2018年高考真題——數(shù)學(xué)(理)(北京卷)+Word版含解析

1、絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共 5 頁，150 分?？荚嚂r長 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共 40 分）一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。A. 0 , 1 B. -1, 0, 1C. 2 0, 1, 2 D. -1 , 0, 1 , 2【答案】A【解析】分析：先解含絕對值不等式得集合詳解：-二因此 A B-二 二一,:，選 A.點睛：認清元素的屬性，解決集合問題時，認清集合中元素的屬性（是點集、

2、數(shù)集或其他情形）和化簡集合是正確求解的兩個先決條件12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于1-1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡形式，求其共軛復(fù)數(shù)，找到共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點，判斷其所在象限D(zhuǎn).點睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導(dǎo)致馬虎丟分A，再根據(jù)數(shù)軸求集合交集2 弓的共軛復(fù)數(shù)為詳解:1 I i在第四象限，故選3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s 值為C.【答案】B【解析】分析：初始化數(shù)值：，.：，執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷條件是否成立，詳解：初始化數(shù)值-1.1-1循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：.I I、第一

3、次：-，.-不成立;1215第二次： - 成立，236循環(huán)結(jié)束，輸出=-6故選 B.點睛：此題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)型程序框圖，解決此類問題的關(guān)鍵在于：第一，要確定是利用當型還是直到 型循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要準確表示累計變量；第三，要注意從哪一步開始循環(huán)，弄清進入或終止的循環(huán) 條件、循環(huán)次數(shù)4“十二平均律”是通用的音律體系 ，明代朱載埴最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例 ，為這個理論的發(fā)展做 出了重要貢獻十二平均律將一個純八度音程分成十二份 ,依次得到十三個單音，從第二個單音起，每- 個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于 ：.若第一個單音的頻率為 f,則第八個單音的頻率為A.B.開始7A. . B.C.

4、D.【答案】D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為：，所以?, - ,; i：.I l八:.又 ，則：.：； =十：.:, - i故選 D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種： 日（1）定義法，若（、 “匚、.）或Ci .1 二.1 ：-，.），數(shù)列是等比數(shù)列；all斗】-1（2）等比中項公式法，若數(shù)列中， 且.,|則數(shù)列是等比數(shù)列A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長

5、，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數(shù)詳解：由三視圖可得四棱錐m5.某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為1I adj N）詞正（主）視圖 側(cè)（左）規(guī)圖在四棱錐廠：門中n = 2由勾股定理可知：u、則在四棱錐中，直角三角形有:共三個,故選 C.ft點睛：此題考查三視圖相關(guān)知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原，分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等相關(guān)問題的求解6設(shè) a, b 均為單位向量，則“b-悶-”是“ a 丄 b”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

6、【答案】C【解析】分析：先對模平方，將b-砌-等價轉(zhuǎn)化為0，再根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為零得充要關(guān)系.詳解： .：、；.i . ；，.|卜，-|.- |- -, |-,因為a, b 均為單位向量，所以/ -.I- - -. . -卜， 一 a b,即“ 、”是“ a 丄 b”的充分必要條件.選 C.點睛：充分、必要條件的三種判斷方法.1.定義法：直接判斷“若.則”、“若.則的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“？為真，則 是的充分條件.2等價法：利用？.與非.?非，? .與非?非?與非？非 的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定 式的命題，一般運用等價法.3 .集合法：若？，則是的充分條件或 是的必要條件；

7、若 =，則是的充要條件.7.在平面直角坐標系中，記 d 為點 P (cos0sin )到直線5 廠 2=0的距離,當0,m 變化時，d 的最大值 為A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】C【解析】分析：P 為單位圓上一點，而直線二-叱一：過點 A（ 2, 0）,則根據(jù)幾何意義得 d 的最大值為 OA+1. 詳解：、.P 為單位圓上一點，而直線“過點 A （2， 0），所以 d 的最大值為OA+仁 2+仁 3,選 C.點睛：與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相 關(guān)參數(shù)的最值等方面解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化.8.設(shè)集合

8、-:則A.對任意實數(shù) a,； B.對任意實數(shù) a,（ 2, 1）-C.當且僅當 a 0）與圓p =相切，貝 y a=_ 【答案】【解析】分析：根據(jù)| - -T將直線與圓極坐標方程化為直角坐標方程，再根據(jù)圓心到直線距離等于半徑解出a.詳解：因為 I： - - -: .，: -V-由-：!： !, 得匕十.、 Ji ：|由心,得，=：“以，即才|了=汁，即飛一i、卩誹r廠因為直線與圓相切，所以.,寸2點睛：直角坐標方程化為極坐標方程，只要運用公式 J -曲及：|-Il：直接代入并化簡即可；極坐標方程化為直角坐標方程時常通過變形，構(gòu)造形如的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊

9、平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗7L兀11.設(shè)函數(shù) f ( x)= ，若 i；、：對任意的實數(shù) x 都成立，貝 y 3 的最小值為【答案】.7C【解析】分析：根據(jù)題意.取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得3,進而確定其最小值7TJE兀2:對任意的實數(shù) x 都成立，所以 ii：取最大值，所以- :/ I. 小?： . I,；.八y= ACOS(OJX十甲)十B(A 0,co 0)的性質(zhì)2兀周期cocox十 =兀十SICTLO；:E Z),兀由 求增區(qū)間；由求減區(qū)間JLJL上12.若 x, y 滿足 x+1 號2,則 2y-c 的最小值是【答案】3

10、【解析】分析：作可行域，根據(jù)目標函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法 詳解：作可行域，如圖，則直線過點A(1,2)時，取最小值 3.詳解：因為因為 ，所以當 時，3 取最小值為.點睛：函數(shù)(3)由：譏：八求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足.:-二.；：.、：三最小值對應(yīng)自變量滿足點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般 情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得13.能說明“若 f (x) f ( 0)對任意的 x( 0, 2都成立，則 f (

11、 x)在0, 2上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是_ .【答案】y=sinx (答案不唯一)【解析】分析：舉的反例要否定增函數(shù)，可以取一個分段函數(shù)，使得f (x) f (0)且(0, 2 上是減函數(shù)詳解：令：，則 f(x) f(0)對任意的 x (0, 2都成立，但 f(x)在0,2上不是增函數(shù)又如，令 f(x)=sinx,則 f (0) =0, f (x) f(0)對任意的 x ( 0,2都成立，但f(x)在0,2 上不是增函數(shù)點睛：要判定一個全稱命題是假命題，只要舉出集合 中的一個特殊值，使不成立即可通常舉分段函數(shù)14.已知橢圓與+ =a a b 0),雙曲線N：4-4 = 1若雙曲線N的兩

12、條漸近線與橢圓Mabm n的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為_ ；雙曲線/V的離卜率為_-【答案】(1). .(2). 2【解析】分析：由正六邊形性質(zhì)得漸近線的傾斜角，解得雙曲線中關(guān)系，即得雙曲線 N 的離心率；由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為.-,再根據(jù)橢圓定義得,解得橢圓 M 的離心率詳解：由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得:-，所以橢圓8c 2M 的離心率為-a 1 1-3niL雙曲線 N 的漸近線方程為 匸=-,由題意得雙曲線N 的一條漸近線的傾斜角為m_+ n riT十3m_一=4. Ae= 2.2 2inm

13、點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的關(guān)系消掉 得到 的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(I) 求/A;（n）求AC邊上的高.7T【答案】/ A=AC 邊上的高為【解析】分析：（1）先根據(jù)平方關(guān)系求sinB,再根據(jù)正弦定理求 sinA,即得/ A；（ 2）根據(jù)三角形面積公式兩種表示形式列方程 I 迪二=，再利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，解得 AC 邊上的高.詳解：解：（I）在厶 ABC 中， cosB=-,. B（ ,n, si

14、nB= 匚石r-a b 7F出由正弦定理得=丄.，. sinA=.sinA siriBsinA - 2兀兀VB（；，n）A0, J/ A 石.麗1I4 運3命(n)在ABC 中，TsinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=27 2 714h3麗琲如圖所示，在 ABC 中，IsinC= , /h=：=,BC142T1m23:E：的方程或不等式，再根據(jù)15.在ABC 中，a=7, b=8.IcosB=78點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角 之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的16.如圖，在三棱柱 ABC-中，平面 ABC

15、, D，E, F，G 分別為 ，AC,比 的中點，AB=BC =.匚，AC=y =2 .(I)求證:AC 丄平面 BEF ;(n)求二面角 B-CD-Ci的余弦值；(川)證明：直線 FG 與平面 BCD 相交.【答案】證明見解析B-CD -Ci的余弦值為 -21(3)證明過程見解析【解析】分析：(i)由等腰三角形性質(zhì)得 上-二E三，由線面垂直性質(zhì)得二m,由三棱柱性質(zhì)可得，因此2F 、二二，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標系E-ABF，設(shè)立各點坐標，利用方程組解得平面BCD 一個法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求得兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系求結(jié)果，(

16、3)根據(jù)平面 BCD 一個法向量與直線 FG 方向向量數(shù)量積不為零，可得結(jié)論.詳解：解：(I)在三棱柱 ABC-AiBiCi中，/CCi平面 ABC,四邊形 AiACCi為矩形.又E,F分別為 AC, AiCi的中點， AC 丄 EF ./ AB=BC. AC 丄 BE,17.電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表 AC 丄平面 BEF .()由(I)知 AC 丄 EF, AC 丄 BE, EF / CC1.又 CCi丄平面 ABC,： EF 丄平面 ABC./ BE：平面 ABC,： EF 丄 BE.如圖建立空間直角坐稱系E-xyz.由題意得 B (0, 2, 0), C (-

17、1, 0, 0), D (1 , 0, 1), F (0, 0, 2), G (0, 2, 1)：.！.：=: I .：).設(shè)平面 BCD 的法向量為.，-. ， ，令 a=2，則 b=-1, c=-4,平面 BCD 的法向量二I -又.平面 CDC1的法向量為1：,- n-EB何由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為(川)平面 BCD 的法向量為J-， G (0, 2, 1), F (0, 0 , 2),j.- 門,.：=：=;, 與、；I不垂直， GF 與平面 BCD 不平行且不在平面 BCD內(nèi)， GF 與平面 BCD 相交.點睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)

18、化與化歸思想的常見類型(1) 證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2) 證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(3) 證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立(I)從電影公司收集的電影中隨機選取1 部， 求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(n)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1 部，估計恰有 1 部獲得好評的概率；(川)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的

19、好評率相等，用“”表示第 k 類電影得到人們喜歡，“”表示第 k 類電影沒有得到人們喜歡(k=1, 2, 3, 4, 5, 6).寫出方差,，二，,的大小關(guān)系【答案】概率為 0.025概率估計為 0.35(3)=斷】分析：(1)先根據(jù)頻數(shù)計算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評率得所求概率,(刃 恰有】部菽得好評為笫四類電影獲得好評第五類電影沒獲得好評和第四類電影沒獲得好評笫五類電影獲 得好評這兩個互斥事件，先利用獨立事件槪率乘法公式分別求兩個互斥事件的槪率，再相加得結(jié)果T(3)乂服從0-1分布，因此 =P(l-P),即得DD詁D0D忘巧3山磊詳解：解：(I)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是

20、140+50+300+200+800+510=2000 ,第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200X0.25=50 .50故所求概率為一=U2000(n)設(shè)事件 A 為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件 B 為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”故所求概率為 P (應(yīng)豆-丘三)=P( ) +P( )=P (A)( 1 -P ( B) + ( 1 -P ( A) P (B).由題意知：P (A)估計為 0.25, P ( B)估計為 0.2.故所求概率估計為0.25X.8+0.75 0.2=0.35 .(川)二”；hQ-;：二匚: .點睛：互斥事件概率加法公式：若A,B 互斥，則

21、P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件概率乘法公式：若 A,B 相互獨立，則 P(AB)=P(A)P(B).18.設(shè)函數(shù) iiI 丨 X -!，則當 x ( , 2)時，f x)0 .所以 f (x)0 在 x=2 處取得極小值.I1若 a,則當 x (0, 2)時，x-0, ax - 1x-10.所以 2 不是 f (x)的極小值點.1綜上可知，a 的取值范圍是(，+8).點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解19.已知拋物線 C: =2

22、px 經(jīng)過點F(1, 2).過點 Q (0, 1)的直線 I 與拋物線 C 有兩個不同的交點 A，B，且直線 PA 交y 軸于 M ,直線 PB 交 y 軸于 N.(I)求直線 I 的斜率的取值范圍；(n)設(shè) o 為原點I,；.，= | ;,求證：為定值.A p【答案】取值范圍是(-汽-3)U(-3, 0)U(0, 1) (2)證明過程見解析【解析】分析：(1)先確定 p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線I 的斜率的取值范圍，最后根據(jù) FA, PB 與 y 軸相交，舍去 k=3 ,( 2)先設(shè) A (X1, yj, B (X2, y2),與拋物線聯(lián)立，根2k_4|據(jù)韋達定理

23、可得匚：二，心心：二再由】；菽=疋；，冷，廠：得，上的利用直線 FA,1 1FB 的方程分別得點 M,N 的縱坐標，代入化簡可得結(jié)論A jJl詳解：解：(I)因為拋物線 y2=2px 經(jīng)過點 F ( 1, 2),所以 4=2p,解得 p=2，所以拋物線的方程為 y2=4x.由題意可知直線 l 的斜率存在且不為 0,設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+1 (k0.由：得2.!. I 依題意i-,解得 k0 或 0k3k- Ik所以- -為定值.點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的定點、定值

24、問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).20.設(shè) n 為正整數(shù)，集合 A 三以 上.對于集合 A 中的任意元素和-：-：.),記1M ( )=s ；、.:：, ：|(I)當 n=3 時，若:.；：|：，|:f，求 M ()和 M (即)的值；(H)當 n=4 時，設(shè) B 是 A 的子集，且滿足：對于 B 中的任意元素.川,當/川相同時，M ()是奇數(shù);當 不同時，M (.)是偶數(shù)求集合 B 中元素個數(shù)的最大值；(川)給定不小于 2 的 n,設(shè) B 是 A 的子集，且滿足：對于 B 中的任意兩個不同的元素，M ( )

25、 =0 寫出一個集合 B,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.【答案】M(a, 3)=1(2) 最大值為 4(3) 答案見解析【解析】分析：(1 )根據(jù)定義對應(yīng)代入可得 M()和 M()的值；(2 )先根據(jù)定義得 M(a, a)= X 什 X2+X3+X4再根據(jù) Xi,X2, X3, X40 , 1，且 X 什 X2+X3+X4為奇數(shù)，確定 Xi, X2, X3, X4中 1 的個數(shù)為 1 或 3.可得 B 元kx令x=0，得點M的縱坐標為.同理得點 N 的縱坐標為打! -2k-4由(I)知直線 PA 的方程為 y 公-kx + 素最多為 8 個，再根據(jù)當 不同時，M ()是偶數(shù)代入驗證，這8 個不

26、能同時取得，最多四個，最后取一個四元集合滿足條件，即得B 中元素個數(shù)的最大值；(3)因為 M ( ) =0 ,所以不能同時取 1,所以??；匕九D共 n+1 個元素，再利用 A 的一個拆分說明 B 中元素最多n+1 個元素，即得結(jié)果.詳解：解：(I)因為a= ( 1, 1, 0) ,3= (0, 1, 1),所以1M(a,(1 + 1-|1-1|)+(1 + 1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2,1M(a,3)=-(1+0-|1-0|)+(1 + 1 |1-|)+(0+1-0-|)=1.(n)設(shè)a=(Xi,X2,X3,X4)B，則 M(a,a)= X1+ X2+X3+X4.由題意知 Xi, X2, X3, X 0 , 1，且 M(a, o)為奇數(shù)，所以 Xi, X2, X3, X4中 1 的個數(shù)為 1 或 3.所以B (1 , 0, 0, 0),( 0, 1 , 0, 0),( 0, 0, 1 , 0), ( 0, 0 , 0 , 1) , ( 0 , 1 ,