微積分第一章函數(shù)

1、calculus2021-12-8微積分微積分calculus2021-12-8 利用數(shù)學定量分析已成為經(jīng)濟學整個理利用數(shù)學定量分析已成為經(jīng)濟學整個理論體系中的重要組成部分。例如：論體系中的重要組成部分。例如：極限極限在連在連續(xù)復利問題中的應用、續(xù)復利問題中的應用、導數(shù)導數(shù)在邊際和彈性經(jīng)在邊際和彈性經(jīng)濟變量中的應用、濟變量中的應用、積分積分在消費者剩余和求總在消費者剩余和求總函數(shù)中的運用。函數(shù)中的運用。 更為重要的是：更為重要的是：經(jīng)濟學依靠邊際方法與經(jīng)濟學依靠邊際方法與思想來進行決策，依靠各種形式的數(shù)學模型思想來進行決策，依靠各種形式的數(shù)學模型來推導經(jīng)濟學的基本理論。來推導經(jīng)濟學的基本理論。

2、 calculus2021-12-8微積分主要分為微分學與積分學兩部分。微積分主要分為微分學與積分學兩部分。 極限概念是微積分的基石，微分學與積分學極限概念是微積分的基石，微分學與積分學都借助極限方法來描述基本概念。都借助極限方法來描述基本概念。 微積分的研究對象是變量以及反映變量之間微積分的研究對象是變量以及反映變量之間相互依賴關系的函數(shù)。相互依賴關系的函數(shù)。微積分微積分知識體系邏輯結(jié)構(gòu)：知識體系邏輯結(jié)構(gòu)：calculus2021-12-8函函 數(shù)數(shù)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)反函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)函數(shù)極限函數(shù)極限導數(shù)導數(shù)微分微分不定不定積分積分中值定理中值定理導數(shù)應用導數(shù)應用定積

3、分定積分多元多元微分微分 微分微分 方程方程重積分重積分級級數(shù)數(shù) 窮窮無無calculus2021-12-8第一章第一章 函數(shù)函數(shù)1.1 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)1.2 經(jīng)濟函數(shù)介紹經(jīng)濟函數(shù)介紹calculus2021-12-81.1 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)一、區(qū)間與鄰域一、區(qū)間與鄰域1.區(qū)間區(qū)間設設a和和b都是實數(shù)，且都是實數(shù)，且ab（1）滿足不等式）滿足不等式axb的所有實數(shù)的所有實數(shù)x的集合，稱的集合，稱為以為以a，b為端點的開區(qū)間，記作為端點的開區(qū)間，記作(a，b)即即 (a，b)=x| axb)(（2）滿足不等式）滿足不等式axb的所有實數(shù)的所有實數(shù)x的集合，稱的集合，稱為以為以a

4、，b為端點的閉區(qū)間，記作為端點的閉區(qū)間，記作a, b即即 a, b=x| axbababxxcalculus2021-12-8（3）滿足不等式）滿足不等式axb或或axb的所有實數(shù)的所有實數(shù)x的集的集合，稱為以合，稱為以a，b為端點的半開半閉區(qū)間，記作為端點的半開半閉區(qū)間，記作(a,b或或a,b)。即即 (a,b=x| axb或或 a,b)=x| ax0,a1) 它的定它的定義域（義域（-,+），值域為），值域為 （0,+），圖形），圖形通過（通過（0，1）點，）點， 且總在且總在x軸上軸上方方.當當a1時，函數(shù)單調(diào)增加時，函數(shù)單調(diào)增加.當當0a0,a1） 它的定義域為（它的定義域為（0,+）

5、，圖形都），圖形都 通過（通過（1，0）點，且總在）點，且總在y軸的右軸的右 方，當方，當a1時，函數(shù)單調(diào)增加，時，函數(shù)單調(diào)增加， 當當0a1)y=ax(0a1)(0a1)y=logaxcalculus2021-12-8（5）三角函數(shù)）三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有常用的三角函數(shù)有y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx y=sinx與與y=cosx的定義域為（的定義域為（-,+），且都是以），且都是以2 為為周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù),值域為值域為-1,1,都是有界函數(shù)都是有界函數(shù). y=sinx為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，y=cosx為偶函數(shù)為偶函數(shù) y=cosx的圖象的圖象 y=sin

6、x的圖象的圖象23pp2p2p2pp23pp2xy11023pp2p2p2pp23pp2xy110calculus2021-12-8y=tanx的定義域為的定義域為Zkkx x2ppy=cotx的定義域為的定義域為Zkkx xp它們都是奇函數(shù)它們都是奇函數(shù),且均以且均以為周期為周期,它們的值域它們的值域(-,+)y=tanx的圖象的圖象23pp2p0yx2pp23pcalculus2021-12-8y=cotx的圖象的圖象secyx 另外，還有兩個三角函數(shù)另外，還有兩個三角函數(shù)23pp2p0yx2pp23pp2p2xycscxxcos1secxxsin1csccalculus2021-12-8

7、 （6）反三角函數(shù)）反三角函數(shù) 由于三角函數(shù)在定義域內(nèi)不是一一對應由于三角函數(shù)在定義域內(nèi)不是一一對應的，因此，三角函數(shù)在定義域內(nèi)不存在的，因此，三角函數(shù)在定義域內(nèi)不存在反函數(shù)，但是，如果在定義域內(nèi)選取一反函數(shù)，但是，如果在定義域內(nèi)選取一個區(qū)間個區(qū)間I I，使三角函數(shù)在區(qū)間，使三角函數(shù)在區(qū)間I I內(nèi)（上）內(nèi)（上）一一對應，則三角函數(shù)在區(qū)間一一對應，則三角函數(shù)在區(qū)間I I內(nèi)（上）內(nèi)（上）也存在反函數(shù)也存在反函數(shù).對于對于y=sinx而言，在定義域內(nèi)選取一個而言，在定義域內(nèi)選取一個區(qū)間區(qū)間 ，y=sinx在在 上一一上一一對應。對應。22, pp22, pp 稱為反正弦函數(shù)，其定義域為稱為反正弦函數(shù)

8、，其定義域為-1，1，值域為值域為 ，是單調(diào)增加函數(shù)，是單調(diào)增加函數(shù).22, pp2p4p4p2p011yx2p2p011yx以上為以上為y=sinx在在 上圖象上圖象,22ppy=arcsinx的圖象的圖象 因此，因此，y=sinx在在 上存在上存在反函數(shù)反函數(shù)x=arcsiny，改寫，改寫y=arcsinx22, ppcalculus2021-12-8 y=arctanx是是y=tanx x 的反函數(shù)稱的反函數(shù)稱為為反正切函數(shù)反正切函數(shù),定義域為定義域為(-,+),值域值域 是是單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加函數(shù).),(22pp2ppxy011y=arccosx圖象圖象 同理，同理， y=arcco

9、sx 是是y=cosx x 0,上的反上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)函數(shù)稱為反余弦函數(shù),定義域定義域-1,1, 值域值域0,是是單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)減少函數(shù).),(22pp y=arctanx圖象圖象02p2pyxcalculus2021-12-8 y=arccotx是是y=cotx x (0,)內(nèi)的反函數(shù)稱為反余切函內(nèi)的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)數(shù),定義域定義域(-,+),值域是（值域是（0,）,是單調(diào)減少函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù).02ppyx 由反三角函數(shù)的概念可知，由反三角函數(shù)的概念可知，y=arcsinx和和y=arctanx為奇函數(shù)為奇函數(shù).y=arccosx和和y=arccotx為非奇非偶函數(shù)，所有的反

10、三角函數(shù)均為為非奇非偶函數(shù)，所有的反三角函數(shù)均為有界函數(shù)有界函數(shù) y=arccotx圖象圖象calculus2021-12-822arcsin, yxpp的主值區(qū)間為：arccos0, yxp的主值區(qū)間為：22arctan(, )yxpp的主值區(qū)間為：arccot(0, )yxp的主值區(qū)間為：calculus2021-12-82.復合函數(shù)復合函數(shù)( ),( ),( )( ) ( ),yuyf u uxug xg xf uyf g xxu如果 是 的函數(shù)又是 的函數(shù)并且函數(shù)的值域與函數(shù)的定義域的交集非空，則稱是 的復合函數(shù) 其中 稱為中間變量.；構(gòu)成復合函數(shù)和由xuayxuaysinsin定義定

11、義7注意注意 復合函數(shù)就是在一定條件下將一個函數(shù)代入另一個函數(shù)得到的新函數(shù). 例如:).1lg(1lgxyxuuy構(gòu)成復合函數(shù)和由calculus2021-12-821,arctanxvvuuy已知 復合函數(shù)可以復合多次,即在一定條件下可由多個中間變量復合而成.例例92arctan 1(,)yxx 則復合函數(shù) 利用復合函數(shù)的概念，可以將一個復合函數(shù)看成是由幾個簡單函數(shù)復合而成，即復合函數(shù)可以分解成幾個簡單函數(shù)，簡單函數(shù)是指基本初等函數(shù)和有理整函數(shù)（多項式函數(shù)）nnnnaxaxaxaxf1110)(calculus2021-12-8例例10簡單函數(shù)將下列復合函數(shù)分解成)1 (cos)2(lg1)

12、 1 (22xyxy解解:22(1)1 lg,1,lgyxyu uvvx 可分解成22(2)cos (1),cos1,yxyu uvvt tx 可分解成calculus2021-12-83.初等函數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復合所得到的，且可以用一個公式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).32)(21)3()(, 0)(,)()2(cos1arctan) 1ln() 1 (xxxyxgxfxfyxxyxg稱為冪指函數(shù)）為初等函數(shù)其中等函數(shù)判斷下列函數(shù)是否是初例例11calculus2021-12-8解解:12（）初等函數(shù)（ ）初等函數(shù)lnNeN( )( )ln( )( )ln( )

13、( )g xg xf xg xf xyf xee因為( ), ( )f x g x是由初等函數(shù)經(jīng)過四則運算和復合而成的。3（ ）不是初等函數(shù)本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)是初等函數(shù)本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)是初等函數(shù).calculus2021-12-8六六 、 分段函數(shù)分段函數(shù)nnnnDDDDDDDnDxxfDxxfDxxfxf21212211,2;),(;),(;),()(分段函數(shù)定義域是兩兩不相交稱為分段函數(shù)，其中）（表達的函數(shù)，即由兩個或兩個以上公式分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).注意注意calculus2021-12-8例例12 設分段函數(shù)設分段函數(shù)的定義域)() 1 (xf1311)(2xxxxx

14、f(3)( )f x討論的奇偶性.的定義域求)() 1 (xf)(),2(),1 ()2(xffff求解解:(,1(1,)(,)D 1)3()2(, 0)1 () 1 ()2(212xxxfxfcalculus2021-12-81311)(2xxxxxf)(xff1)(xf)(12xf3)(xf1)(xf11)(12xxfx時，當4222211)(xxxxff）（此時，3)(1xxfx時，當13)(4xxfx時，而63)3()(xxxff此時，13)(241xxfx時，而86)3(1)(22xxxxff此時，calculus2021-12-8221)(1)(, 11) 3(xxxfxx 時，當

15、46418612)(242xxxxxxxxxff1311)(2xxxxxf3)()(3)()(xxfxfxxfxf，且( )f x故是非奇非偶函數(shù).calculus2021-12-81.2 經(jīng)濟函數(shù)介紹經(jīng)濟函數(shù)介紹)(.)(1DDDQfppfQpQ形式來表示：也可以用反函數(shù)的該函數(shù)稱為需求函數(shù)之間就形成了函數(shù)關系與價格需求量外的其他因素，假若不考慮商品價格以一、需求函數(shù)calculus2021-12-8二、供給函數(shù)二、供給函數(shù)( ).ssQpQp在不考慮其他因素情況下，供給量與價格 之間形成了函數(shù)關系稱該函數(shù)為供給函數(shù)p.00價格價格稱為該商品的最高時的量，需求量飽和需求量或最高需求該商品的時

16、的需求量稱為市場對價格DQp注意注意由于需求量隨價格增加而減少，所以需求函數(shù)是單調(diào)減少的。sQcalculus2021-12-8三、市場均衡三、市場均衡當某商品的需求量等于供給量時，我們稱該商品處于市場均衡狀態(tài)，此時的價格稱為該商品的均衡價格，此時的需求量（供給量）稱為該商品的均衡量. 商品的均衡量和均衡價格相當于需求曲線和供給曲線交點的坐標.一般來說，市場均衡表示此時的需求量、供給量、產(chǎn)量、銷量均相等，因而市場均衡又稱為供求平衡或產(chǎn)銷平衡.如圖(見下頁)calculus2021-12-8PPPP供不應求，供過于求.( )DQf PQ( )sQPEPOPQcalculus2021-12-8四、

17、總成本函數(shù)四、總成本函數(shù))(.xCCxC記為成本函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)關系稱為總所與產(chǎn)量總成本在生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品的01,;( ).( )CC xC x生產(chǎn)某一種產(chǎn)品的總成本包括固定成本和變動成本兩部分；不隨產(chǎn)品的產(chǎn)量增減而變化的部分稱為固定成本 記為隨產(chǎn)品的產(chǎn)量增減而變化的部分稱為變動成本，記為于是總成本可表示為：)()(10 xCCxCcalculus2021-12-80)0(0CCx本，有時的總成本就是固定成當產(chǎn)量.( )( )C xC xx均攤在單位產(chǎn)品上的成本稱為平均單位成本，簡稱平均成本記為：)0( x注意注意平均成本函數(shù)一般不是單調(diào)函數(shù).calculus2021-12-8例例1.50010

18、0400)(2本函數(shù)及平均成本函數(shù)萬元，試求總成噸時，總成本為當年產(chǎn)量為萬元，且成本為待定系數(shù)，已知固定，其中噸的函數(shù)萬元為年產(chǎn)量假定某產(chǎn)品總成本babxaxCCxC解解:2100400500400,500)100(400)0(baCaC所以由于1001b解得calculus2021-12-8)(100400)(2萬元所求總成本函數(shù)為xxC)0( x)/(100400)()(噸萬元平均成本函數(shù)為xxxxCxC)0( xcalculus2021-12-8五、收益函數(shù)五、收益函數(shù)收益函數(shù)：生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得收益函數(shù)：生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得到的全部收入。它是銷量與價格的乘積到的全部收

19、入。它是銷量與價格的乘積 RQ pQp其中 為銷售量， 為價格注注QQfQPRPPfQPR)()(10,0QR當時calculus2021-12-8,40 00040/QPQabp設某產(chǎn)品的需求量 是價格 的線性函數(shù)已知該商品的最大需求量為，件，最高價格為元 件，并假定市場均衡，求該商品的收益函數(shù).例例2解解:40000,)0(aaQ所以為最大需求量因為得：）（所以量為又因為價格最高時需求, 04040000400bQ1000bcalculus2021-12-8PQ100040000需求函數(shù)為2100040000100040000ppPPQPR）（收益函數(shù)為21000140100040000Q

20、QQQQPR或)400( P(040000)QQZcalculus2021-12-8六、總利潤函數(shù)六、總利潤函數(shù)由經(jīng)濟理論知：利潤=收益-成本:則利潤函數(shù)為表示，與產(chǎn)量相等，均用當市場均衡時，銷售量Q)()()()()()(pCpRpLLQCQRQLL或為盈虧臨界點時，稱當*0)(QQLcalculus2021-12-800QQLQQL時，虧本；時，盈利.COQRQ( )R Q( )C Q()()R QC Q calculus2021-12-8.(215)(5250015002潤函數(shù)產(chǎn)品就會積壓，試求利，如果超出此范圍，為銷售量，單位：百臺其中萬元），銷售的總收入函數(shù)為能全部售出，百臺，在此范圍內(nèi)產(chǎn)品求量最高為需元，市場對此產(chǎn)品的年百臺成本增加產(chǎn)元，每生成本為某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定QQQQR例例3解解:)(25. 005. 0)(萬元總成本函數(shù)QQCcalculus2021-12-82215052( )15 5552QQQR QQ 收益函數(shù)2( )( )( )14.750.05 0520.2512.455L QR QC QQQQQQ所以利潤函數(shù)為calculus2021-12-8QP25. 010QP設某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,為