雅可比行列式

1、§ 11.2 . 函數(shù)行列式教學目的掌握函數(shù)行列式教學要求(1) 掌握函數(shù)行列式(2) 能用函數(shù)行列式解決一些簡單的問題一、函數(shù)行列式由 ARn 到 R的映射（或變換）就是n 元函數(shù)，即( x1 , x2 ,L , xn , y) fA R RnR ，或y f (x1, x2 ,L , xn ),( x1 , x2 ,L, xn )A.由 ARn 到 Rn 的映射（或變換）就是n 個 n 元函數(shù)構成的函數(shù)組，即(x1, x2 ,L , xn , y1 , y2 ,L , yn ) fA RnRnRn ，或y1f1 (x1, x2 ,L xn ),y2f2 (x1, x2 ,Lxn )

2、, (x1, x2, Lxn )A.(1)L L Lynfn (x1, x2 ,Lxn ).表為 ( f1 , f2 ,L f n ) ，設它 們對每個 自變量都 存在偏導數(shù)fi,i 1,2L n, j 1,2L n ，行列 式xjf1f1Lf1x1x2xnf2f2Lf 2x1x2xn（ 2）MMMMfnfnLf nx1x2xn稱 為函 數(shù)組 ( f1, f 2 ,Lfn ) 在點 ( x1 , x2, Lxn ) 的雅 可 比行 列式 ，也 稱為 函數(shù) 行列 式 ，表 為( f1 , f 2 ,L f n )或D ( f1 , f 2,Lf n ).( x1 , x2, L xn )D (

3、x1 , x2, L xn )例：求下列函數(shù)組（變換）的函數(shù)行列式：1. 極坐標變換xr cos ,yr sin.精選文庫xx(x, y)rcosr sinr sin2r .yysinr cos2(r ,)r cosr2. 柱面坐標變換xr cos,yr sin,zz.xxxrzcosr sin0(x, y, z)yyysinr cos0 r cos2r sin2r .(r , , z)rz001zzzrz3. 球面坐標變換xr sincos,yr sinsin,zr cos .xxxrsincos r coscosr sinsin( x, y, z)yyysinsinr cossinr si

4、ncosr 2 sin .( r , , )rcosr sin0zzzr二、函數(shù)行列式的性質(zhì)為了簡單起見，僅就 n=2 的情形加以討論，所有結果對任意自然數(shù)n 都是正確的 .已知一元函數(shù) yf (x) 與 x(t ) 的復合函數(shù) yf (t) 的導數(shù)是 dydy dx ，與它類似的dtdx dt有：定理 1. 若函數(shù)組 uu( x, y), vv( x, y) 有連續(xù)的偏導數(shù)，而 xx(s, t), yy(s,t ) 也有連續(xù)偏導數(shù)，則(u,v)(u,v)( x, y) .(s, t )(x, y)(s,t )證明： 由復合函數(shù)的微分法則，有uuxuy ,uuxuysxsystxtyt-2精選

5、文庫vvxvy , vvxvysxsystxtyt由行列式的乘法，有uuuxuyuxuy(u,v)stx sy sxty t(s,t )vvvxvyvxvystxsysxtytuuxxxyst(u,v)( x, y).vvyy(x, y)(s,t )xyst若一元函數(shù) yf ( x) 在點 x0 某鄰域具有連續(xù)的導數(shù)f (x) ，且 f ( x0 ) 0 . 由連續(xù)函數(shù)的保號性，在點 x0 某鄰域, f ( x)與 f (x0 ) 保持同一符號， 因而在函數(shù) y f ( x) 嚴格單調(diào)，它存在反函數(shù) x( y) ，且dx1dydy .dx和它類似的有：定理 2. 若函數(shù)組 uu( x, y),

6、 vv(x, y) 有連續(xù)的偏導數(shù)， 且 (u, v)0 ，則存在有連續(xù)偏導( x, y)數(shù)的反函數(shù)組 xx(u,v), yy(u,v) ，且( x, y)1.(3)(u, v)(u, v)( x, y)證明： §11.1. 定理 3 的推論已給出存在連續(xù)偏導數(shù)組的證明. 下面證明（ 3）式成立 . 在定理 1 中，令 s u, tv ，有(u,v)( x, y)(u, v)( x, y)(u, v)(u, v)uu10uv，vv011uv-3精選文庫即(u, v)1， (u, v)0 .( x, y)(x, y)( x, y)(u, v)三、函數(shù)行列式的幾何性質(zhì)一元函數(shù) y f (

7、x) 是 R1 到 R1 的映射 . 取定一點 x0 ，它的象是 y0 f ( x0 ) . 當自變量 x 在點 x0有改變量x ，相應 y 在 y0有改變量y . 線段 y 的長 y 與線段x 的長 x 之比 Vy 稱為映射 fVx在 x0 到 x0Vx 的平均伸縮系數(shù) ，若當 Vx0時平均伸縮系數(shù)Vy存在極限，即xVlimVylimf ( x0Vx)f ( x0 )f '(x0 ) ，V x 0xV x 0xVV則稱 f '(x0 ) 是映射 f在點 x0 的伸縮系數(shù) .由此可見， 一元函數(shù) y f ( x) 在點 x0 的導數(shù)的絕對值 f'(x0 )有新的幾何意義：它是映射 f在點 x0 的伸縮系數(shù) .同樣，R2 到 R2 的變換 u u( x, y),v v(x, y) 也有類似的幾何意義 .定理 3. 若函數(shù)組 uu(x, y), v v(x, y) 在開區(qū)域 G 存在連續(xù)的偏導數(shù)，且(x, y)G ，有J ( x, y)(u, v)0 . 函數(shù)組將 xy 平面上開區(qū)域 G變換稱 uv 平面上的開區(qū)域 G ' . 點 ( x0 , y0) G 變( x, y)換成 uv 平面上點 (u0 , v0 ) u( x0 , y0 ), v( x0 , y0 )