為q色,從而方格紙的 33列中均含有片色的方格.由尸。色方格有363個，故至少有”行中;VT

18、T.色方 格.于是由.及即得上川G)+WJ)+打 SJ-66 之 44 + 39 + 39-66 = 56.40分情形2:沒有一行也沒有一列的全部方格同色.則對任意1 3433,均有 以4)22. MS)A2.從而由知L 之 Z(，«.4J + fi(2 )-66之 33x4-66=66 >56.綜上所述.分隔邊條板的最小值等于56.50分證明，苜先證明以卜兩個結論.結論I:存在整數*滿足q/必+ % =1 t并且IqK/w.I«i4門 .由于(4%*q) = 1 由裴蜀定理,存在整效&,勺，,q ,滿足+c4 + -*G4 hI *下而證明,通過調整,存定一組6gc滿足，且絕對值均不超過明 記 $(64 -£)=262£4% £)= Z 1。倬0,句 <一«如果，>0 .那么存在& > m > 1 *于是qq > 1» 乂因為4.生，,口*均為正 數.故由可知存在父。.令匚：=£一口/ j cf + ur /*?，/)*則。"i + c/tf, + + C