二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式.

1、二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式二次函數(shù) yax2bxc ( a0) 是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng) a0 時(shí)，b2b4acb ，無(wú)最大值；當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù)在 x函數(shù)在 x處取得最小值2a處取得2a4a最大值 4ac b2，無(wú)最小值4a方程與函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，方程與函數(shù)之間存在著密切的聯(lián)系，二次函數(shù)的圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為相應(yīng)的二次方程的解，課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們能利用二次函數(shù)的圖象求二次方程的近似解。本節(jié)我們將進(jìn)一步研究一元二次方程與函數(shù)問題，研究當(dāng)自變量x

2、 在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問題同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】已知二次函數(shù)yx22xm 的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x 的一元二次方程x22xm0 的解為分析： 因?yàn)槎畏匠?x22x m0的根為二次函數(shù) yx22x m 的圖象與 x 軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)。 根據(jù)已知條件 yx22x m，可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x 1 ；根據(jù)圖象可知拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x 3，所以利用拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，因此，方程x22x m0 的解為 3 和 1。本題利用拋物線的軸對(duì)稱性求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的一元二次方程的根?！纠?2】

3、 二次函數(shù) y ax2bx c(a0， a， b， c 是常數(shù) ) 中，自變量 x 與函數(shù) y 的對(duì)應(yīng)值如下表：x1113510232222y2117271144424（1）判斷二次函數(shù)圖象的開口方向，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)（ 2）一元二次方程ax 2bxc 0( a0， a， b， c是常數(shù) ) 的兩個(gè)根 x1， x2 的取值范圍是下列選項(xiàng)中的哪一個(gè)132 1 x11，2 x25x10，x2222210，2 x25 1 x1132x122，x222分析： 本題以表格的形式給出二次函數(shù)y ax2bxc 的部分對(duì)應(yīng)值，解題時(shí)可以選定三對(duì)值，求出二次函數(shù)解析式，再判斷開口方向，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。但這樣去做

4、計(jì)算量較大，觀察表格的特征發(fā)現(xiàn)， 與 x1等距離的 x 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等， 所以直線 x1是拋物線的對(duì)稱軸，因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；觀察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng) x1 時(shí)， y 隨著 x 的增大而減小，當(dāng) x1時(shí)， y隨著 x的增大而增大，所以拋物線的開口向下。（ 2 ）一元二次方程ax 2bxc0(a0， a， b， c 是常數(shù) ) 的根即為拋物線 yax2bxc 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察表格發(fā)現(xiàn)：1與 0 之間一定有一個(gè)x 的值，使 yax2bxc 0；2 與522之間一定有一個(gè)x 的值，使 yax2bx c 0，所以 ax 2bxc0 的兩根 x1，x2 的取值范圍是1x10，2x25

5、2，故答案為2【例 3】已知函數(shù) yax2bxc 的圖象如圖所示， 那么關(guān)于 x 的方程 ax2bx c 20的根的情況是（）A無(wú)實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根D 有兩個(gè)同號(hào)不等實(shí)數(shù)根分析：本題以圖象的形式給出信息,要判斷關(guān)于x 的方程 ax2bxc20 的根的情況， 因?yàn)?ax2bx c 2 0 可化為 ax2bxc2 ，即 y ax2bxc2 ，所以，方程ax 2bx c 2 0 的根即為拋物線與直線y 2 的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，作直線y 2，觀察圖象可知直線與拋物線的交點(diǎn)在第四象限，因此交點(diǎn)橫坐標(biāo)都為正，故答案為 D。本題把方程的根轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)?！纠?4】二次函數(shù)

6、yax2bx c( a0) 的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：y（1）寫出方程 ax2bx c0 的兩個(gè)根3（2）寫出不等式 ax2bxc 0 的解集21（3）寫出 y 隨 x 的增大而減小的自變量x 的取值范圍1O1 2 3 4 x（4）若方程 ax21bx ck 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k 的取值范圍 2分析： 本題以圖象的形式給出信息,考查了二次函數(shù)、二次方程、二次不等式這三個(gè)二次之間的關(guān)系。（1）方程 ax2bxc0的根即拋物線 yax2bxc(a0) 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象得方程 ax 2bxc0 的兩根為 x1 ， x3 ；12（2）不等式 ax2bx c0 的解集即

7、拋物線yax2bx c(a0) 位于 x 軸上方的那一段的 x 的范圍，觀察圖象得不等式ax2bxc0的解集為 1 x3 ；（3）拋物線的增減性是以對(duì)稱軸為界，拋物線的對(duì)稱軸為 x2 ，結(jié)合圖象得對(duì)稱軸右邊 y隨 x 的增大而減小，所以x2 ；（ 4）方程 ax2bxck 的解為拋物線yax2bxc(a0)與直線 yk 的交點(diǎn)，所以當(dāng) k 2 時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程 ax2bx ck 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的k 的取值范圍是 k2 ?！纠?5】當(dāng) 2x2 時(shí)，求函數(shù) yx22x3的最大值和最小值分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值

8、、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x 的值解： 作出函數(shù)的圖象當(dāng) x1時(shí)， ymin4 ，當(dāng) x2 時(shí)， ymax5 【例 6】當(dāng) 1 x 2 時(shí)，求函數(shù) yx2x1 的最大值和最小值解： 作出函數(shù)的圖象當(dāng) x1時(shí)， ymin1 ，當(dāng) x 2 時(shí)， ymax5 由上述兩例可以看到， 二次函數(shù)在自變量 x 的給定范圍內(nèi)， 對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一段那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量x 的范圍的圖象形狀各異下面給出一些常見情況：【例 7】當(dāng) x 0 時(shí)，求函數(shù) yx(2x) 的取值范圍解： 作出函數(shù) yx(2x)x22x 在

9、 x0內(nèi)的圖象可以看出：當(dāng)x1時(shí)， ymin1 ，無(wú)最大值所以，當(dāng) x0時(shí)，函數(shù)的取值范圍是y1 【例 8】當(dāng) t xt1 時(shí)，求函數(shù) y1 x2x5的最小值 (其中 t 為常數(shù) )22分析： 由于 x 所給的范圍隨著t 的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置解： 函數(shù) y1 x2x5的對(duì)稱軸為 x1畫出其草圖221 t 25(1)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍左側(cè)即t1時(shí)：當(dāng) xt 時(shí)， ymint；22(2)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍之間即t1t10t 1時(shí)：當(dāng) x 1時(shí)， ymin112153 ；22(3)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍右側(cè)即t11t0 時(shí)：當(dāng) x t1 時(shí)， ymin1 (t1)2(t1)51 t 23 2221 t 23,t02綜上所述： y3,0t11 t 2t5 , t 122在實(shí)際生活中，我們也會(huì)遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問題：【例9】某商場(chǎng)以每件30 元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m (件 )與每件的銷售價(jià)x ( 元 )滿足一次函數(shù)m1623x,30x54(1) 寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y 與每件銷售價(jià)x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？解： (1)由已知得每件商品的銷售利潤(rùn)為( x 30) 元，那么 m 件的銷售利潤(rùn)為ym(x30